Where the 30-60-90 comes from

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משולש הזהב לא הומצא. הוא בדיוק חצי משולש שווה צלעות. מזה נובעים גם הזוויות שלו וגם יחס הצלעות.

מאיפה הזוויות

במשולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60°60°. מורידים גובה, ומקבלים שני חצאים שווים.

בדיקה: 90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180. הזוויות נובעות מהחיתוך, ולא במקרה.

חותכים כך משולש שווה צלעות גדול פי 3. האם הזוויות של החצי משתנות?

Show the answer and the solution

לא. שוב 90°90°, 60°60° ו-30°30°. הזוויות תלויות בחיתוך, לא בגודל.

ומאיפה יחס הצלעות

נסמן את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x. הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא x.

(2x)2−x2=4x2−x2=3x2=x3\begin{aligned}\sqrt{(2x)^2 - x^2} &= \sqrt{4x^2 - x^2} \\ &= \sqrt{3x^2} \\ &= x\sqrt{3}\end{aligned}

מכאן היחס שכדאי לזכור בעל פה: 1:3:21 : \sqrt{3} : 2. מול ה-30, מול ה-60, ומול ה-90.

הסדר לא שרירותי: הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה. ל-30 יש 11, ל-60 יש 3\sqrt{3} (בערך 1.731.73), ול-90 יש 22.

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

10. היתר הוא תמיד פי 2 מהצלע שמול ה-30 — כי הוא היה צלע של שווה הצלעות, וזו הייתה חציה.

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°?

Show the answer and the solution

535\sqrt{3}, בערך 8.66. זה הגובה של המשולש שווה הצלעות המקורי.

מדוע הצלע מול ה-30 היא בדיוק מחצית היתר?

Show the answer and the solution

כי היא חצי הבסיס של שווה הצלעות, והיתר הוא צלע שלמה — ובשווה צלעות הבסיס והצלע שווים. חצי מול שלם.

שתי הטעויות של משולש הזהב.

הצלע מול 60°=2x\text{הצלע מול } 60° = 2x
=x3= x\sqrt{3}

פי 2 שייך ליתר, מול הזווית הישרה. מול ה-60 יושב שורש 3.

כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב\text{כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב}
רק אם יש בו זווית של 30°\text{רק אם יש בו זווית של 30°}

בלי זווית של 30 (או 60) היחסים האלה אינם תקפים כלל.

Exercises

Exercise 1

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

5×2=105 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

Check the answer on elev

Exercise 2

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 8.66

Worked solution:

53≈8.665\sqrt{3} \approx 8.66

זה הגובה של שווה הצלעות המקורי.

Check the answer on elev

Exercise 3

היתר במשולש זהב הוא 14. מה אורך הצלע מול ה-30°?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

14:2=714 : 2 = 7

מחצית היתר

הכיוון ההפוך — חילוק.

Check the answer on elev

Exercise 4

צלע משולש שווה צלעות היא 12. מה אורך הגובה שלו? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 10.39

Worked solution:

12:2=612 : 2 = 6

חצי הבסיס

63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39

הגובה הוא הצלע מול ה-60 בחצי המשולש.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה זוויות של 60° יש במשולש שווה צלעות?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

180:3=60180 : 3 = 60

וכשחוצים אותו, אחת מהן נחצית ל-30.

Check the answer on elev

Exercise 6

מדוע הגובה במשולש שווה צלעות הוא גם חוצה זווית?

  1. הוא לא — זו טעות
  2. זו הגדרה
  3. כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד
  4. רק במקרה
Show the answer and the solution

Answer: C כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד

Worked solution:

שווה שוקיים⇒גובה=חוצה=תיכון\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \Rightarrow \text{גובה} &= \text{חוצה} \\ &= \text{תיכון}\end{aligned}

ומכאן שזווית הראש נחצית ל-30.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו יחס הצלעות במשולש זהב, לפי סדר הזוויות 30, 60, 90?

  1. 1:2:31 : 2 : \sqrt{3}
  2. 1:3:21 : \sqrt{3} : 2
  3. 1:2:31 : 2 : 3
  4. 2:3:12 : \sqrt{3} : 1
Show the answer and the solution

Answer: B 1:3:21 : \sqrt{3} : 2

Worked solution:

1:3:21 : \sqrt{3} : 2

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה — תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש 30-60-90 היתר 14. הניצב מול 30?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

14:2=714 : 2 = 7

חצי היתר

Check the answer on elev

Exercise 9

הניצב מול 30 הוא 4.5 — מהו היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

4.5×2=94.5 \times 2 = 9

הניצב שמול 30° שווה למחצית היתר — משפט שחוסך את כל החישוב.

Check the answer on elev

Exercise 10

חצי משולש שווה צלעות שצלעו 12: מהו הניצב הקצר?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

12:2=612 : 2 = 6

הגובה חוצה את הבסיס

משולש הזהב הוא חצי שווה-צלעות — משם כל תכונותיו.

Check the answer on elev

Exercise 11

סדרו את שלבי החישוב שמראים מאיפה בא היחס 1:3:21 : \sqrt{3} : 2 במשולש הזהב.

  • הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא xx
  • ולכן h=x3h = x\sqrt{3}, והצלעות הן xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x
  • לפי פיתגורס: h2=(2x)2−x2=3x2h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2
  • מסמנים את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x2x
Show the answer and the solution

Answer: מסמנים את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x2x · הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא xx · לפי פיתגורס: h2=(2x)2−x2=3x2h^2 = (2x)^2 - x^2 = 3x^2 · ולכן h=x3h = x\sqrt{3}, והצלעות הן xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x

Worked solution:

2x , x2x \ , \ x

היתר הוא צלע שלמה, הצלע מול 30°30° היא חצי בסיס

h2=4x2−x2=3x2\begin{aligned}h^2 &= 4x^2 - x^2 \\ &= 3x^2\end{aligned}

פיתגורס בחצי המשולש

h=x3h = x\sqrt{3}

אי אפשר להפעיל פיתגורס לפני שיודעים את שתי הצלעות האחרות, ואי אפשר לדעת את חצי הבסיס לפני שמסמנים את הצלע. לכן הסדר הוא אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיינו: האם המשולש הוא משולש זהב (זוויותיו 30°30°, 60°60°, 90°90°)?

  • משולש זהב
  • לא משולש זהב
  • חצי של משולש שווה צלעות, שנחתך לאורך הגובה
  • משולש ישר זווית ושווה שוקיים
  • משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו 60°60°
  • משולש ישר זווית שניצביו 33 ו-44
  • משולש שזוויותיו 30°30°, 30°30° ו-120°120°
  • משולש שזוויותיו ביחס 1:2:31 : 2 : 3
Show the answer and the solution

Answer: חצי של משולש שווה צלעות, שנחתך לאורך הגובה — משולש זהב · משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו 60°60° — משולש זהב · משולש שזוויותיו ביחס 1:2:31 : 2 : 3 — משולש זהב · משולש ישר זווית ושווה שוקיים — לא משולש זהב · משולש שזוויותיו 30°30°, 30°30° ו-120°120° — לא משולש זהב · משולש ישר זווית שניצביו 33 ו-44 — לא משולש זהב

Worked solution:

90°−60°=30°90° - 60° = 30°

ישר זווית עם 60°60° — הזווית השלישית 30°30°

1:2:3⇒30°,60°,90°1 : 2 : 3 \Rightarrow 30° , 60° , 90°

180:6=30180 : 6 = 30

3,4,53 , 4 , 5

הניצב הקצר אינו מחצית היתר: 3≠2.53 \neq 2.5

משולש זהב צריך גם זווית ישרה וגם זווית של 30°30°. ישר זווית שווה שוקיים הוא 45°45°-45°45°-90°90°, ול-30°30°-30°30°-120°120° אין זווית ישרה. ובמשולש 33-44-55 היתר אינו פי 2 מהניצב הקצר — לכן אין בו 30°30°.

Check the answer on elev

Exercise 13

ABCD

חותכים משולש שווה צלעות בגובה ADAD. גם זווית הבסיס BB נחצית לשני חלקים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠ABD=60°\angle ABD = 60°

הגובה יוצא מ-AA, ולא נוגע בזווית BB

∠BAD=60:2=30°\begin{aligned}\angle BAD &= 60 : 2 \\ &= 30°\end{aligned}

רק זווית הראש נחצית

לא נכון. הגובה חוצה רק את הזווית שממנה הוא יוצא, זווית הראש. זווית הבסיס נשארת 60°60°.

Check the answer on elev

Exercise 14

התאימו כל זווית בחצי המשולש לסיבה שלה

  • 90°90°
  • 60°60°
  • 30°30°
  • הגובה חוצה את זווית הראש
  • הגובה מאונך לבסיס
  • זווית הבסיס לא השתנתה
Show the answer and the solution

Answer: 90°90° — הגובה מאונך לבסיס · 60°60° — זווית הבסיס לא השתנתה · 30°30° — הגובה חוצה את זווית הראש

Worked solution:

90+60+30=18090 + 60 + 30 = 180

בדיקה: סכום הזוויות במשולש

כל זווית באה מהחיתוך. מי שמחליף בין 60 ל-30 שוכח שהגובה חוצה רק את זווית הראש.

Check the answer on elev

Exercise 15

השלימו את הטבלה. בכל שורה משולש זהב, וצלעותיו xx, x3x\sqrt{3} ו-2x2x. בעמודה של 60°60°, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

מול 30°30°מול 90°90°מול 60°60°
44________
____1818____
________12.1212.12
Show the answer and the solution

Answer: 44: 8, 6.93 · 15.59 · 14

Worked solution:

x=4  ⇒  2x=8  x3≈6.93\begin{aligned}x &= 4 \;\Rightarrow\; 2x \\ &= 8 \\ \; x\sqrt{3} \approx 6.93\end{aligned}

xx נתון

2x=18  ⇒  x=9  x3≈15.59\begin{aligned}2x &= 18 \;\Rightarrow\; x \\ &= 9 \\ \; x\sqrt{3} \approx 15.59\end{aligned}

קודם חוצים את היתר

x3≈12.12  ⇒  x≈12.12:1.73≈7x\sqrt{3} \approx 12.12 \;\Rightarrow\; x \approx 12.12 : 1.73 \approx 7

מחלקים בשורש 3

קודם מוצאים את xx, הצלע שמול 30°30°. ממנה יוצאות שתי האחרות. בשורה השלישית מחלקים ב-3\sqrt{3}, לא ב-2.

Check the answer on elev

Exercise 16

במשולש זהב, aa הצלע שמול 30°30°, bb הצלע שמול 60°60°, ו-cc היתר. נתון a=6a = 6. נועה חישבה את bb ואת cc. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

a=6a = 6
c=2a=12\begin{aligned}c &= 2a \\ &= 12\end{aligned}
b=2a=12\begin{aligned}b &= 2a \\ &= 12\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: b=2a=12b = 2a = 12 → b=a3=63b = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}

Worked solution:

b=122−62=108=63≈10.39\begin{aligned}b &= \sqrt{12^2 - 6^2} \\ &= \sqrt{108} \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

בדיקה בפיתגורס

פי 2 שייך ליתר בלבד. אילו גם bb היה 12, היו במשולש שתי צלעות שוות, ולא זוויות של 30 ו-60.

Check the answer on elev

Exercise 17

ABCD

הגובה של משולש שווה צלעות הוא 535\sqrt{3} ס״מ. מה אורך הצלע של המשולש, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

x3=53  ⇒  x=5\begin{aligned}x\sqrt{3} &= 5\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x \\ &= 5\end{aligned}

בחצי המשולש, הגובה יושב מול 60°60°

2x=102x = 10

הצלע של המשולש היא היתר של החצי

הגובה הוא x3x\sqrt{3}, ולא xx. מי שעונה 5 מצא את חצי הבסיס, ולא את הצלע.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade