Trapezoid midsegment · The midsegment · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אחרי קטע האמצעים במשולש — אחיו הגדול: מחברים את אמצעי שתי השוקיים של טרפז.

מקבלים את קטע האמצעים של הטרפז. גם לו שתי תכונות, ושתיהן מזכירות את המשולש.

MN \parallel AB \parallel DC

קטע האמצעים מקביל לשני הבסיסים — הוא «קומה אמצעית» ביניהם.

MN = \dfrac{AB + DC}{2}

ואורכו — ממוצע שני הבסיסים: מחברים ומחלקים ב-2.

הקטע יושב באמצע הגובה. לכן אורכו באמצע הדרך בין הבסיס הקצר לארוך: בדיוק הממוצע.

קטע האמצעים של טרפז הוא 10, והבסיס הקצר 6. מהו הבסיס הארוך?

Show the answer and the solution

14. אם הממוצע הוא 10, הסכום הוא 20 — ולכן הבסיס השני $20 - 6 = 14$ .

והקשר למשולש

משולש הוא «טרפז שהבסיס העליון שלו התכווץ לנקודה».

מציבים בסיס עליון 0: $\dfrac{0 + DC}{2} = \dfrac{DC}{2}$ — חצי הבסיס. בדיוק המשפט שלמדנו!

הטעות של הטרפז.

MN = \dfrac{DC}{2}

MN = \dfrac{AB + DC}{2}

בטרפז אין «חצי בסיס» כמו במשולש — יש ממוצע של שני בסיסים. מי שזוכר רק את נוסחת המשולש טועה כאן.

קטע האמצעים של טרפז — למי הוא מקביל ומה אורכו?

Show the answer and the solution

מקביל לשני הבסיסים, ואורכו ממוצע שלהם — חצי הסכום.

Exercises

Exercise 1

בטרפז הבסיסים 6 ו-12. מהו אורך קטע האמצעים?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\dfrac{6 + 12}{2} = 9

ממוצע הבסיסים

תמיד בין שני הבסיסים — גדול מ-6 וקטן מ-12.

Check the answer on elev

Exercise 2

קטע האמצעים של טרפז הוא 15, ואחד הבסיסים 9. מהו הבסיס השני?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

9 + x = 30

הסכום הוא פעמיים הממוצע

x = 21

הבסיס השני

מהממוצע אל הסכום — כמו בשיעור על הממוצע: כופלים ב-2.

Check the answer on elev

Exercise 3

קטע האמצעים של טרפז — למה הוא מקביל?

לשני הבסיסים
לאף צלע
לשוקיים
לאלכסון

Show the answer and the solution

Answer: A לשני הבסיסים

Worked solution:

MN \parallel AB \parallel DC

קומה אמצעית בין הבסיסים

הבסיסים ממילא מקבילים זה לזה — וקטע האמצעים מצטרף אליהם.

Check the answer on elev

Exercise 4

בטרפז הבסיסים שווים ל-7 ו-13, וגובהו 4. מהו אורך הקטע המחבר את אמצעי השוקיים?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\dfrac{7 + 13}{2} = 10

הגובה בכלל לא משתתף!

הגובה 4 הוא הסחת דעת — קטע האמצעים תלוי רק בבסיסים.

Check the answer on elev

Exercise 5

מה מקבלים כשמציבים בסיס עליון 0 בנוסחת קטע האמצעים של הטרפז?

אפס
סתירה
את משפט קטע האמצעים במשולש
את משפט פיתגורס

Show the answer and the solution

Answer: C את משפט קטע האמצעים במשולש

Worked solution:

\dfrac{0 + DC}{2} = \dfrac{DC}{2}

הטרפז «נסגר» למשולש

שני המשפטים הם משפט אחד — הטרפז הוא הגרסה הכללית. חצי הבסיס

Check the answer on elev

Exercise 6

בסיסי טרפז 10 ו-16 — קטע האמצעים?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

\frac{10+16}{2} = 13

קטע האמצעים בטרפז הוא ממוצע הבסיסים — לא סכומם.

Check the answer on elev

Exercise 7

קטע האמצעים 11 ובסיס אחד 8 — מהו הבסיס השני?

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

11 \times 2 - 8 = 14

הולכים אחורה: כופלים את הקטע בשתיים כדי לקבל את סכום הבסיסים, ואז מחסרים את הידוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

קטע האמצעים שווה 9 והבסיסים שווים זה לזה בהפרש 4. מהו הבסיס הקטן?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x + (x+4) = 18

x = 7

סכום הבסיסים הוא כפליים קטע האמצעים. משם משוואה פשוטה.

Check the answer on elev

Exercise 9

קטע האמצעים של טרפז מקביל ל…

אף אחד
שני הבסיסים
השוקיים
אלכסון

Show the answer and the solution

Answer: B שני הבסיסים

Worked solution:

\parallel

קטע האמצעים מקביל לשני הבסיסים — ולכן גם הטרפז וגם הקטע «שוכבים» באותו כיוון.

Check the answer on elev

Exercise 10

בטרפז בסיסים 6 ו-12 וגובה 5. מהו השטח? (דרך קטע האמצעים)

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

\frac{6+12}{2} = 9

קטע האמצעים

9 \times 5 = 45

שטח טרפז = קטע האמצעים כפול הגובה — אותה נוסחה בתחפושת.

Check the answer on elev

Exercise 11

האלכסון מפרק את הטרפז לשני משולשים — ובכל אחד מחכה קטע אמצעים.

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הנקודות $E$ ו- $F$ הן אמצעי השוקיים $AD$ ו- $BC$ , והנקודה $G$ היא אמצע האלכסון $AC$ . הוכיחו: $E$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על ישר אחד, ו- $EF = \dfrac{AB + DC}{2}$ .

$AB \parallel DC$
$E$ אמצע $AD$ ו- $F$ אמצע $BC$
$G$ אמצע $AC$

$EF = \dfrac{AB + DC}{2}$

Show the answer and the solution

$AB \parallel DC$ — נתון
$E$ אמצע $AD$ — נתון
$F$ אמצע $BC$ — נתון
$G$ אמצע $AC$ — נתון
$EG$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle ACD$ — הגדרת קטע אמצעים — מחבר אמצעי שתי צלעות
$EG \parallel DC$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$EG = \dfrac{DC}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$GF$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle CAB$ — הגדרת קטע אמצעים — מחבר אמצעי שתי צלעות
$GF \parallel AB$ — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
$GF = \dfrac{AB}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$GF \parallel DC$ — שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה
$E$ , $G$ ו- $F$ נמצאות על ישר אחד — דרך נקודה שמחוץ לישר עובר רק ישר אחד המקביל לו
$EF = EG + GF$ — $G$ נמצאת על הקטע $EF$
$EF = \dfrac{DC}{2} + \dfrac{AB}{2}$ — הצבת שני הקטעים
$EF = \dfrac{AB + DC}{2}$ — מכנה משותף — הבסיס האמצעי הוא ממוצע שני הבסיסים

Worked solution:

\begin{aligned}EG \parallel DC \\ \ EG &= \frac{DC}{2}\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש $ACD$

\begin{aligned}GF \parallel AB \parallel DC \\ \ GF &= \frac{AB}{2}\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש $CAB$

E, G, F

על ישר אחד — דרך $G$ עובר רק מקביל אחד ל- $DC$

\begin{aligned}EF &= \frac{DC}{2} + \frac{AB}{2} \\ &= \frac{AB + DC}{2}\end{aligned}

מחברים

אסור להניח מראש ש- $EG \parallel DC$ — זה בדיוק חלק ממה שמוכיחים. לכן בוחרים את $G$ כאמצע האלכסון, מקבלים את ההקבלות ממשפט קטע האמצעים במשולש, ורק אז מסיקים ש- $E$ , $G$ ו- $F$ על ישר אחד.

Check the answer on elev

Exercise 12

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הקטע $EF$ הוא קטע האמצעים ( $E$ על $AD$ , $F$ על $BC$ ). הנקודה $G$ נמצאת על הבסיס $DC$ כך ש- $DG = AB$ . הקטע $EF$ חותך את הקטעים $AG$ ו- $BG$ בנקודות $M$ ו- $N$ בהתאמה. הוכיחו: $EM = MN$ .

$EF$ קטע אמצעים בטרפז $ABCD$ , $AB \parallel DC$
$G$ על הבסיס $DC$ , ו- $DG = AB$

$EM = MN$

Show the answer and the solution

$EF$ קטע אמצעים בטרפז $ABCD$ — נתון
$DG = AB$ — נתון
$EF \parallel AB \parallel DC$ — קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים
$EM \parallel DG$ — חלקים של ישרים מקבילים מקבילים גם הם
$EA = ED$ — הגדרת קטע אמצעים בטרפז — מחבר אמצעי שתי השוקיים
$EM$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle DAG$ — קטע במשולש שחוצה צלע ומקביל לצלע ממול הוא קטע אמצעים
$EM = \dfrac{DG}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$AM = MG$ — קטע אמצעים במשולש חוצה את הצלע שהוא פוגש
$MN \parallel AB$ — חלקים של ישרים מקבילים מקבילים גם הם
$MN$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle ABG$ — קטע במשולש שחוצה צלע ומקביל לצלע ממול הוא קטע אמצעים
$MN = \dfrac{AB}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$EM = MN$ — מחציות של קטעים שווים שוות

Worked solution:

\begin{aligned}EM \parallel DG \\ \ AE &= ED\end{aligned}

$EF$ מקביל לבסיסים ו- $E$ אמצע השוק

\begin{aligned}EM &= \frac{DG}{2} \\ \ AM &= MG\end{aligned}

$EM$ קטע אמצעים במשולש $DAG$

MN = \frac{AB}{2}

$MN$ קטע אמצעים במשולש $ABG$

\begin{aligned}DG &= AB \Rightarrow EM \\ &= MN\end{aligned}

מחציות של קטעים שווים

הרעיון בשורה אחת: $EM$ הוא קטע אמצעים במשולש $DAG$ ולכן שווה למחצית $DG$ ; $MN$ הוא קטע אמצעים במשולש $ABG$ ולכן שווה למחצית $AB$ . הנתון $DG = AB$ סוגר את ההוכחה. אם נסמן $AB = DG = 2x$ , שניהם יוצאים $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 13

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הקטע $EF$ הוא קטע האמצעים ( $E$ על $AD$ , $F$ על $BC$ ). הנקודה $G$ נמצאת על הבסיס $DC$ כך ש- $DG = AB$ , והקטע $EF$ חותך את $AG$ ו- $BG$ בנקודות $M$ ו- $N$ — כמו בתרגיל הקודם. נתון בנוסף כי $ME = 3NF$ . הוכיחו: $DG = 3GC$ .

$EF$ קטע אמצעים בטרפז $ABCD$ , $AB \parallel DC$
$G$ על הבסיס $DC$ , ו- $DG = AB$
$ME = 3NF$

$DG = 3GC$

Show the answer and the solution

$EF$ קטע אמצעים בטרפז $ABCD$ — נתון
$EF \parallel AB \parallel DC$ — קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים
$E$ אמצע $AD$ ו- $F$ אמצע $BC$ — הגדרת קטע אמצעים בטרפז — מחבר אמצעי שתי השוקיים
$ME \parallel DG$ — חלקים של ישרים מקבילים מקבילים גם הם
$ME$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle ADG$ — קטע במשולש שחוצה צלע ומקביל לצלע ממול הוא קטע אמצעים
$ME = \dfrac{DG}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$NF \parallel GC$ — חלקים של ישרים מקבילים מקבילים גם הם
$NF$ הוא קטע אמצעים ב- $\triangle BGC$ — קטע במשולש שחוצה צלע ומקביל לצלע ממול הוא קטע אמצעים
$NF = \dfrac{GC}{2}$ — קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע השלישית
$ME = 3NF$ — נתון
$\dfrac{DG}{2} = 3 \cdot \dfrac{GC}{2}$ — הצבת שתי התוצאות בנתון $ME = 3NF$
$DG = 3GC$ — כופלים את שני האגפים ב-2

Worked solution:

ME = \frac{DG}{2}

$ME$ קטע אמצעים במשולש $ADG$ ( $E$ אמצע $AD$ , $ME \parallel DG$ )

NF = \frac{GC}{2}

$NF$ קטע אמצעים במשולש $BGC$ ( $F$ אמצע $BC$ , $NF \parallel GC$ )

\begin{aligned}\frac{DG}{2} &= 3 \cdot \frac{GC}{2} \Rightarrow DG \\ &= 3GC\end{aligned}

מציבים ב- $ME = 3NF$ וכופלים ב-2

שני הקטעים נמדדים באותו יחס אל הבסיסים שמתחתיהם: $ME$ הוא מחצית $DG$ , ו- $NF$ הוא מחצית $GC$ . יחס של 3 ל-1 בין הקטעים העליונים עובר כמו שהוא ליחס בין $DG$ ל- $GC$ — כי שניהם חולקו באותו מספר.

Check the answer on elev

Exercise 14

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) נתון $AB = 8$ ו- $DC = 18$ . הקטע $EF$ הוא קטע האמצעים ( $E$ על $AD$ , $F$ על $BC$ ), והאלכסון $AC$ חותך אותו בנקודה $G$ . סדרו את הקטעים מהקצר לארוך.

$AB$
$DC$
$EF$
$EG$
$GF$

Show the answer and the solution

Answer: $GF$ · $AB$ · $EG$ · $EF$ · $DC$

Worked solution:

\begin{aligned}GF &= \frac{AB}{2} \\ &= 4\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש $ABC$

\begin{aligned}EG &= \frac{DC}{2} \\ &= 9\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש $ADC$

\begin{aligned}EF &= \frac{8 + 18}{2} \\ &= 13\end{aligned}

קטע האמצעים של הטרפז

4 < 8 < 9 < 13 < 18

האלכסון מחלק את קטע האמצעים לשני קטעי אמצעים של משולשים: $GF = 4$ ו- $EG = 9$ . יחד הם $EF = 13$ — הממוצע של 8 ו-18.

Check the answer on elev

Exercise 15

בטרפז הבסיסים 8 ס״מ ו-14 ס״מ, והגובה 5 ס״מ. תלמיד חישב את שטח הטרפז דרך קטע האמצעים. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

\begin{aligned}MN &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

S = MN \cdot h

\begin{aligned}S &= 11 \cdot 5 \\ &= 55\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $MN = \frac{14}{2} = 7$ → $MN = \frac{8 + 14}{2} = 11$

Worked solution:

\begin{aligned}MN &= \frac{8 + 14}{2} \\ &= 11\end{aligned}

ממוצע שני הבסיסים

\begin{aligned}S &= 11 \cdot 5 \\ &= 55\end{aligned}

קטע האמצעים כפול הגובה, בסמ״ר

בשורה הראשונה התלמיד השתמש בנוסחת המשולש — חצי בסיס. בטרפז קטע האמצעים הוא ממוצע שני הבסיסים: 11. עם 11 שאר השורות נכונות, והשטח 55 סמ״ר.

Check the answer on elev

Exercise 16

בטרפז הבסיס הקצר 6 ס״מ, וקטע האמצעים 10 ס״מ. גובה הטרפז 8 ס״מ. השלימו.

הבסיס הארוך הוא ____ ס״מ, ושטח הטרפז הוא ____ סמ״ר

Show the answer and the solution

Answer: הבסיס הארוך הוא 14 ס״מ, ושטח הטרפז הוא 80 סמ״ר

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{6 + x}{2} &= 10 \quad \Rightarrow \quad 6 + x \\ &= 20 \quad \Rightarrow \quad x \\ &= 14\end{aligned}

הבסיס הארוך

\begin{aligned}S &= 10 \cdot 8 \\ &= 80\end{aligned}

קטע האמצעים כפול הגובה

אם הממוצע הוא 10, סכום הבסיסים הוא 20, והבסיס הארוך $20 - 6 = 14$ . השטח הוא קטע האמצעים כפול הגובה: $10 \cdot 8 = 80$ סמ״ר — כמו $\frac{(6 + 14) \cdot 8}{2}$ .

Check the answer on elev

Exercise 17

AB = 6

ו-

DC = 16

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 6$ ו- $DC = 16$ . $MN$ קטע האמצעים, והאלכסון $AC$ חותך אותו ב- $G$ . מהו אורך $MG$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}MG &= \dfrac{DC}{2} \\ &= \dfrac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

במשולש $ADC$ , $MG$ קטע אמצעים

\begin{aligned}GN &= \dfrac{AB}{2} \\ &= 3\end{aligned}

ובמשולש $ABC$ , $GN$ קטע אמצעים

$G$ אינו אמצע $MN$ : $MG = 8$ ו- $GN = 3$ . ביחד $11$ , הממוצע של 6 ו-16.

Check the answer on elev

Exercise 18

השלימו את הטבלה: $AB$ ו- $DC$ הם בסיסי הטרפז, $MN$ קטע האמצעים.

$AB$	$DC$	$MN$
$5$	$11$	____
$4$	____	$7$
____	$15$	$12$

Show the answer and the solution

Answer: $5$ : 8 · $4$ : 10

Worked solution:

\dfrac{5 + 11}{2} = 8

ממוצע הבסיסים

2 \cdot 7 - 4 = 10

אחורה: הסכום, פחות הבסיס הידוע

2 \cdot 12 - 15 = 9

אותו דבר

בשורות 2 ו-3 הולכים אחורה: קודם כופלים ב-2 ומקבלים את הסכום. מי שמחסר ישר ( $7 - 4$ ) מקבל 3.

Check the answer on elev

Exercise 19

קטע האמצעים של טרפז יכול להיות ארוך מהבסיס הארוך.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

AB < \dfrac{AB + DC}{2} < DC

ממוצע תמיד בין שני המספרים

לא. ממוצע של שני מספרים שונים תמיד בין שניהם: הקטע ארוך מהבסיס הקצר וקצר מהארוך.

Check the answer on elev

Exercise 20

בטרפז הבסיסים $AB = 8$ ו- $DC = 18$ . דני חישב את קטע האמצעים $MN$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\begin{aligned}AB &= 8 \ \\ \ DC &= 18\end{aligned}

MN = \dfrac{DC}{2}

\begin{aligned}MN &= \dfrac{18}{2} \\ &= 9\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $MN = \dfrac{DC}{2}$ → $MN = \dfrac{AB + DC}{2} = \dfrac{8 + 18}{2} = 13$

Worked solution:

\begin{aligned}MN &= \dfrac{8 + 18}{2} \\ &= 13\end{aligned}

ממוצע שני הבסיסים

דני השתמש בנוסחת המשולש. בטרפז יש שני בסיסים, ושניהם נכנסים לממוצע: 13, באמצע בין 8 ל-18.

Check the answer on elev

והקשר למשולש

Exercises

Keep practising on elev