Solving by substitution

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מערכת של ישר ופרבולה — כמה פתרונות ייתכנו?

Show the answer and the solution

0, 1 או 2 — כמספר נקודות החיתוך שראיתם בגרף. ולא יותר: ישר לא חותך פרבולה שלוש פעמים.

מהגרף לאלגברה

כשאף נעלם לא מבודד

ארבעה צעדים

11

מבודדים נעלם אחד מהמשוואה הפשוטה יותר — זו מהמעלה הראשונה.

22

מציבים אותו במשוואה השנייה. מקבלים משוואה ריבועית בנעלם אחד.

33

פותרים אותה — טרינום או נוסחת השורשים.

44

חוזרים למשוואה שבודדנו ומוצאים את הנעלם השני, לכל פתרון בנפרד.

פותרים את החידה

Exercises

Exercise 1

מהו אחד מפתרונות המערכת?

{x2+y2=253x+y=9\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ 3x + y = 9 \end{cases}
  1. (3, 4)(3,\, 4)
  2. (4, 3)(4,\, 3)
  3. (4, −3)(4,\, -3)
  4. (−4, 3)(-4,\, 3)
Show the answer and the solution

Answer: C (4, −3)(4,\, -3)

Worked solution:

y=9−3xy = 9 - 3x

מבודדים

x2+(9−3x)2=25x^2 + (9-3x)^2 = 25

מציבים

5x2−27x+28=0⇒x=4\begin{aligned}5x^2 - 27x + 28 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

y=9−12=−3\begin{aligned}y &= 9 - 12 \\ &= -3\end{aligned}

וחוזרים ל-y

הפתרון השני הוא (1.4, 4.8)(1.4,\ 4.8). תמיד יש לבדוק את שניהם.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הפתרון של המערכת?

{4y+x=04y2+x2=5\begin{cases} 4y + x = 0 \\ 4y^2 + x^2 = 5 \end{cases}
  1. (−2, 0.5) and (2, −0.5)(-2,\, 0.5) \text{ and } (2,\, -0.5)
  2. (1, 1)(1,\, 1)
  3. (2, 0.5)(2,\, 0.5)
  4. no solution\text{no solution}
Show the answer and the solution

Answer: A (−2, 0.5) and (2, −0.5)(-2,\, 0.5) \text{ and } (2,\, -0.5)

Worked solution:

x=−4yx = -4y

מבודדים מהמשוואה הפשוטה

4y2+16y2=54y^2 + 16y^2 = 5

מציבים

20y2=5⇒y=±0.5\begin{aligned}20y^2 &= 5 \Rightarrow y \\ &= \pm 0.5\end{aligned}

ופותרים

x=∓2x = \mp 2

ולכל y מחשבים את ה-x שלו

שני זוגות, ובכל זוג הסימנים הפוכים — כי x=−4yx = -4y.

Check the answer on elev

Exercise 3

חידה. שני מספרים חיוביים: הסכום שלהם 7, וסכום הריבועים שלהם 25. מהו המספר הגדול? נסו לנחש!

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

3+4=7    32+42=9+16=25\begin{aligned}3 + 4 &= 7 \; \\ \; 3^2 + 4^2 &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}

המספרים הם 3 ו-4

ניחשתם? יפה. אבל כשהתשובה היא 1.4 ו-4.8, ניחוש לא יעבוד — בסוף היחידה תפתרו את החידה בלי לנחש.

Check the answer on elev

Exercise 4

איזו שיטה מתאימה למערכת שבה משוואה אחת ריבועית?

  1. שיטת ההצבה
  2. חיבור שתי המשוואות
  3. אין שיטה
  4. שיטת השוואת מקדמים
Show the answer and the solution

Answer: A שיטת ההצבה

Worked solution:

y=…⇒מציביםy = \ldots \Rightarrow \text{מציבים}

מבודדים מהפשוטה

ההצבה עובדת תמיד. השוואת מקדמים מצליחה רק כשהריבועים מתבטלים — וזה מקרה מיוחד, לא שיטה.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו את המערכת:

{x+y=0y2+x2=8\begin{cases} x + y = 0 \\ y^2 + x^2 = 8 \end{cases}
  1. (2, 2)(2,\, 2) ו-(−2, −2)(-2,\, -2)
  2. (−2, 2)(-2,\, 2) ו-(2, −2)(2,\, -2)
  3. (4, −4)(4,\, -4) בלבד
  4. אין פתרון
Show the answer and the solution

Answer: B (−2, 2)(-2,\, 2) ו-(2, −2)(2,\, -2)

Worked solution:

x=−yx = -y

מבודדים מהפשוטה

y2+y2=8⇒y2=4\begin{aligned}y^2 + y^2 &= 8 \Rightarrow y^2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

y=±2y = \pm 2

שני פתרונות

(−2, 2) , (2, −2)(-2,\, 2) \ , \ (2,\, -2)

וחוזרים ל-x

שימו לב לזוגות: כל yy עם ה-xx שלו, לא מעורבב.

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו את המערכת:

{x−2y=0x2+y2=20\begin{cases} x - 2y = 0 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}
  1. (4, 2)(4,\, 2) ו-(−4, −2)(-4,\, -2)
  2. (2, 4)(2,\, 4) ו-(−2, −4)(-2,\, -4)
  3. (2, 1)(2,\, 1) בלבד
  4. (4, −2)(4,\, -2) ו-(−4, 2)(-4,\, 2)
Show the answer and the solution

Answer: A (4, 2)(4,\, 2) ו-(−4, −2)(-4,\, -2)

Worked solution:

x=2yx = 2y

מבודדים

4y2+y2=20⇒5y2=20\begin{aligned}4y^2 + y^2 &= 20 \Rightarrow 5y^2 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים — הריבוע חל גם על ה-2

y=±2y = \pm 2
(4, 2) , (−4, −2)(4,\, 2) \ , \ (-4,\, -2)

x = 2y

(2y)2=4y2(2y)^2 = 4y^2 ולא 2y22y^2 — זו הטעות שהתרגיל בודק.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המערכת:

{x+y=7x2+y2=25\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}
  1. אין פתרון
  2. (5, 2)(5,\, 2) ו-(2, 5)(2,\, 5)
  3. (7, 0)(7,\, 0) ו-(0, 7)(0,\, 7)
  4. (3, 4)(3,\, 4) ו-(4, 3)(4,\, 3)
Show the answer and the solution

Answer: D (3, 4)(3,\, 4) ו-(4, 3)(4,\, 3)

Worked solution:

y=7−xy = 7 - x

מבודדים

x2+(7−x)2=25x^2 + (7-x)^2 = 25

מציבים בסוגריים

2x2−14x+24=0⇒x2−7x+12=0\begin{aligned}2x^2 - 14x + 24 &= 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \\ &= 0\end{aligned}

מכנסים ומחלקים ב-2

(x−3)(x−4)=0(x-3)(x-4) = 0

טרינום

המערכת סימטרית ב-xx וב-yy — ולכן שני הזוגות הם אותם מספרים בסדר הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 8

איך נראית התשובה הסופית של מערכת משוואות?

  1. ערך של yy בלבד
  2. ערך של xx בלבד
  3. מספר יחיד
  4. זוג סדור (x, y)(x,\, y) — או כמה זוגות
Show the answer and the solution

Answer: D זוג סדור (x, y)(x,\, y) — או כמה זוגות

Worked solution:

(x, y)(x,\, y)

נקודה במישור

הפתרון הוא נקודת מפגש של שני גרפים — ולנקודה יש שתי קואורדינטות.

Check the answer on elev

Exercise 9

המערכת y=x2y = x^2 ו-y=4y = 4: כמה פתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x=±2x = \pm 2

ישר אופקי מעל הקודקוד חותך את הפרבולה בשתי נקודות סימטריות.

Check the answer on elev

Exercise 10

המערכת y=x2−2xy = x^2 - 2x ו-y=3y = 3: מהו הפתרון החיובי הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1) = 0

משווים, מסדרים לאפס, ומפרקים. שני פתרונות — בוחרים לפי השאלה.

Check the answer on elev

להכיר

Exercise 11

פתרו את המערכת: y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3 וגם y=x+3y = x + 3. מהו שיעור ה-xx הגדול מבין הפתרונות?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x2+2x−3=x+3x^2 + 2x - 3 = x + 3

משווים — שני הביטויים הם אותו yy

x2+x−6=0x^2 + x - 6 = 0
(x+3)(x−2)=0(x+3)(x-2) = 0
x=2 או x=−3\begin{aligned}x &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 12

ומהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך שבה x=2x = 2?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

y=2+3=5\begin{aligned}y &= 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר — הקל מבין השניים

Check the answer on elev

להתאמן

Exercise 13

פתרו: 5x2−3y2=85x^2 - 3y^2 = 8 וגם x=yx = y. מהו הפתרון החיובי של xx?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

5x2−3x2=85x^2 - 3x^2 = 8

מציבים y=xy=x

2x2=82x^2 = 8
x=±2x = \pm 2
Check the answer on elev

לשחק ולבדוק

Exercise 14

סדרו את שלבי הפתרון של מערכת ישר-פרבולה

  • מסדרים למשוואה ריבועית שווה לאפס
  • מציבים כל xx חזרה ומוצאים את ה-yy שלו
  • משווים בין שני הביטויים של yy
  • פותרים — בפירוק או בנוסחה
Show the answer and the solution

Answer: משווים בין שני הביטויים של yy · מסדרים למשוואה ריבועית שווה לאפס · פותרים — בפירוק או בנוסחה · מציבים כל xx חזרה ומוצאים את ה-yy שלו

Worked solution:

כל xx מקבל את ה-yy שלו — נקודת חיתוך היא זוג, לא מספר.

Check the answer on elev

Exercise 15

המערכת y=3x2−2xy = 3x^2 - 2x וגם y=2−xy = 2 - x

המשוואה: 3x2−x−3x^2 - x - ____ =0= 0 , והפתרון השלם הוא x=x = ____

Show the answer and the solution

Answer: המשוואה: 3x2−x−3x^2 - x - 2 =0= 0 , והפתרון השלם הוא x=x = 1

Worked solution:

3x2−2x=2−x3x^2 - 2x = 2 - x
3x2−x−2=03x^2 - x - 2 = 0
(3x+2)(x−1)=0(3x+2)(x-1) = 0
x=1 או x=−23\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

כל מערכת ישר-פרבולה מגיעה לאותו מקום: משוואה ריבועית אחת.

Check the answer on elev

Exercise 16

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x=−4yx = -4y
4y2+(−4y)2=54y^2 + (-4y)^2 = 5
4y2−16y2=54y^2 - 16y^2 = 5
−12y2=5-12y^2 = 5
Show the answer and the solution

Answer: 4y2−16y2=54y^2 - 16y^2 = 5 → 4y2+16y2=54y^2 + 16y^2 = 5

Worked solution:

(−4y)2=16y2(-4y)^2 = 16y^2

הריבוע חל גם על המינוס

(−4y)2(-4y)^2 חיובי. מכאן הכול התגלגל: ל-−12y2=5-12y^2 = 5 אין פתרון בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 17

התאימו כל מערכת למספר הפתרונות שלה

  • y=x2y = x^2 וגם y=4y = 4
  • y=x2y = x^2 וגם y=0y = 0
  • y=x2y = x^2 וגם y=−1y = -1
  • אין פתרון
  • זוג אחד
  • שני זוגות
Show the answer and the solution

Answer: y=x2y = x^2 וגם y=4y = 4 — שני זוגות · y=x2y = x^2 וגם y=0y = 0 — זוג אחד · y=x2y = x^2 וגם y=−1y = -1 — אין פתרון

Worked solution:

x2=4    x2=0    x2=−1\begin{aligned}x^2 &= 4 \; \\ \; x^2 &= 0 \; \\ \; x^2 &= -1\end{aligned}

משווים בכל מערכת

ריבוע אינו שלילי: ל-x2=−1x^2 = -1 אין פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 18

המערכת y=x2y = x^2 וגם y=2x+3y = 2x + 3 נותנת x=3x = 3 או x=−1x = -1. השלימו את ה-yy של כל xx: פעם מהישר, ופעם מהפרבולה.

xxyy מהישר 2x+32x + 3yy מהפרבולה x2x^2
33________
−1-1________
Show the answer and the solution

Answer: 33: 9, 9 · −1-1: 1, 1

Worked solution:

x=3  ⇒  y=2⋅3+3=9=32\begin{aligned}x &= 3 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 \cdot 3 + 3 \\ &= 9 \\ &= 3^2\end{aligned}

שתי המשוואות נותנות 9

x=−1  ⇒  y=2⋅(−1)+3=1=(−1)2\begin{aligned}x &= -1 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 \cdot (-1) + 3 \\ &= 1 \\ &= (-1)^2\end{aligned}

שתי המשוואות נותנות 1

כל xx מקבל את ה-yy שלו, והוא יוצא שווה בשתי המשוואות: זו הבדיקה. הזוגות: (3, 9)(3,\, 9) ו-(−1, 1)(-1,\, 1).

Check the answer on elev

Exercise 19

פתרונות המערכת y=x2y = x^2 וגם y=x+2y = x + 2 הם x=2x = 2 או x=−1x = -1. לכן הזוג (2, 1)(2,\, 1) הוא פתרון שלה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x=2  ⇒  y=2+2=4\begin{aligned}x &= 2 \;\Rightarrow\; y \\ &= 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned}

ה-yy של x=2x = 2 הוא 4, לא 1

1≠221 \neq 2^2

הזוג (2, 1)(2,\, 1) לא מקיים את y=x2y = x^2

זה זוג מעורבב: ה-xx של נקודה אחת וה-yy של הנקודה השנייה. הפתרונות הם (2, 4)(2,\, 4) ו-(−1, 1)(-1,\, 1).

Check the answer on elev

Exercise 20

מאיזו משוואה כדאי לבודד נעלם? מיינו כל מערכת.

  • מהראשונה
  • מהשנייה
  • 2x+y=52x + y = 5 וגם y2−x2=3y^2 - x^2 = 3
  • x2−3y2=1x^2 - 3y^2 = 1 וגם x=2y+1x = 2y + 1
  • x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 וגם x−y=2x - y = 2
  • y=3−xy = 3 - x וגם x2+xy=6x^2 + xy = 6
Show the answer and the solution

Answer: x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 וגם x−y=2x - y = 2 — מהשנייה · y=3−xy = 3 - x וגם x2+xy=6x^2 + xy = 6 — מהראשונה · 2x+y=52x + y = 5 וגם y2−x2=3y^2 - x^2 = 3 — מהראשונה · x2−3y2=1x^2 - 3y^2 = 1 וגם x=2y+1x = 2y + 1 — מהשנייה

Worked solution:

x−y=2  ⇒  x=y+2\begin{aligned}x - y &= 2 \;\Rightarrow\; x \\ &= y + 2\end{aligned}

מבודדים מהמשוואה שאין בה ריבועים

מבודדים תמיד מהמשוואה הפשוטה, זו מהמעלה הראשונה. מהריבועית היה יוצא שורש עם שני סימנים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade