Special cases

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כששתי המשוואות ריבועיות

אם שתיהן בצורת y=…y = \ldots, אין מה לבודד — משווים ביניהן ישירות, בדיוק כמו בנקודת חיתוך בין שני ישרים.

פתרו: y=x2+1y = x^2 + 1 וגם y=x2+2x−3y = x^2 + 2x - 3. מה קורה לאיבר x2x^2?

Show the answer and the solution

משווים: x2+1=x2+2x−3x^2 + 1 = x^2 + 2x - 3.

האיבר x2x^2 מתבטל, ונשאר 1=2x−31 = 2x - 3. כלומר x=2x = 2, ונקודה אחת בלבד: (2, 5)(2,\ 5).

כשהאיבר x2x^2 מתבטל, יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

כשיש מכפלה

בסוף כל מערכת — מציבים את הזוג בחזרה בשתי המשוואות. זו הבדיקה היחידה שתופסת גם טעות אלגברית וגם זוג מעורבב.

בדרך: משוואה ריבועית חסרה

קיבלתם משוואה ריבועית בלי איבר חופשי, כמו x2−5x=0x^2 - 5x = 0. איך פותרים הכי מהר?

Show the answer and the solution

גורם משותף: x(x−5)=0x(x - 5) = 0, ולכן x=0x = 0 או x=5x = 5. בלי נוסחה.

x2−5x=0  ⇒  x(x−5)=0\begin{aligned}x^2 - 5x &= 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) \\ &= 0\end{aligned}

אין איבר חופשי: מוציאים גורם משותף. x=0x = 0 או x=5x = 5.

3x2=27  ⇒  x2=9  ⇒  x=±3\begin{aligned}3x^2 &= 27 \;\Rightarrow\; x^2 \\ &= 9 \;\Rightarrow\; x \\ &= \pm 3\end{aligned}

אין איבר עם xx: מבודדים את x2x^2, ואז שורש — עם שני סימנים. אם x2x^2 יוצא שלילי, אין פתרון.

Exercises

Exercise 1

מהם שיעורי ה-xx של פתרונות המערכת?

{y=x2+3x+8y=2x2+8x+2\begin{cases} y = x^2 + 3x + 8 \\ y = 2x^2 + 8x + 2 \end{cases}
  1. x=2 or x=3x = 2 \text{ or } x = 3
  2. x=6 or x=−1x = 6 \text{ or } x = -1
  3. x=−6 or x=1x = -6 \text{ or } x = 1
  4. no solution\text{no solution}
Show the answer and the solution

Answer: C x=−6 or x=1x = -6 \text{ or } x = 1

Worked solution:

x2+3x+8=2x2+8x+2x^2 + 3x + 8 = 2x^2 + 8x + 2

משווים בין שני ה-y

0=x2+5x−60 = x^2 + 5x - 6

מעבירים לאגף אחד

(x+6)(x−1)=0(x+6)(x-1) = 0

טרינום: מכפלה 6−, סכום 5

הזוגות המלאים: (−6, 26)(-6,\ 26) ו-(1, 12)(1,\ 12).

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו אחד מפתרונות המערכת?

{xy=9(x+1)(y−3)=12\begin{cases} xy = 9 \\ (x + 1)(y - 3) = 12 \end{cases}
  1. (1, 9)(1,\, 9)
  2. (3, 3)(3,\, 3)
  3. (9, 1)(9,\, 1)
  4. (−1, −9)(-1,\, -9)
Show the answer and the solution

Answer: A (1, 9)(1,\, 9)

Worked solution:

y=9x x≠0\begin{aligned}y &= \frac{9}{x} \\ \ x \neq 0\end{aligned}

מבודדים עם תחום הגדרה

x2+2x−3=0x^2 + 2x - 3 = 0

אחרי הצבה, פתיחה וכפל ב-x

(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1) = 0

טרינום

הפתרון השני הוא (−3, −3)(-3,\ -3).

Check the answer on elev

Exercise 3

במערכת שבה שתי המשוואות בצורת y=…y = \ldots, מה עושים?

  1. מחברים את המשוואות
  2. מבודדים xx מהראשונה
  3. משווים בין שני הביטויים
  4. מחלקים אחת בשנייה
Show the answer and the solution

Answer: C משווים בין שני הביטויים

Worked solution:

y=y⇒משוויםy = y \Rightarrow \text{משווים}

אותה נקודה, אותו y

בדיוק כמו נקודת חיתוך בין שני ישרים — רק שהתוצאה ריבועית.

Check the answer on elev

Exercise 4

כמה נקודות חיתוך יש בין y=x2−4x+4y = x^2 - 4x + 4 ל-y=−x2+4x−4y = -x^2 + 4x - 4?

  1. אף לא אחת
  2. אינסוף
  3. שתיים
  4. אחת בדיוק
Show the answer and the solution

Answer: D אחת בדיוק

Worked solution:

2x2−8x+8=02x^2 - 8x + 8 = 0
x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0
(x−2)2=0(x-2)^2 = 0

שורש כפול

x=2x = 2

נקודת השקה

שורש כפול = הפרבולות משיקות: נוגעות בנקודה אחת ונפרדות.

Check the answer on elev

Exercise 5

ממערכת קיבלנו x=2x = 2 ו-x=−5x = -5. כמה זוגות פתרון יש?

  1. תלוי בסימן
  2. שניים
  3. אחד
  4. ארבעה
Show the answer and the solution

Answer: B שניים

Worked solution:

x=2⇒y1    x=−5⇒y2\begin{aligned}x &= 2 \Rightarrow y_1 \; \\ \; x &= -5 \Rightarrow y_2\end{aligned}

כל x מוליד את ה-y שלו

שתי נקודות חיתוך בין שני הגרפים. אחד לכל ערך של xx

Check the answer on elev

Exercise 6

איך בודקים שהפתרון נכון?

  1. מציבים את הזוג בשתי המשוואות
  2. בודקים שהתוצאה חיובית
  3. מציבים רק בראשונה
  4. אין דרך לבדוק
Show the answer and the solution

Answer: A מציבים את הזוג בשתי המשוואות

Worked solution:

(x0, y0)∈שתי המשוואות(x_0,\, y_0) \in \text{שתי המשוואות}

הנקודה חייבת לקיים את שתיהן

זו גם הבדיקה שתופסת זוגות מעורבבים.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו את המערכת (מכפלה — פותחים סוגריים לפני שמציבים):

{xy=12(x+1)(y−1)=12\begin{cases} xy = 12 \\ (x+1)(y-1) = 12 \end{cases}
  1. (3, 4)(3,\, 4) ו-(−4, −3)(-4,\, -3)
  2. (12, 1)(12,\, 1) בלבד
  3. (2, 6)(2,\, 6) ו-(6, 2)(6,\, 2)
  4. (4, 3)(4,\, 3) ו-(−3, −4)(-3,\, -4)
Show the answer and the solution

Answer: A (3, 4)(3,\, 4) ו-(−4, −3)(-4,\, -3)

Worked solution:

xy−x+y−1=12xy - x + y - 1 = 12

פותחים סוגריים

12−x+y−1=1212 - x + y - 1 = 12

ומשתמשים ב-xy=12xy = 12 הנתון

y−x=1⇒y=x+1\begin{aligned}y - x &= 1 \Rightarrow y \\ &= x + 1\end{aligned}

נשארה משוואה פשוטה!

x(x+1)=12⇒x2+x−12=0\begin{aligned}x(x+1) &= 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בראשונה

(x+4)(x−3)=0(x+4)(x-3) = 0

x = 3 או x = −4

הטריק של הדוגמה: פותחים סוגריים, וה-xyxy כבר נתון — המערכת מתקפלת למשוואה פשוטה. בדיקה: (−4+1)(−3−1)=12(-4+1)(-3-1) = 12 ✓

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: x2=8xx^2 = 8x — כתבו את הפתרון שאינו אפס.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x(x−8)=0x(x - 8) = 0

אסור לחלק ב-x — מאבדים את הפתרון אפס

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו: x2−100=0x^2 - 100 = 0 — הפתרון החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

x2=100x^2 = 100

שורש נותן שני פתרונות. השאלה מבקשת את החיובי — אבל השלילי קיים גם הוא.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו: 3x2=273x^2 = 27 — הפתרון החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x2=9x^2 = 9

קודם מחלקים במקדם כדי לבודד את x2x^2, ורק אז מוציאים שורש.

Check the answer on elev

Exercise 11

כמה פתרונות ל-x2+16=0x^2 + 16 = 0?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x2=−16x^2 = -16

ריבוע לא שלילי

Check the answer on elev

Exercise 12

פתרו: (x−4)2=0(x-4)^2 = 0

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x=4x = 4

פתרון יחיד — כפול

Check the answer on elev

Exercise 13

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2=8xx^2 = 8x
x2x=8xx\frac{x^2}{x} = \frac{8x}{x}
x=8x = 8
Show the answer and the solution

Answer: x2x=8xx\frac{x^2}{x} = \frac{8x}{x} → x2−8x=0  ⇒  x(x−8)=0x^2 - 8x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 8) = 0

Worked solution:

x(x−8)=0  ⇒  x=0  או  x=8\begin{aligned}x(x - 8) &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 0 \;\text{או}\; x \\ &= 8\end{aligned}

גורם משותף, בלי לחלק

מי שמחלק ב-xx מאבד את הפתרון x=0x = 0.

Check the answer on elev

Exercise 14

פתרו את המערכת y=x2+4xy = x^2 + 4x וגם y=x2+2x+6y = x^2 + 2x + 6. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

x2+4x=x2+2x+6x^2 + 4x = x^2 + 2x + 6

משווים בין שני ה-yy

2x=6  ⇒  x=3\begin{aligned}2x &= 6 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

ה-x2x^2 מתבטל, ונשארת משוואה פשוטה

y=32+4⋅3=21\begin{aligned}y &= 3^2 + 4 \cdot 3 \\ &= 21\end{aligned}

מציבים באחת המשוואות

כשה-x2x^2 מתבטל יש נקודה אחת בלבד: (3, 21)(3,\, 21). בדיקה בשנייה: 9+6+6=219 + 6 + 6 = 21.

Check the answer on elev

Exercise 15

למערכת y=x2+1y = x^2 + 1 וגם y=x2+5y = x^2 + 5 אין אף פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2+1=x2+5x^2 + 1 = x^2 + 5

משווים

1=51 = 5

ה-x2x^2 מתבטל, ונשאר שוויון שקר

שתי פרבולות זהות, אחת מוזזת 4 יחידות מעל השנייה: הן לא נפגשות. כשה-x2x^2 מתבטל יש לכל היותר נקודה אחת, ולפעמים אף לא אחת.

Check the answer on elev

Exercise 16

המערכת y=x2−2x+5y = x^2 - 2x + 5 וגם y=3x2+4x−3y = 3x^2 + 4x - 3. משווים ומעבירים הכול לאגף ימין, ומקבלים 0=2x2+bx+c0 = 2x^2 + bx + c.

b=b = ____ ; c=c = ____ ; הפתרון החיובי: x=x = ____

Show the answer and the solution

Answer: b=b = 6 ; c=c = -8 ; הפתרון החיובי: x=x = 1

Worked solution:

x2−2x+5=3x2+4x−3x^2 - 2x + 5 = 3x^2 + 4x - 3

משווים

0=2x2+6x−80 = 2x^2 + 6x - 8

−2x-2x עובר כ-+2x+2x, ו-+5+5 עובר כ-−5-5

x2+3x−4=0  ⇒  (x+4)(x−1)=0\begin{aligned}x^2 + 3x - 4 &= 0 \;\Rightarrow\; (x + 4)(x - 1) \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב-2 ומפרקים

איבר שעובר לאגף השני מחליף סימן: 4x−(−2x)=6x4x - (-2x) = 6x, ו-−3−5=−8-3 - 5 = -8. הפתרונות: x=1x = 1 או x=−4x = -4.

Check the answer on elev

Exercise 17

פתרו את המערכת xy=6xy = 6 וגם (x−1)(y+1)=6(x - 1)(y + 1) = 6. בפתרון שבו xx חיובי — מהו yy?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

xy+x−y−1=6xy + x - y - 1 = 6

פותחים את הסוגריים

6+x−y−1=6  ⇒  y=x−1\begin{aligned}6 + x - y - 1 &= 6 \;\Rightarrow\; y \\ &= x - 1\end{aligned}

מציבים xy=6xy = 6 ונשארת משוואה פשוטה

x(x−1)=6  ⇒  x2−x−6=0\begin{aligned}x(x - 1) &= 6 \;\Rightarrow\; x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים ב-xy=6xy = 6

(x−3)(x+2)=0(x - 3)(x + 2) = 0

x=3x = 3 או x=−2x = -2

x=3  ⇒  y=3−1=2\begin{aligned}x &= 3 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

חוזרים ל-y=x−1y = x - 1

הפתרונות: (3, 2)(3,\, 2) ו-(−2, −3)(-2,\, -3). בדיקה: (3−1)(2+1)=6(3 - 1)(2 + 1) = 6.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade