Practice · The midsegment · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אחד־עשר תרגילים על כל הפרק: קטע אמצעים במשולש, איך מוכיחים שקטע הוא קטע אמצעים, וקטע אמצעים בטרפז. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

במשולש, הצלע שממול לקטע האמצעים היא 18 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\frac{18}{2} = 9

קטע האמצעים שווה למחצית הצלע שממולו

Check the answer on elev

Exercise 2

בטרפז הבסיסים הם 8 ס״מ ו-14 ס״מ. מה אורך קטע האמצעים, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

\frac{8 + 14}{2} = 11

ממוצע שני הבסיסים

בטרפז לא לוקחים מחצית של בסיס אחד — מחברים את שניהם ומחלקים ב-2.

Check the answer on elev

Exercise 3

קטע האמצעים של טרפז הוא 13 ס״מ, ואחד הבסיסים 10 ס״מ. מה אורך הבסיס השני, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\frac{10 + b}{2} = 13

נוסחת קטע האמצעים

\begin{aligned}10 + b &= 26 \Rightarrow b \\ &= 16\end{aligned}

כופלים ב-2 ומחסרים

בדיקה: $\frac{10 + 16}{2} = 13$ ✓

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

צלעות משולש הן 14 ס״מ, 18 ס״מ ו-22 ס״מ. מחברים את אמצעי שלוש הצלעות ומקבלים משולש קטן. מה היקפו, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 27

Worked solution:

7 ,\ 9 ,\ 11

כל קטע אמצעים הוא מחצית הצלע שממולו

7 + 9 + 11 = 27

היקף המשולש הקטן

ההיקף הקטן הוא בדיוק מחצית ההיקף הגדול: $\frac{54}{2} = 27$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

שטח משולש הוא 48 סמ״ר. קטע אמצעים אחד חותך ממנו משולש קטן, ושטחו 24 סמ״ר.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

יחס הדמיון חצי, ולכן יחס השטחים רבע

\frac{48}{4} = 12

שטח המשולש הקטן

השטח הקטן הוא 12 סמ״ר — רבע, לא חצי.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ יוצא מאמצע הצלע $AB$ ( $E$ על $AC$ ), ונתון $DE = \frac{BC}{2}$ . מה אפשר להסיק מזה בלבד?

$E$ היא אמצע $AC$
$DE \parallel BC$
אי אפשר להסיק ש- $DE$ הוא קטע אמצעים
$DE$ הוא קטע אמצעים

Show the answer and the solution

Answer: C אי אפשר להסיק ש- $DE$ הוא קטע אמצעים

Worked solution:

\begin{aligned}AD &= DB \\ \quad DE &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

שתי התכונות קובעות מוצא ואורך

DE \parallel BC \ \text{?}

אבל לא את הכיוון

זה הצירוף היחיד שאינו מספיק: המעגל שמרכזו $D$ ורדיוסו $\frac{BC}{2}$ חותך את $AC$ בדרך כלל בשתי נקודות. אחת מהן היא אמצע $AC$ , והשנייה אינה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ערוגה בגינה בצורת טרפז. בסיסיה 9 מטר ו-15 מטר, והמרחק בין הבסיסים 7 מטר. מה שטח הערוגה, במ״ר? (היעזרו בקטע האמצעים)

Show the answer and the solution

Answer: 84

Worked solution:

\frac{9 + 15}{2} = 12

קטע האמצעים

\begin{aligned}S &= 12 \cdot 7 \\ &= 84\end{aligned}

שטח טרפז = קטע האמצעים כפול הגובה

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

במשולש $ABC$ הנקודות $D$ ו- $E$ הן אמצעי הצלעות $AB$ ו- $AC$ . נתון $DE = 2x + 1$ ו- $BC = 5x - 4$ . מה אורך $BC$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 26

Worked solution:

BC = 2 \cdot DE

קטע אמצעים שווה למחצית הצלע שממולו

\begin{aligned}5x - 4 &= 2(2x + 1) \\ &= 4x + 2\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}x &= 6 \Rightarrow BC \\ &= 5 \cdot 6 - 4 \\ &= 26\end{aligned}

פותרים ומציבים חזרה

בדיקה: $DE = 13$ , ו- $13$ הוא מחצית $26$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 9

שלוש נקודות אמצע — ושני משולשים קטנים שנראים «אותו דבר».

במשולש $ABC$ הנקודות $D$ , $E$ ו- $F$ הן אמצעי הצלעות $AB$ , $AC$ ו- $BC$ בהתאמה. הוכיחו כי $\triangle ADE \cong \triangle DBF$ .

$D$ , $E$ ו- $F$ הן אמצעי הצלעות $AB$ , $AC$ ו- $BC$

$\triangle ADE \cong \triangle DBF$

Show the answer and the solution

$D$ , $E$ ו- $F$ הן אמצעי הצלעות $AB$ , $AC$ ו- $BC$ — נתון
$AD = DB$ — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
$DE$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle ABC$ — הגדרת קטע אמצעים — מחבר אמצעי שתי צלעות
$DE \parallel BC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$\angle ADE = \angle DBF$ — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
$DE = \dfrac{BC}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$BF = \dfrac{BC}{2}$ — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
$DE = BF$ — שני קטעים השווים לאותו קטע שווים זה לזה
$\triangle ADE \cong \triangle DBF$ — משפט חפיפה צ.ז.צ

Worked solution:

AD = DB

$D$ אמצע $AB$

DE \parallel BC \Rightarrow \angle ADE = \angle DBF

קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית, ואז זוויות מתאימות

\begin{aligned}DE &= \frac{BC}{2} \\ &= BF\end{aligned}

קטע אמצעים שווה למחצית הצלע, ו- $F$ אמצע $BC$

\triangle ADE \cong \triangle DBF

צ.ז.צ

קטע האמצעים נותן כאן את שתי תכונותיו: ההקבלה נותנת את הזווית, והמחצית נותנת את הצלע. שלושת קטעי האמצעים מחלקים את המשולש לארבעה משולשים חופפים — וזה אחד הזוגות.

Check the answer on elev

Exercise 10

מדף בצורת טרפז. קטע האמצעים שלו 16 ס״מ, והבסיס הארוך גדול פי 3 מהבסיס הקצר. מה אורך הבסיס הארוך, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\frac{b + 3b}{2} = 16

הבסיס הקצר $b$ , הארוך $3b$

\begin{aligned}4b &= 32 \Rightarrow b \\ &= 8\end{aligned}

הבסיס הקצר

3b = 24

הבסיס הארוך

בדיקה: $\frac{8 + 24}{2} = 16$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 11

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AB = 6$ ו- $DC = 14$ . הקטע $EF$ הוא קטע האמצעים ( $E$ על $AD$ , $F$ על $BC$ ), והאלכסון $AC$ חותך אותו בנקודה $G$ . מה ההפרש $EG - GF$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}EG &= \frac{DC}{2} \\ &= 7\end{aligned}

במשולש $ACD$ : $E$ אמצע $AD$ ו- $EG \parallel DC$ , ולכן $EG$ קטע אמצעים

\begin{aligned}GF &= \frac{AB}{2} \\ &= 3\end{aligned}

במשולש $ABC$ : $G$ אמצע $AC$ ו- $F$ אמצע $BC$

\begin{aligned}EG - GF &= 7 - 3 \\ &= 4\end{aligned}

ההפרש

האלכסון מחלק את קטע האמצעים של הטרפז לשני קטעי אמצעים של משולשים. בדיקה: $7 + 3 = 10 = \frac{6 + 14}{2}$ ✓

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev