The midsegment

Answer: 6

Worked solution:

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

Answer: 12

Worked solution:

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

Answer: 10

Worked solution:

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

Answer: 20

Worked solution:

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

Answer: 3.5

Worked solution:

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

Answer: 7

Worked solution:

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

Answer: 15

Worked solution:

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

Answer: 30

Worked solution:

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

Answer: 7.5

Worked solution:

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

Answer: 15

Worked solution:

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

Answer: 4.5

Worked solution:

זו התכונה השלישית, והיא נכונה בכל משולש בלי יוצא מן הכלל.

Answer: 9

Worked solution:

כמו התיכון ליתר, גם כאן התכונה עובדת בשני הכיוונים.

Answer: D הוא אינו יוצא מקודקוד אלא מחבר שתי נקודות אמצע

Worked solution:

שלושת הקטעים האחרים יוצאים כולם מקודקוד. זה ההבדל המבני, ושווה לזכור אותו.

Answer: D הם מקבילים

Worked solution:

וזה נכון בכל משולש, בלי קשר לצורתו. אפשר לראות זאת בכלי: הקטעים אף פעם לא נוטים זה מול זה.

Answer: D רבע

Worked solution:

זו בדיוק חוקיות הדמיון: הצלעות פי חצי, השטח פי רבע. הטעות הטבעית היא לענות «חצי».

Answer: 19

Worked solution:

אפשר גם ישר: היקף המשולש הקטן הוא מחצית ההיקף הגדול — $38 : 2 = 19$. זה נובע מיחס הדמיון.

Answer: 2

Worked solution:

שתיים מספיקות — למעט צירוף אחד יחיד, שאינו קובע את כיוון הקטע.

Answer: A חוצה צלע אחת + שווה למחצית הצלע שממול

Worked solution:

זה הצירוף היחיד שמשאיר את הכיוון חופשי. כל שאר הצירופים קובעים גם אותו — דרך ההקבלה או דרך נקודת האמצע השנייה.

Answer: D כי הוא קובע מוצא ואורך, אבל לא כיוון

Worked solution:

אפשר לסובב את הקטע סביב נקודת האמצע: אורכו לא משתנה והמוצא לא משתנה — אבל הקצה השני כבר לא נופל על אמצע הצלע.

1. $D$ אמצע $AB$ — נתון
2. $E$ אמצע $AC$ — נתון
3. $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}$ — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
4. $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{1}{2}$ — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
5. $\angle A = \angle A$ — זווית משותפת לשני המשולשים
6. $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון צ.ז.צ
7. $\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות
8. $DE \parallel BC$ — אם זוויות מתאימות שוות — הישרים מקבילים

Worked solution:

שימו לב לכיוון: השתמשנו בזוויות המתאימות הפוך מהרגיל — לא «מקבילים ולכן שוות», אלא «שוות ולכן מקבילים».

1. $D$ אמצע $AB$ — נתון
2. $DE \parallel BC$ — נתון
3. $AD = DB$ — נקודת אמצע מחלקת את הצלע לשני חלקים שווים
4. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ — משפט תלס
5. $\dfrac{AE}{EC} = 1$ — הצבה: $\dfrac{AD}{DB} = 1$
6. $AE = EC$ — מנה של שני קטעים שווה ל-1 רק כשהם שווים

Worked solution:

זה הכיוון ההפוך של קטע האמצעים: מספיק לדעת שהקטע יוצא מנקודת אמצע אחת ומקביל לצלע, כדי שהקצה השני ייפול בדיוק על האמצע. משפט תלס עצמו (חלק חלקי חלק) מספיק כאן — לא צריך את ההרחבה הראשונה, כי לא מחפשים את $DE$.

Answer: $DE \parallel BC$ — נובע מהנתונים · $DE = \frac{BC}{2}$ — נובע מהנתונים · שטח $\triangle ADE$ הוא רבע משטח $\triangle ABC$ — נובע מהנתונים · $DE = AD$ — לא נובע מהנתונים · $DE \perp AB$ — לא נובע מהנתונים · שטח $\triangle ADE$ הוא חצי משטח $\triangle ABC$ — לא נובע מהנתונים

Worked solution:

$DE$ הוא קטע אמצעים: הוא מקביל ל-$BC$ ושווה למחציתו, בכל משולש. המשולש $ADE$ דומה ל-$ABC$ ביחס $\frac{1}{2}$, ולכן שטחו רבע — לא חצי. על הזוויות ב-$D$ ועל השוויון $DE = AD$ הנתונים לא אומרים כלום: הם תלויים בצורת המשולש.

Answer: $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}$ → $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}$

Worked solution:

הצלעות הן חצי, אבל השטח הוא חצי בריבוע — רבע. עם יחס של רבע יוצא $S_{ADE} = 9$, וכל שאר השורות נכונות.

Answer: $AD =$ 5, $AE =$ 7, $DE =$ 8, ולכן היקף המשולש $ADE$ הוא 20

Worked solution:

כל צלע של $ADE$ היא חצי מהצלע המתאימה של $ABC$, ולכן גם ההיקף הוא חצי: $\frac{10 + 14 + 16}{2} = 20$.

Answer: 65

Worked solution:

הטעות היא לחצות גם את הזווית. הצלע נחצית, אבל ההקבלה שומרת על הזווית.

Answer: 14

Worked solution:

השאלה על $BC$, לא על $x$: מי שעוצר ב-5 לא ענה. בדיקה: $DE = 7$, חצי מ-14.

Answer: 36

Worked solution:

הטרפז הוא שלושה רבעים מהמשולש, לא חצי. מי שחושב שהקטן הוא חצי יענה 24.

Answer: False

Worked solution:

לא בהכרח. על $AC$ יש שתי נקודות במרחק $\frac{BC}{2}$ מ-$D$, ורק אחת מהן היא האמצע. בשרטוט, $E$ היא השנייה.

Answer: חוצה את שתי הצלעות — מספיק · חוצה צלע אחת + מקביל לצלע השלישית — מספיק · מקביל לצלע השלישית + שווה למחציתה — מספיק · חוצה צלע אחת + שווה למחצית הצלע השלישית — לא מספיק · מקביל לצלע השלישית, בלי שום תכונה נוספת — לא מספיק · חוצה צלע אחת, בלי שום תכונה נוספת — לא מספיק

Worked solution:

תכונה אחת לבדה לא מספיקה אף פעם. מבין הזוגות, רק «חוצה צלע אחת + מחצית» נכשל: הוא לא קובע את הכיוון.