Expanding · Special products · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק הזה שלוש נוסחאות, ורק שלוש. הן חוסכות פתיחת סוגריים ארוכה.

ובהמשך הן מה שמאפשר פירוק לגורמים וצמצום שברים אלגבריים.

מאיפה הנוסחה הראשונה מגיעה

ריבוע של ביטוי הוא הביטוי כפול עצמו: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$ .

פותחים כרגיל: כל איבר כופל כל איבר. בטבלה, כל משבצת היא מכפלה אחת.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

זה כל הסוד של האיבר האמצעי: שתי מכפלות $ab$ . אחת מ- $a$ כפול $b$ , ואחת מ- $b$ כפול $a$ .

הטעות מספר אחת בכל הפרק, ובכל כיתה ט.

(a+b)^2 = a^2 + b^2

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

בדיקה מספרית שלוקחת שתי שניות: $(3+4)^2 = 49$ , אבל $9 + 16 = 25$ . אם התוצאה לא מסתדרת עם מספרים — הנוסחה שהופעלה שגויה.

(a-b)^2 = a^2 - b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

שתי הנוסחאות האלה נראות דומות ומתערבבות. הפרש ריבועים מגיע ממכפלת סכום בהפרש, לא מהעלאה בריבוע.

ריבוע של הפרש

נסו לבד: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$ . אילו ארבע מכפלות מתקבלות?

Show the answer and the solution

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . שתי המכפלות האמצעיות שליליות, ולכן האיבר האמצעי שלילי.

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

ב- $(a-b)^2$ רק האיבר האמצעי מקבל מינוס. $b^2$ נשאר חיובי: מינוס בריבוע הוא פלוס.

הפרש ריבועים — למה האמצע נעלם

אותה טבלה, אבל הסוגריים שונות: באחת מינוס, ובשנייה פלוס.

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

פתחו: $(x - 4)(x + 4)$

Show the answer and the solution

$x^2 - 16$ — שני האיברים האמצעיים, $+4x$ ו- $-4x$ , מתקזזים.

לזהות מי a ומי b

לפני שמציבים, עונים על שתי שאלות: מה במקום $a$ ? ומה במקום $b$ ?

כשיש מקדם, כמו ב- $(2x+3)^2$ , אז $a = 2x$ כולו. לא רק $x$ .

עם מקדם

פתחו: $(2x+3)^2$ .

\begin{aligned}a &= 2x \quad \\ \quad b &= 3\end{aligned}

a הוא כל האיבר הראשון, כולל המקדם

(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2

מציבים בנוסחה

4x^2 + 12x + 9

שימו לב: $(2x)^2 = 4x^2$ , לא $2x^2$

Interactive activity

פותחים יחד: $(5x - 2)^2$

פתחו את הסוגריים: $(5x - 2)^2$ . בכל שלב בחרו מה עושים — ורק אחר כך תראו את השורה.

$25x^2 - 20x + 4$

$5x^2 - 20x + 4$

$25x^2 - 10x + 4$

$25x^2 - 20x - 4$

קודם כול — מי $a$ ומי $b$ ?

$a = 5$ , $b = x$

Show the answer and the solution

לא. $a$ הוא האיבר הראשון כולו, ו- $5$ לבדו אינו איבר — הוא רק המקדם שלו.

$a = 5x$ , $b = 2$

Show the answer and the solution

כן. $a$ הוא כל האיבר הראשון, המקדם בכלל זה. זו הנקודה שבה רוב הטעויות נולדות.

$a = x$ , $b = 2$

Show the answer and the solution

לא — כך היינו מפתחים את $(x-2)^2$ , וזה ביטוי אחר לגמרי. המקדם $5$ אינו נעלם.

\begin{aligned}a &= 5x \quad \\ \quad b &= 2\end{aligned}

מזהים לפני שמציבים. $a = 5x$ כולו.

מהו האיבר הראשון, $a^2$ ?

$5x^2$

Show the answer and the solution

לא. כאן רק ה- $x$ עלה בריבוע. המקדם עולה בריבוע יחד איתו.

$25x^2$

Show the answer and the solution

כן: $(5x)^2 = 5^2 \cdot x^2 = 25x^2$ . הריבוע חל על המכפלה כולה.

$10x^2$

Show the answer and the solution

לא — $10$ הוא $5$ כפול $2$ , כלומר כפל ולא ריבוע. $5$ בריבוע הוא $25$ .

(5x)^2 = 25x^2

המקדם עולה בריבוע יחד עם $x$ — $25$ , לא $5$ ולא $10$ .

ומה האיבר האמצעי?

$-10x$ — כי $5 \cdot 2 = 10$

Show the answer and the solution

כמעט. שכחתם את הפעמיים: האיבר האמצעי הוא $2ab$ , לא $ab$ .

$-20x$ — פעמיים $5x$ כפול $2$

Show the answer and the solution

כן: $2 \cdot 5x \cdot 2 = 20x$ , והסימן שלילי כי בסוגריים יש מינוס.

$+20x$

Show the answer and the solution

הגודל נכון, הסימן לא. ב- $(a-b)^2$ רק האיבר האמצעי מקבל מינוס.

-2 \cdot 5x \cdot 2 = -20x

פעמיים המכפלה, עם מינוס. זה האיבר היחיד שהמינוס נוגע בו.

ולסיום — מהו האיבר האחרון?

$-4$

Show the answer and the solution

לא. המינוס נכנס לריבוע יחד עם $2$ , ומינוס בריבוע נותן פלוס.

$+4$

Show the answer and the solution

כן: $(-2)^2 = 4$ . האיבר האחרון חיובי תמיד בשתי נוסחאות הריבוע.

(-2)^2 = +4

חיובי — תמיד, בשתי נוסחאות הריבוע.

Show the answer and the solution

התשובה היא $25x^2 - 20x + 4$ . המסיחים מודדים בדיוק את שלוש הטעויות: מקדם שלא עלה בריבוע, «פעמיים» ששכחו, וסימן של האיבר האחרון.

Do the activity on elev

עכשיו אתם, לבד: $(3x-2)^2$

Show the answer and the solution

$9x^2 - 12x + 4$ . כאן $a = 3x$ , ולכן $a^2 = 9x^2$ — המקדם עולה בריבוע יחד עם $x$ .

חשבון מהיר בלי מחשבון

הנוסחאות עובדות גם על מספרים. הסוד: למצוא מספר עגול קרוב.

חשבו בעל-פה: $49^2$

Show the answer and the solution

$(50-1)^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$ . מספר עגול פחות אחד — הנוסחה השנייה.

איך זה מגיע בבעיה מילולית

בבעיה מילולית אף אחד לא כותב «השתמשו בנוסחה».

כתוב שם סיפור על ריבוע שגדל או קטן. מתרגמים את הסיפור לביטוי, והנוסחה מופיעה.

Interactive activity

גינה ריבועית שמרחיבים

(x+3)^2 - x^2 = \ ?

גינה ריבועית שאורך צלעה $x$ מטרים. מרחיבים כל אחת מהצלעות ב-3 מטרים. בכמה גדל השטח?

מתרגמים

\begin{aligned}\text{לפני} &= x^2 \quad \\ \quad \text{אחרי} &= (x+3)^2\end{aligned}

קודם כותבים את שני השטחים כביטוי. זה התרגום של הסיפור.

פותחים

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

נוסחה ראשונה, עם $a=x$ ו- $b=3$ .

מחסרים

(x^2 + 6x + 9) - x^2 = 6x + 9

השאלה היא «בכמה גדל», ולכן מחסרים. ה- $x^2$ מתבטל.

בודקים במספר

\begin{aligned}x &= 10 \ \Rightarrow\ 6 \cdot 10 + 9 \\ &= 69\end{aligned}

ובאמת: $13^2 - 10^2 = 169 - 100 = 69$ . תמיד לבדוק במספר — זה תופס טעות סימן בשתי שניות.

שימו לב שהתשובה תלויה ב- $x$ : גינה גדולה מרוויחה יותר מהרחבה של 3 מטרים מגינה קטנה.

Do the activity on elev

ריבוע שצלעו $x$ ס״מ. מאריכים צלע אחת ב-6 ס״מ ומקצרים את השנייה ב-6 ס״מ. בכמה קטן השטח?

Show the answer and the solution

ב- $36$ סמ״ר, ולא משנה מה $x$ : השטח החדש הוא $(x-6)(x+6) = x^2 - 36$ , כלומר תמיד פחות $36$ מהמקורי. זו הפרש ריבועים בסיפור.

שתי אותיות, וסדר שלא משנה

עד כאן $b$ היה מספר. אבל הנוסחאות עובדות על איברים, לא רק על מספרים.

ב- $(4x+7y)^2$ פשוט $a = 4x$ ו- $b = 7y$ . וזה הכול.

Interactive activity

פותחים עם שתי אותיות

(4x + 7y)^2

שום כלל חדש. אותה נוסחה ראשונה, עם $a$ ו- $b$ שהם שניהם איברים עם אות.

מזהים

\begin{aligned}a &= 4x \quad \\ \quad b &= 7y\end{aligned}

כל אחד מהם הוא איבר שלם, מקדם ואות יחד.

הריבועים

\begin{aligned}(4x)^2 &= 16x^2 \quad \\ \quad (7y)^2 &= 49y^2\end{aligned}

כל אחד עולה בריבוע כולו — המקדם וגם האות.

האמצע

2 \cdot 4x \cdot 7y = 56xy

פעמיים המכפלה. שימו לב שהאיבר האמצעי נושא את שתי האותיות: $xy$ , לא $x$ ולא $y$ לבד.

מרכיבים

(4x+7y)^2 = 16x^2 + 56xy + 49y^2

שלושה איברים, שלוש אותיות שונות — ובכל זאת אותה נוסחה בדיוק.

וזה עובד גם כששני האיברים הם מכפלות: ב- $(xy - 3)(xy + 3)$ פשוט $a = xy$ , והתוצאה היא $x^2y^2 - 9$ .

Do the activity on elev

הסדר בסוגריים לא משנה. $(-7 + x)^2$ הוא בדיוק $(x - 7)^2$ , כי חיבור מתחלף.

גם $(t + 9)(-9 + t)$ הוא $(t+9)(t-9)$ : הפרש ריבועים, אף שבמבט ראשון זה לא נראה כך. מסדרים לפני שמחליטים.

פתחו: $(6a - 5b)(6a + 5b)$

Show the answer and the solution

$36a^2 - 25b^2$ — הפרש ריבועים עם שתי אותיות. $a = 6a$ ו- $b = 5b$ , וכל אחד עולה בריבוע כולו.

טעימה של צמצום שברים

כל נוסחה נקראת גם בכיוון ההפוך: מי שרואה $x^2 - 25$ רשאי לכתוב $(x-5)(x+5)$ .

כך מצמצמים שבר: מפרקים את המונה למכפלה, ומצמצמים גורם שמופיע גם במכנה.

מצמצמים שבר

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

מזהים הפרש ריבועים במונה

\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3

הגורם $x+3$ מופיע למעלה ולמטה — מצטמצם

מצמצמים רק גורם שאינו אפס. כאן צריך $x \neq -3$ : במבחן כותבים את זה במילה אחת, אבל חייבים לכתוב.

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 49}{x - 7}$

Show the answer and the solution

$x + 7$ — המונה הוא $(x-7)(x+7)$ , והגורם $x-7$ מצטמצם (בתנאי ש- $x \neq 7$ ).

בתת-הנושא הבא, פירוק לגורמים, הכיוון ההפוך הופך לשיטה שלמה. שם נצמצם גם שברים שבהם צריך לפרק את המכנה.

Exercises

סדרה א — קל: ישר מהנוסחה

Exercise 1

בפתיחת הסוגריים, מה המקדם של $x$ ?

(x + 5)^2

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2 \cdot x \cdot 5 = 10x

האיבר האמצעי הוא פעמיים המכפלה

+10x

והסימן חיובי

הפיתוח המלא: $x^2 + 10x + 25$ .

הביטוי	המקדם של $x^2$	המקדם של $x$
$(3x + 4)^2$	____	____
$(5x - 1)^2$	____	____
$(6x - 5)(6x + 5)$	____	____

מאיפה הנוסחה הראשונה מגיעה

ריבוע של הפרש

הפרש ריבועים — למה האמצע נעלם

לזהות מי a ומי b

חשבון מהיר בלי מחשבון

איך זה מגיע בבעיה מילולית

שתי אותיות, וסדר שלא משנה

טעימה של צמצום שברים

Exercises

סדרה א — קל: ישר מהנוסחה

סדרה ב — בינוני: מקדמים, מספרים ושברים

סדרה ג — מאתגר: בעיות מילוליות וצמצום שברים

סדרה ד — מתקדם: שתי אותיות וסדר הפוך

סדרה ה — לקראת המבחן: הכול מעורבב

Keep practising on elev