The other direction: factoring

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו פתחנו סוגריים. עכשיו הכיוון ההפוך: מקבלים ביטוי פתוח, מזהים מאיזו נוסחה הוא בא, וסוגרים אותו חזרה.

למה זה שווה את המאמץ? ביטוי מפורק אפשר לצמצם בשבר. ואפשר להשוות אותו לאפס ולפתור משוואה.

הפרש ריבועים — הקל לזיהוי

שני איברים בלבד, שניהם ריבועים, ובאמצע מינוס. ביטוי כזה תמיד מתפרק, והציור מראה למה.

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

סכום ריבועים, כמו x2+9x^2 + 9, אינו מתפרק: אין שתי סוגריים שייתנו אותו. רק הפרש.

פרקו: x2−49x^2 - 49

Show the answer and the solution

(x−7)(x+7)(x-7)(x+7) — הפרש ריבועים בכיוון ההפוך. בדיקה: פותחים בחזרה ומקבלים x2−49x^2-49.

שלושה איברים — ריבוע מושלם

שלושה איברים, הראשון והאחרון ריבועים. זה לא מספיק.

צריך לבדוק שהאיבר האמצעי הוא בדיוק פעמיים המכפלה של שני השורשים. הבדיקה הזו היא ההבדל בין פירוק לניחוש.

פירוק שנראה נכון ואינו.

x2+6x+25=(x+5)2x^2 + 6x + 25 = (x+5)^2
2⋅x⋅5=10x≠6x2 \cdot x \cdot 5 = 10x \neq 6x

הקצוות מתאימים, אבל האיבר האמצעי לא. בלי הבדיקה הזו מפרקים ביטויים שאינם ריבוע מושלם.

x2+16=(x+4)2x^2 + 16 = (x+4)^2
(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

כאן חסר האיבר האמצעי לגמרי. סכום ריבועים אינו מתפרק — שני איברים עם פלוס נשארים כמו שהם.

האם x2−14x+49x^2 - 14x + 49 הוא ריבוע מושלם? ואם כן — של מה?

Show the answer and the solution

כן: x2=x\sqrt{x^2}=x, 49=7\sqrt{49}=7, ו-2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x — מתאים. המינוס באמצע נותן (x−7)2(x-7)^2.

הצעד שקודם לכל השאר: גורם משותף

לפני שמחפשים נוסחה, שואלים: האם משהו כופל את כל האיברים? אם כן, מוציאים אותו ראשון.

בלי הצעד הזה, 2x2−722x^2 - 72 נראה כאילו לא מתפרק: 2x22x^2 אינו ריבוע יפה, וגם 7272 לא.

הגורם שיצא ולא חזר.

2x2−72=(x−6)(x+6)2x^2 - 72 = (x-6)(x+6)
2x2−72=2(x−6)(x+6)2x^2 - 72 = 2(x-6)(x+6)

ה-22 הוצא ואז נשכח. בדיקה בפתיחה חוזרת: (x−6)(x+6)=x2−36(x-6)(x+6) = x^2 - 36, ולא 2x2−722x^2 - 72. כל גורם שיוצא חייב להופיע בתשובה.

3x3−27x=3x(x2−9)3x^3 - 27x = 3x(x^2 - 9)
3x3−27x=3x(x−3)(x+3)3x^3 - 27x = 3x(x-3)(x+3)

כאן הגורם המשותף נכון, אבל עצרו באמצע: מה שנשאר בסוגריים עדיין מתפרק. מפרקים עד הסוף.

פרקו עד הסוף: 4x2−644x^2 - 64

Show the answer and the solution

4(x−4)(x+4)4(x-4)(x+4) — מוציאים 44, ואז הפרש ריבועים בסוגריים. אפשר גם (2x−8)(2x+8)(2x-8)(2x+8), וזה נכון — אבל לא מפורק עד הסוף, כי מכל סוגריים אפשר עוד להוציא 22.

צמצום שברים בעזרת פירוק

זו הסיבה שהפירוק שווה את הטרחה: אי אפשר לצמצם חיבור, רק מכפלה.

לכן בשבר אלגברי מפרקים קודם את המונה ואת המכנה. רק אז מוחקים גורם שמופיע בשניהם.

כשצריך לפרק גם למטה

צמצמו: x2−25x2−10x+25\dfrac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}.

x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

למעלה: הפרש ריבועים

x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

למטה: ריבוע מושלם — הבדיקה: 2⋅x⋅5=10x2 \cdot x \cdot 5 = 10x

(x−5)(x+5)(x−5)2=x+5x−5\dfrac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \dfrac{x+5}{x-5}

גורם (x−5)(x-5) אחד נמחק. אחד, לא שניים

x≠5x \neq 5

ומציינים את התחום

אסור למחוק x2x^2 למעלה ולמטה: הוא איבר בתוך חיבור, לא גורם. מוחקים רק מה שכופל את כל השורה.

צמצמו: x2−36x+6\dfrac{x^2 - 36}{x + 6}

Show the answer and the solution

x−6x - 6 — המונה הוא (x−6)(x+6)(x-6)(x+6), והגורם (x+6)(x+6) נמחק. בתנאי ש-x≠−6x \neq -6.

ולמה זה פותח משוואות

הפירוק הוא הכלי שפותח את המשוואות הריבועיות.

x2−9=0x^2 - 9 = 0 הופכת ל-(x−3)(x+3)=0(x-3)(x+3) = 0. מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים אפס: x=3x = 3 או x=−3x = -3.

Exercises

סדרה א — קל: לזהות ולסגור

Exercise 1

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−9x^2 - 9
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

9=3\sqrt{9} = 3

שורש האיבר השני

x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−16x^2 - 16
Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

16=4\sqrt{16} = 4

שורש האיבר השני

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x-4)(x+4)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

Check the answer on elev

Exercise 3

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−25x^2 - 25
Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

25=5\sqrt{25} = 5

שורש האיבר השני

x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

Check the answer on elev

Exercise 4

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−49x^2 - 49
Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

49=7\sqrt{49} = 7

שורש האיבר השני

x2−49=(x−7)(x+7)x^2 - 49 = (x-7)(x+7)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

Check the answer on elev

Exercise 5

פרקו לגורמים. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

x2−100x^2 - 100
Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

100=10\sqrt{100} = 10

שורש האיבר השני

x2−100=(x−10)(x+10)x^2 - 100 = (x-10)(x+10)

הפרש ריבועים

אותו מספר בשתי הסוגריים, פעם עם מינוס ופעם עם פלוס.

Check the answer on elev

Exercise 6

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2+10x+25=(x+?)2x^2 + 10x + 25 = (x + \quad ?\quad )^2
Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

25=5\sqrt{25} = 5

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅5=10x2 \cdot x \cdot 5 = 10x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2+6x+9=(x+?)2x^2 + 6x + 9 = (x + \quad ?\quad )^2
Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

9=3\sqrt{9} = 3

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅3=6x2 \cdot x \cdot 3 = 6x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

Check the answer on elev

Exercise 8

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2+14x+49=(x+?)2x^2 + 14x + 49 = (x + \quad ?\quad )^2
Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

49=7\sqrt{49} = 7

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

Check the answer on elev

Exercise 9

השלימו את הפירוק: מה המספר החסר בסוגריים?

x2−12x+36=(x−?)2x^2 - 12x + 36 = (x - \quad ?\quad )^2
Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

36=6\sqrt{36} = 6

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅6=12x2 \cdot x \cdot 6 = 12x

בודקים שהאיבר האמצעי מתאים — והוא מתאים

הבדיקה של האיבר האמצעי היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

Check the answer on elev

Exercise 10

איזה ביטוי אינו ניתן לפירוק?

  1. x2+9x^2 + 9
  2. x2+6x+9x^2 + 6x + 9
  3. x2−6x+9x^2 - 6x + 9
  4. x2−9x^2 - 9
Show the answer and the solution

Answer: A x2+9x^2 + 9

Worked solution:

(x+3)2=x2+6x+9≠x2+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \neq x^2 + 9

החסר הוא האיבר האמצעי

רק הפרש ריבועים מתפרק. סכום — לא, ואין נוסחה שתעזור.

Check the answer on elev

Exercise 11

האם אפשר לכתוב את x2+6x+25x^2 + 6x + 25 בצורה (x+k)2(x + k)^2?

  1. לא ניתן לדעת
  2. לא — האיבר האמצעי היה צריך להיות 10x10x
  3. כן, (x+5)2(x+5)^2
  4. כן, (x+3)2(x+3)^2
Show the answer and the solution

Answer: B לא — האיבר האמצעי היה צריך להיות 10x10x

Worked solution:

25=5\sqrt{25} = 5

שורש האיבר האחרון

2⋅x⋅5=10x≠6x2 \cdot x \cdot 5 = 10x \neq 6x

והאמצעי אינו מתאים

הקצוות מתאימים והאמצע לא — וזה מספיק כדי לפסול. הבדיקה השלישית היא זו שמכריעה.

Check the answer on elev

Exercise 12

9−x29 - x^2 אינו מתפרק, כי ה-x2x^2 הוא השני ולא הראשון.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

9−x2=32−x29 - x^2 = 3^2 - x^2

שני ריבועים, ובאמצע מינוס

=(3−x)(3+x)= (3-x)(3+x)

הפרש ריבועים כרגיל

לא נכון. הסדר אינו משנה — מה שקובע הוא שני איברים ובאמצע מינוס. כאן a=3a=3 ו-b=xb=x.

Check the answer on elev

Exercise 13

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2−36=(x−6)(x+6)x^2 - 36 = (x-6)(x+6)
4a2+4a+1=(2a+1)24a^2 + 4a + 1 = (2a+1)^2
x2+16=(x+4)2x^2 + 16 = (x+4)^2
Show the answer and the solution

Answer: x2+16=(x+4)2x^2 + 16 = (x+4)^2 → x2+16 אינו מתפרקx^2 + 16 \ \text{אינו מתפרק}

Worked solution:

(x+4)2=x2+8x+16(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

פותחים בחזרה ומשווים

חסר האיבר האמצעי 8x8x. סכום ריבועים אינו מתפרק.

Check the answer on elev

Exercise 14

השלימו: האם כל ביטוי הוא ריבוע מושלם?

הביטויפעמיים המכפלהריבוע מושלם?
x2+8x+16x^2 + 8x + 16________
x2+12x+16x^2 + 12x + 16________
4x2+20x+254x^2 + 20x + 25________
9x2+12x+169x^2 + 12x + 16________
Show the answer and the solution

Answer: x2+8x+16x^2 + 8x + 16: 8, כן · x2+12x+16x^2 + 12x + 16: 8, לא · 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25: 20, כן · 9x2+12x+169x^2 + 12x + 16: 24, לא

Worked solution:

2⋅x⋅4=8x2 \cdot x \cdot 4 = 8x

מתאים ל-8x8x: (x+4)2(x+4)^2

2⋅x⋅4=8x≠12x2 \cdot x \cdot 4 = 8x \neq 12x

אותם קצוות, אמצע אחר: לא ריבוע מושלם

2⋅2x⋅5=20x2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x

מתאים: (2x+5)2(2x+5)^2

2⋅3x⋅4=24x≠12x2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x \neq 12x

לא מתאים

הקצוות לבדם לא מספיקים: x2+8x+16x^2 + 8x + 16 ו-x2+12x+16x^2 + 12x + 16 חולקים אותם, ורק בדיקת האמצע מבדילה ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 15

מיינו: איזה ביטוי מתפרק בעזרת נוסחה, ואיזה לא?

  • מתפרק
  • לא מתפרק
  • 36−x236 - x^2
  • x2−12x+36x^2 - 12x + 36
  • x2−36x^2 - 36
  • x2+12x+36x^2 + 12x + 36
  • x2+36x^2 + 36
  • x2+6x+36x^2 + 6x + 36
Show the answer and the solution

Answer: x2−36x^2 - 36 — מתפרק · x2+36x^2 + 36 — לא מתפרק · x2+12x+36x^2 + 12x + 36 — מתפרק · x2+6x+36x^2 + 6x + 36 — לא מתפרק · 36−x236 - x^2 — מתפרק · x2−12x+36x^2 - 12x + 36 — מתפרק

Worked solution:

x2−36=(x−6)(x+6)36−x2=(6−x)(6+x)\begin{aligned}x^2 - 36 &= (x-6)(x+6) \quad \\ \quad 36 - x^2 &= (6-x)(6+x)\end{aligned}

הפרש ריבועים, בכל סדר

x2±12x+36=(x±6)2x^2 \pm 12x + 36 = (x \pm 6)^2

2⋅x⋅6=12x2 \cdot x \cdot 6 = 12x: מתאים

2⋅x⋅6=12x≠6x2 \cdot x \cdot 6 = 12x \neq 6x

x2+6x+36x^2 + 6x + 36: האמצע לא מתאים

שתי מלכודות: x2+36x^2 + 36 הוא סכום ריבועים, ו-x2+6x+36x^2 + 6x + 36 עובר את בדיקת הקצוות ונכשל באמצע.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני: מקדמים, מספרים ושברים

Exercise 16

פרקו לגורמים: 9x2+12x+49x^2 + 12x + 4

  1. (9x+2)2(9x+2)^2
  2. (3x+2)2(3x+2)^2
  3. (3x+2)(3x−2)(3x+2)(3x-2)
  4. (3x+4)2(3x+4)^2
Show the answer and the solution

Answer: B (3x+2)2(3x+2)^2

Worked solution:

9x2=3x4=2\begin{aligned}\sqrt{9x^2} &= 3x \quad \\ \quad \sqrt{4} &= 2\end{aligned}

שורש משני הקצוות, המקדם בכלל זה

2⋅3x⋅2=12x ✓2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x \ \checkmark

והאמצע מתאים

(9x+2)2(9x+2)^2 נופל בבדיקה: שם המקדם לא הוצא ממנו שורש.

Check the answer on elev

Exercise 17

פרקו לגורמים: x2−10x+25x^2 - 10x + 25

  1. (x−25)2(x-25)^2
  2. (x+5)2(x+5)^2
  3. (x−5)2(x-5)^2
  4. (x−5)(x+5)(x-5)(x+5)
Show the answer and the solution

Answer: C (x−5)2(x-5)^2

Worked solution:

2⋅x⋅5=10x ✓2 \cdot x \cdot 5 = 10x \ \checkmark

הבדיקה עוברת

x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

והמינוס באמצע קובע את הסימן

המינוס באמצע והפלוס בסוף — סימן ההיכר של (a−b)2(a-b)^2.

Check the answer on elev

Exercise 18

פרקו: 4x2−494x^2 - 49. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים ליד ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

4x2=2x\sqrt{4x^2} = 2x

שורש של האיבר כולו, המקדם בכלל זה

4x2−49=(2x−7)(2x+7)4x^2 - 49 = (2x-7)(2x+7)

הפרש ריבועים

המקדם 22 הוא מה ש-44 נותן בשורש. הטעות הנפוצה היא לכתוב 4x4x.

Check the answer on elev

Exercise 19

השלימו כך שיתקבל (4x−k)2(4x - k)^2: □ x2−24x+□=(4x−□)2\square \, x^2 - 24x + \square = (4x - \square)^2

המקדם של x2x^2: ____ , המספר החופשי: ____ , ובסוגריים: ____

Show the answer and the solution

Answer: המקדם של x2x^2: 16 , המספר החופשי: 9 , ובסוגריים: 3

Worked solution:

(4x)2=16x2(4x)^2 = 16x^2
2⋅4x⋅3=24x2 \cdot 4x \cdot 3 = 24x

האמצעי מכתיב הכול

32=93^2 = 9

מהאיבר האמצעי מחלצים את שני הריבועים.

Check the answer on elev

Exercise 20

חשבו בלי מחשבון בעזרת פירוק: 272−23227^2 - 23^2

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

(27−23)(27+23)(27-23)(27+23)

הפרש ריבועים בכיוון ההפוך

4⋅50=2004 \cdot 50 = 200

הפרש קטן כפול סכום עגול — זה כל הרווח.

Check the answer on elev

Exercise 21

חשבו בלי מחשבון: 552−45255^2 - 45^2

Show the answer and the solution

Answer: 1000

Worked solution:

(55−45)(55+45)(55-45)(55+45)

הפרש ריבועים

10⋅100=100010 \cdot 100 = 1000

שני מספרים לא נוחים, ותשובה עגולה לגמרי.

Check the answer on elev

Exercise 22

חשבו בלי מחשבון: 82−2⋅8⋅3+328^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 + 3^2

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

(8−3)2(8-3)^2

זו בדיוק התבנית של ריבוע ההפרש — במספרים

52=255^2 = 25

מי שחישב איבר-איבר קיבל 64−48+964-48+9; אותה תשובה, שלוש פעמים יותר עבודה.

Check the answer on elev

Exercise 23

חשבו בלי מחשבון:

19+2⋅13⋅23+49\frac{1}{9} + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{9}
Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

(13+23)2\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right)^2

לזהות את התבנית — גם בשברים

12=11^2 = 1

מי שמחשב איבר-איבר עובד קשה; מי שמזהה ריבוע — גומר בשנייה.

Check the answer on elev

Exercise 24

צמצמו את השבר:

4x2−252x−5\dfrac{4x^2 - 25}{2x - 5}
  1. 2x−52x - 5
  2. 2x+52x + 5
  3. 4x+54x + 5
  4. אי אפשר לצמצם
Show the answer and the solution

Answer: B 2x+52x + 5

Worked solution:

4x2−25=(2x−5)(2x+5)4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)

הפרש ריבועים עם מקדם

(2x−5)(2x+5)2x−5=2x+5\dfrac{(2x-5)(2x+5)}{2x-5} = 2x+5

הגורם שבמכנה נמחק

מצטמצם (2x−5)(2x-5), ולכן מה שנשאר הוא הגורם השני. בתנאי ש-x≠2.5x \neq 2.5.

Check the answer on elev

Exercise 25

צמצמו ורק אחר כך הציבו:

x2−36x+6x=15\begin{aligned}\dfrac{x^2 - 36}{x + 6} \quad \\ \quad x &= 15\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

(x−6)(x+6)x+6=x−6\dfrac{(x-6)(x+6)}{x+6} = x - 6

מפרקים ומצמצמים

15−6=915 - 6 = 9

מציבים בסוף

הצבה לפני צמצום הייתה מחייבת לחשב 225−36225-36 ואז לחלק ב-2121.

Check the answer on elev

Exercise 26

צמצמו את השבר:

x2−9x2−6x+9\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}
  1. x+3x−3\dfrac{x+3}{x-3}
  2. x+3x + 3
  3. x−3x+3\dfrac{x-3}{x+3}
  4. אי אפשר לצמצם
Show the answer and the solution

Answer: A x+3x−3\dfrac{x+3}{x-3}

Worked solution:

(x−3)(x+3)(x−3)2\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}

מפרקים למעלה ולמטה

=x+3x−3= \dfrac{x+3}{x-3}

גורם (x−3)(x-3) אחד נמחק

למטה יש שני עותקים של (x−3)(x-3), ורק אחד מהם מצטמצם — נשאר אחד במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 27

מיינו: איזו תבנית לפניכם?

  • ריבוע מושלם
  • הפרש ריבועים
  • 100−9t2100 - 9t^2
  • 49a2−149a^2 - 1
  • 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9
  • 81−x281 - x^2
  • 9−6y+y29 - 6y + y^2
  • x2+6x+9x^2 + 6x + 9
Show the answer and the solution

Answer: 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9 — ריבוע מושלם · 81−x281 - x^2 — הפרש ריבועים · x2+6x+9x^2 + 6x + 9 — ריבוע מושלם · 49a2−149a^2 - 1 — הפרש ריבועים · 9−6y+y29 - 6y + y^2 — ריבוע מושלם · 100−9t2100 - 9t^2 — הפרש ריבועים

Worked solution:

שלושה איברים — ריבוע מושלם. שניים בלבד, עם מינוס — הפרש ריבועים. הסדר בביטוי לא משנה.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר: בעיות מילוליות וצמצום שברים

Exercise 28

שטחו של ריבוע הוא x2+12x+36x^2 + 12x + 36 סמ״ר. מה אורך צלעו בס״מ, כאשר x=4x = 4?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2⋅x⋅6=12x ✓2 \cdot x \cdot 6 = 12x \ \checkmark

הבדיקה עוברת — זה ריבוע מושלם

x2+12x+36=(x+6)2x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2

ולכן הצלע היא x+6x+6

4+6=104 + 6 = 10

מציבים

שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע — ולכן «מצאו צלע» פירושו «פרקו לגורמים».

Check the answer on elev

Exercise 29

שטחו של מלבן הוא x2−49x^2 - 49 סמ״ר, ואחת מצלעותיו היא x−7x - 7 ס״מ. מה אורך הצלע השנייה, כאשר x=20x = 20?

Show the answer and the solution

Answer: 27

Worked solution:

x2−49=(x−7)(x+7)x^2 - 49 = (x-7)(x+7)

שטח מלבן הוא מכפלת צלעותיו — אז מפרקים

הצלע השנייה=x+7\text{הצלע השנייה} = x + 7

הגורם השני הוא הצלע החסרה

20+7=2720 + 7 = 27

מציבים

אין כאן חילוק ארוך: פירוק הוא החילוק.

Check the answer on elev

Exercise 30

גינה ריבועית ששטחה 9x2−24x+169x^2 - 24x + 16 מ״ר. מה אורך צלעה במטרים, כאשר x=3x = 3?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

9x2=3x  16=4\begin{aligned}\sqrt{9x^2} &= 3x \ \\ \ \sqrt{16} &= 4\end{aligned}

שורש משני הקצוות

2⋅3x⋅4=24x ✓2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x \ \checkmark

האמצע מתאים, והוא שלילי

(3x−4)2 ⇒ 3⋅3−4=5(3x-4)^2 \ \Rightarrow\ 3 \cdot 3 - 4 = 5

מציבים

המינוס באמצע הוא שקבע (3x−4)(3x-4) ולא (3x+4)(3x+4).

Check the answer on elev

Exercise 31

חשבו בלי מחשבון:

372−13224\dfrac{37^2 - 13^2}{24}
Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

372−132=(37−13)(37+13)37^2 - 13^2 = (37-13)(37+13)

הפרש ריבועים

=24⋅50= 24 \cdot 50

וההפרש הוא בדיוק המכנה

24⋅5024=50\dfrac{24 \cdot 50}{24} = 50

מי שהעלה בריבוע קודם עשה שני כפלים ארוכים לחינם.

Check the answer on elev

Exercise 32

חשבו בלי מחשבון: 1012−992101^2 - 99^2

Show the answer and the solution

Answer: 400

Worked solution:

(101−99)(101+99)(101-99)(101+99)

הפרש ריבועים

2⋅200=4002 \cdot 200 = 400

שני מספרים בני שלוש ספרות, ותרגיל של שתי שניות.

Check the answer on elev

Exercise 33

צמצמו את השבר:

x2−1x2+2x+1\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}
  1. x−1x - 1
  2. x−1x+1\dfrac{x-1}{x+1}
  3. x+1x−1\dfrac{x+1}{x-1}
  4. אי אפשר לצמצם
Show the answer and the solution

Answer: B x−1x+1\dfrac{x-1}{x+1}

Worked solution:

x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

למעלה: הפרש ריבועים, כש-b=1b=1

x2+2x+1=(x+1)2x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2

למטה: ריבוע מושלם

(x−1)(x+1)(x+1)2=x−1x+1\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac{x-1}{x+1}

ה-11 הוא 121^2, וזה מה שמסווה את שתי התבניות. בתנאי ש-x≠−1x \neq -1.

Check the answer on elev

Exercise 34

צמצמו את הביטוי x2−4x−2−x\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} - x. איזה מספר מתקבל (לכל xx מותר)?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

(x−2)(x+2)x−2=x+2\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2

מפרקים ומצמצמים

(x+2)−x=2(x + 2) - x = 2

וה-xx מתבטל

התוצאה אינה תלויה ב-xx בכלל. בדיקה ב-x=7x=7: 455−7=9−7=2\dfrac{45}{5} - 7 = 9 - 7 = 2.

Check the answer on elev

Exercise 35

aa ו-bb שני מספרים שסכומם 5050 והפרשם 44. מהו a2−b2a^2 - b^2?

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הנוסחה, בכיוון ההפוך

=4⋅50=200= 4 \cdot 50 = 200

מציבים ישר את מה שנתון

לא צריך למצוא את aa ואת bb בכלל — הנוסחה שואלת בדיוק את מה שנתון.

Check the answer on elev

Exercise 36

אילו מהביטויים הבאים אינו מתפרק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר?

  1. 4x2−94x^2 - 9
  2. 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9
  3. 4x2+94x^2 + 9
  4. 4x2+12x+94x^2 + 12x + 9
Show the answer and the solution

Answer: C 4x2+94x^2 + 9

Worked solution:

4x2+9→סכום4x^2 + 9 \rightarrow \text{סכום}

שני איברים, ובאמצע פלוס

סכום שני ריבועים אינו מתפרק. שלושת האחרים כן — האחד הפרש ריבועים, השניים האחרים ריבועים מושלמים.

Check the answer on elev

Exercise 37

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

9x2−30x+25=(3x−5)29x^2 - 30x + 25 = (3x-5)^2
x2−25x2−10x+25=x+5x−5\dfrac{x^2-25}{x^2-10x+25} = \dfrac{x+5}{x-5}
x2+4x+2=x+2\dfrac{x^2+4}{x+2} = x + 2
Show the answer and the solution

Answer: x2+4x+2=x+2\dfrac{x^2+4}{x+2} = x + 2 → x2+4x+2 אינו מצטמצם\dfrac{x^2+4}{x+2} \ \text{אינו מצטמצם}

Worked solution:

x2+4≠(x+2)2x^2 + 4 \neq (x+2)^2

כי (x+2)2=x2+4x+4(x+2)^2 = x^2+4x+4

המונה הוא סכום ריבועים ואינו מתפרק — ולכן אין גורם משותף למחוק. בדיקה ב-x=2x=2: 84=2\dfrac{8}{4}=2, ואילו x+2=4x+2 = 4.

Check the answer on elev

Exercise 38

סדרו את שלבי הפירוק של x2−14x+49x^2 - 14x + 49 בסדר הנכון

  • בודקים את האמצע: 2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x — מתאים
  • בודקים בפתיחה חוזרת
  • מוציאים שורש משני הקצוות: xx ו-77
  • סוגרים לפי סימן האמצע: (x−7)2(x-7)^2
  • סופרים איברים: שלושה — אז לא הפרש ריבועים
Show the answer and the solution

Answer: סופרים איברים: שלושה — אז לא הפרש ריבועים · מוציאים שורש משני הקצוות: xx ו-77 · בודקים את האמצע: 2⋅x⋅7=14x2 \cdot x \cdot 7 = 14x — מתאים · סוגרים לפי סימן האמצע: (x−7)2(x-7)^2 · בודקים בפתיחה חוזרת

Worked solution:

הסדר אינו שרירותי: הספירה קובעת איזו נוסחה בכלל רלוונטית, ובדיקת האמצע היא מה שמפריד בין פירוק לניחוש.

Check the answer on elev

Exercise 39

מריבוע שצלעו 1111 ס״מ חותכים בפינה ריבוע שצלעו 44 ס״מ. את מה שנשאר חותכים ומסדרים מחדש למלבן, שאחת מצלעותיו 77 ס״מ. מה אורך הצלע השנייה, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

112−42=121−16=105\begin{aligned}11^2 - 4^2 &= 121 - 16 \\ &= 105\end{aligned}

השטח שנשאר, בסמ״ר

(11−4)(11+4)=7⋅15(11 - 4)(11 + 4) = 7 \cdot 15

הפרש ריבועים: הצלע הקצרה 11−411 - 4, והארוכה 11+411 + 4

1515 ס״מ: החתיכה שהזיזו מאריכה את הצלע של 1111 ב-44. מי שענה 1111 שכח את החתיכה, ומי שענה 44 בלבל בין רוחב החתיכה לצלע.

Check the answer on elev

סדרה ד — מתקדם: קודם גורם משותף, ואז הנוסחה

Exercise 40

פרקו עד הסוף: 2x2−722x^2 - 72. מה הגורם שיוצא מחוץ לסוגריים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

2x2−72=2(x2−36)2x^2 - 72 = 2(x^2 - 36)

22 כופל את שני האיברים

=2(x−6)(x+6)= 2(x-6)(x+6)

ואז הפרש ריבועים

בלי להוציא את 22 הביטוי נראה כאילו אינו מתפרק.

Check the answer on elev

Exercise 41

באותו פירוק של 2x2−722x^2 - 72 — מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

2(x2−36)2(x^2 - 36)

אחרי הוצאת הגורם

36=6\sqrt{36} = 6

שימו לב שהשורש נלקח מ-3636, לא מ-7272: אחרי ההוצאה המספר השתנה.

Check the answer on elev

Exercise 42

פרקו עד הסוף: 3x3−27x3x^3 - 27x. מה המספר שמופיע בשתי הסוגריים?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

3x3−27x=3x(x2−9)3x^3 - 27x = 3x(x^2 - 9)

הגורם המשותף הוא 3x3x — מספר ואות

=3x(x−3)(x+3)= 3x(x-3)(x+3)

ומה שנשאר עדיין מתפרק

עצירה ב-3x(x2−9)3x(x^2-9) היא הטעות: מפרקים עד הסוף.

Check the answer on elev

Exercise 43

פרקו עד הסוף: 3x2−12x+123x^2 - 12x + 12

  1. 3(x2−4x+4)3(x^2-4x+4)
  2. 3(x−2)(x+2)3(x-2)(x+2)
  3. 3(x−2)23(x-2)^2
  4. (x−2)2(x-2)^2
Show the answer and the solution

Answer: C 3(x−2)23(x-2)^2

Worked solution:

3(x2−4x+4)3(x^2 - 4x + 4)

מוציאים 55

2⋅x⋅2=4x ✓2 \cdot x \cdot 2 = 4x \ \checkmark

הבדיקה עוברת בתוך הסוגריים

=3(x−2)2= 3(x-2)^2

(x−2)2(x-2)^2 שכח את השלוש, ו-3(x2−4x+4)3(x^2-4x+4) עצר באמצע — נכון, אבל לא מפורק.

Check the answer on elev

Exercise 44

פרקו עד הסוף: 4x2−644x^2 - 64

  1. (2x−8)(2x+8)(2x-8)(2x+8)
  2. 4(x−4)(x+4)4(x-4)(x+4)
  3. 2(x−4)(x+4)2(x-4)(x+4)
  4. 4(x−16)(x+16)4(x-16)(x+16)
Show the answer and the solution

Answer: B 4(x−4)(x+4)4(x-4)(x+4)

Worked solution:

4x2−64=4(x2−16)4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16)

מוציאים 44

=4(x−4)(x+4)= 4(x-4)(x+4)

(2x−8)(2x+8)(2x-8)(2x+8) שווה בערכו — אבל אינו מפורק עד הסוף: מכל סוגריים אפשר עוד להוציא 22.

Check the answer on elev

Exercise 45

פרקו עד הסוף: 2x2+20x+502x^2 + 20x + 50. מה המספר בתוך הסוגריים?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2(x2+10x+25)2(x^2 + 10x + 25)

מוציאים 22

2⋅x⋅5=10x ✓2 \cdot x \cdot 5 = 10x \ \checkmark

הבדיקה בתוך הסוגריים

=2(x+5)2= 2(x+5)^2

התשובה השלמה היא 2(x+5)22(x+5)^2 — עם ה-22.

Check the answer on elev

Exercise 46

פרקו עד הסוף: 50a3−8a50a^3 - 8a

  1. 2a(25a2−4)2a(25a^2-4)
  2. 2a(5a−2)22a(5a-2)^2
  3. 2a(5a−2)(5a+2)2a(5a-2)(5a+2)
  4. (50a−8)(a2+1)(50a-8)(a^2+1)
Show the answer and the solution

Answer: C 2a(5a−2)(5a+2)2a(5a-2)(5a+2)

Worked solution:

50a3−8a=2a(25a2−4)50a^3 - 8a = 2a(25a^2 - 4)

הגורם המשותף הוא 2a2a

25a2=5a  4=2\begin{aligned}\sqrt{25a^2} &= 5a \ \\ \ \sqrt{4} &= 2\end{aligned}

ומה שנשאר הוא הפרש ריבועים

=2a(5a−2)(5a+2)= 2a(5a-2)(5a+2)

שלושה שלבים ברצף — גורם משותף, ואז נוסחה. התשובה השנייה עצרה באמצע.

Check the answer on elev

Exercise 47

x3−4xx^3 - 4x אינו מתפרק, כי אין נוסחה לחזקה שלישית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x3−4x=x(x2−4)x^3 - 4x = x(x^2 - 4)

קודם גורם משותף — כאן xx

=x(x−2)(x+2)= x(x-2)(x+2)

ואז הפרש ריבועים

לא נכון. הוצאת הגורם המשותף מורידה את החזקה, ומה שנשאר הוא ביטוי ריבועי מוכר.

Check the answer on elev

Exercise 48

השלימו: □ x2−□=3(x−4)(x+4)\square \, x^2 - \square = 3(x-4)(x+4)

המקדם של x2x^2: ____ , המספר החופשי: ____

Show the answer and the solution

Answer: המקדם של x2x^2: 3 , המספר החופשי: 48

Worked solution:

3(x−4)(x+4)=3(x2−16)3(x-4)(x+4) = 3(x^2-16)

פותחים את שתי הסוגריים

=3x2−48= 3x^2 - 48

ומכפילים ב-33

הדרך הבטוחה היא לפתוח בחזרה — לא לנחש.

Check the answer on elev

Exercise 49

צמצמו והציבו:

2x2−18x+3x=10\begin{aligned}\dfrac{2x^2 - 18}{x + 3} \quad \\ \quad x &= 10\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

2x2−18=2(x−3)(x+3)2x^2 - 18 = 2(x-3)(x+3)

קודם גורם משותף, ואז הנוסחה

2(x−3)(x+3)x+3=2(x−3)\dfrac{2(x-3)(x+3)}{x+3} = 2(x-3)

מצטמצם (x+3)(x+3)

2⋅7=142 \cdot 7 = 14

מציבים

ה-22 נשאר: מצטמצם רק הגורם שמופיע למעלה ולמטה.

Check the answer on elev

Exercise 50

צמצמו והציבו:

50a3−8a5a−2a=1\begin{aligned}\dfrac{50a^3 - 8a}{5a - 2} \quad \\ \quad a &= 1\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

50a3−8a=2a(5a−2)(5a+2)50a^3 - 8a = 2a(5a-2)(5a+2)

גורם משותף, ואז הפרש ריבועים

2a(5a−2)(5a+2)5a−2=2a(5a+2)\dfrac{2a(5a-2)(5a+2)}{5a-2} = 2a(5a+2)

מצטמצם (5a−2)(5a-2)

2⋅1⋅7=142 \cdot 1 \cdot 7 = 14

מציבים

בדיקה ישירה: 50−83=423=14\dfrac{50-8}{3} = \dfrac{42}{3} = 14.

Check the answer on elev

Exercise 51

סדרו את שלבי הפירוק של 2x2−502x^2 - 50 בסדר הנכון

  • מוציאים אותו: 2(x2−25)2(x^2 - 25)
  • מחפשים גורם משותף לכל האיברים: 22
  • מפרקים לפי הפרש ריבועים: 2(x−5)(x+5)2(x-5)(x+5)
  • סופרים איברים בתוך הסוגריים: שניים, ובאמצע מינוס
  • פותחים בחזרה כדי לבדוק
Show the answer and the solution

Answer: מחפשים גורם משותף לכל האיברים: 22 · מוציאים אותו: 2(x2−25)2(x^2 - 25) · סופרים איברים בתוך הסוגריים: שניים, ובאמצע מינוס · מפרקים לפי הפרש ריבועים: 2(x−5)(x+5)2(x-5)(x+5) · פותחים בחזרה כדי לבדוק

Worked solution:

הגורם המשותף קודם לכל השאר. מי שמתחיל מהנוסחה מסתכל על 2x22x^2 ו-5050 ולא מוצא שורשים יפים.

Check the answer on elev

סדרה ה — לקראת המבחן: שברים, השוואות והוכחה

Exercise 52

צמצמו והציבו:

4x+244x=5\begin{aligned}\dfrac{4x + 24}{4} \quad \\ \quad x &= 5\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

4(x+6)4=x+6\dfrac{4(x+6)}{4} = x + 6

גורם משותף במונה, ואז מצמצמים

5+6=115 + 6 = 11

אסור למחוק את ה-44 מ-4x4x בלבד: מצמצמים רק אחרי שהמונה הפך למכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 53

צמצמו והציבו:

9y2+9y4y+4y=4\begin{aligned}\dfrac{9y^2 + 9y}{4y + 4} \quad \\ \quad y &= 4\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

9y(y+1)4(y+1)\dfrac{9y(y+1)}{4(y+1)}

גורם משותף למעלה (9y9y) וגורם משותף למטה (44)

=9y4= \dfrac{9y}{4}

מצטמצם (y+1)(y+1)

9⋅44=9\dfrac{9 \cdot 4}{4} = 9

שני צדדים, שני גורמים משותפים — ורק אז אפשר לצמצם.

Check the answer on elev

Exercise 54

צמצמו את השבר:

3x2−27x2+6x+9\dfrac{3x^2 - 27}{x^2 + 6x + 9}
  1. 3(x−3)3(x-3)
  2. אי אפשר לצמצם
  3. 3(x−3)x+3\dfrac{3(x-3)}{x+3}
  4. x−3x+3\dfrac{x-3}{x+3}
Show the answer and the solution

Answer: C 3(x−3)x+3\dfrac{3(x-3)}{x+3}

Worked solution:

3x2−27=3(x−3)(x+3)3x^2 - 27 = 3(x-3)(x+3)

למעלה: גורם משותף ואז הפרש ריבועים

x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9 = (x+3)^2

למטה: ריבוע מושלם

3(x−3)(x+3)(x+3)2=3(x−3)x+3\dfrac{3(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \dfrac{3(x-3)}{x+3}

שלוש טכניקות בשבר אחד. ה-33 נשאר — הוא לא מצטמצם מול כלום.

Check the answer on elev

Exercise 55

הביטוי 7n+1+7n7^{n+1} + 7^n מתחלק ללא שארית במספר קבוע, לכל nn טבעי. מהו המספר הגדול ביותר כזה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

7n+1=7n⋅77^{n+1} = 7^n \cdot 7

חוק החזקות: מפרידים את החזקה

7n⋅7+7n=7n(7+1)7^n \cdot 7 + 7^n = 7^n(7 + 1)

וזה גורם משותף — 7n7^n

=7n⋅8= 7^n \cdot 8

הביטוי הוא מכפלה שאחד מגורמיה 88, ולכן הוא מתחלק ב-88 תמיד. בדיקה ב-n=1n=1: 49+7=56=8⋅749+7 = 56 = 8 \cdot 7.

Check the answer on elev

Exercise 56

xx מספר חיובי. מי גדול יותר?

  1. x2+9x^2 + 9
  2. הם שווים
  3. תלוי ב-xx
  4. (x+3)2(x+3)^2
Show the answer and the solution

Answer: D (x+3)2(x+3)^2

Worked solution:

(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

ההפרש הוא בדיוק 6x6x

6x>06x > 0

כי xx חיובי

(x+3)2(x+3)^2 תמיד גדול יותר, וההפרש הוא האיבר האמצעי שרבים שוכחים.

Check the answer on elev

Exercise 57

נתון: x2−y2=40x^2 - y^2 = 40 ו-x−y=4x - y = 4. מהו x+yx + y?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

מפרקים את הנתון הראשון

40=4⋅(x+y)40 = 4 \cdot (x+y)

מציבים את הנתון השני

x+y=10x + y = 10

הפירוק הפך משוואה אחת לחילוק פשוט. אין צורך למצוא את xx ואת yy (77 ו-33).

Check the answer on elev

Exercise 58

שטחה של גינה מלבנית הוא x2−64x^2 - 64 מ״ר, ואחת מצלעותיה x−8x - 8 מטרים. מהו היקף הגינה במטרים כאשר x=20x = 20?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

x2−64=(x−8)(x+8)x^2 - 64 = (x-8)(x+8)

מפרקים את השטח למכפלת הצלעות

הצלע השנייה=x+8\text{הצלע השנייה} = x + 8

הגורם השני

2⋅(12+28)=802 \cdot (12 + 28) = 80

היקף: פעמיים סכום הצלעות

בדיקה: 12⋅28=336=400−6412 \cdot 28 = 336 = 400 - 64.

Check the answer on elev

Exercise 59

איזה ביטוי אינו מתפרק בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר?

  1. 4x2+12x+94x^2 + 12x + 9
  2. 4x2+94x^2 + 9
  3. 8x2−188x^2 - 18
  4. 4x2−94x^2 - 9
Show the answer and the solution

Answer: B 4x2+94x^2 + 9

Worked solution:

4x2+9→סכום4x^2 + 9 \rightarrow \text{סכום}

שני איברים, ובאמצע פלוס

8x2−18=2(4x2−9)=2(2x−3)(2x+3)\begin{aligned}8x^2 - 18 &= 2(4x^2-9) \\ &= 2(2x-3)(2x+3)\end{aligned}

זה כן מתפרק — אחרי גורם משותף

הרביעי נראה חסין ואינו: מוציאים 22 ומגלים הפרש ריבועים. רק סכום ריבועים באמת אינו מתפרק.

Check the answer on elev

Exercise 60

הפירוק של 9−6x+x29 - 6x + x^2 הוא (x−3)2(x-3)^2.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

9−6x+x2=x2−6x+99 - 6x + x^2 = x^2 - 6x + 9

מסדרים לפי חזקות יורדות

2⋅x⋅3=6x ✓2 \cdot x \cdot 3 = 6x \ \checkmark

הבדיקה עוברת

=(x−3)2= (x-3)^2

נכון. הסדר שבו נכתבו האיברים אינו משנה — מסדרים, ואז מפרקים.

Check the answer on elev

Exercise 61

חשבו בלי מחשבון:

862−14272\dfrac{86^2 - 14^2}{72}
Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

862−142=(86−14)(86+14)86^2 - 14^2 = (86-14)(86+14)

הפרש ריבועים

=72⋅100= 72 \cdot 100

וההפרש הוא בדיוק המכנה

72⋅10072=100\dfrac{72 \cdot 100}{72} = 100

מי שהעלה בריבוע קודם עשה שני כפלים ארוכים ואז חילוק ארוך.

Check the answer on elev

Exercise 62

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2x2−50=2(x−5)(x+5)2x^2 - 50 = 2(x-5)(x+5)
3x3−12x=3x(x−2)(x+2)3x^3 - 12x = 3x(x-2)(x+2)
4x2−16=(2x−4)(2x+4)4x^2 - 16 = (2x-4)(2x+4)
Show the answer and the solution

Answer: 4x2−16=(2x−4)(2x+4)4x^2 - 16 = (2x-4)(2x+4) → 4x2−16=4(x−2)(x+2)4x^2 - 16 = 4(x-2)(x+2)

Worked solution:

(2x−4)(2x+4)=4x2−16 ✓(2x-4)(2x+4) = 4x^2 - 16 \ \checkmark

הערך נכון

2x−4=2(x−2)2x+4=2(x+2)\begin{aligned}2x-4 &= 2(x-2) \quad \\ \quad 2x+4 &= 2(x+2)\end{aligned}

אבל מכל סוגריים אפשר עוד להוציא

השורה אינה שגויה בערך — היא שגויה כי הפירוק לא הושלם. מפרקים עד שאין מה להוציא.

Check the answer on elev

Exercise 63

התאימו כל ביטוי לפירוק המלא שלו

  • 2x2−82x^2 - 8
  • 2x2−8x+82x^2 - 8x + 8
  • 2x3−8x2x^3 - 8x
  • 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2)
  • 2(x−2)22(x-2)^2
  • 2x(x−2)(x+2)2x(x-2)(x+2)
Show the answer and the solution

Answer: 2x2−82x^2 - 8 — 2(x−2)(x+2)2(x-2)(x+2) · 2x2−8x+82x^2 - 8x + 8 — 2(x−2)22(x-2)^2 · 2x3−8x2x^3 - 8x — 2x(x−2)(x+2)2x(x-2)(x+2)

Worked solution:

2x2−8=2(x2−4)2x^2 - 8 = 2(x^2-4)

שני איברים

2x2−8x+8=2(x2−4x+4)2x^2 - 8x + 8 = 2(x^2-4x+4)

שלושה איברים

2x3−8x=2x(x2−4)2x^3 - 8x = 2x(x^2-4)

הגורם המשותף נושא גם xx

אותו גורם משותף 22 בשלושתם, ושלוש דרכים שונות אחריו. הספירה היא שמכריעה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade