What similarity is

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני משולשים דומים הם בעלי אותה צורה בדיוק.

הגודל יכול להיות שונה: אחד הוא תמונה מוגדלת של השני.

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הסימן ∼\sim מציין דמיון, כמו ש-≅\cong ציין חפיפה.

וכמו בחפיפה, סדר האותיות הוא הכול: הראשונה מתאימה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

למדתם חפיפה? אז אתם כבר יודעים לקרוא את השורה הזאת. אותה מוסכמה בדיוק, עם סימן אחר.

ב-△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, לאיזה קודקוד מתאים CC?

Show the answer and the solution

ל-FF: שתיהן האות השלישית בשורה.

שני דברים קורים בו-זמנית

כאן △DEF\triangle DEF מסובב והפוך. המקום שלו בציור לא עוזר — רק סדר האותיות.

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות המתאימות שוות — הצורה לא השתנתה

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

הצלעות המתאימות ביחס קבוע — הגודל השתנה פי אותו מספר

המספר הקבוע הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו באות kk.

את kk מחפשים כמעט בכל שאלה בפרק.

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם k=3k = 3, ו-AB=5AB = 5. כמה זה DEDE?

Show the answer and the solution

15: 5×35 \times 3. כל צלע נכפלת ב-kk, והזוויות לא משתנות.

ומה הקשר לחפיפה

חפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1: אותה צורה, וגם אותו גודל.

k=1⟷חופפיםk = 1 \quad \longleftrightarrow\quad \text{חופפים}

לכן כל שני משולשים חופפים הם גם דומים. ההפך לא נכון.

הטעות שנובעת ישירות מהשפה.

«דומים» = נראים דומים\text{«דומים» = נראים דומים}
«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות\text{«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות}

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה מדויקת, לא התרשמות מהציור. שני משולשים יכולים להיראות דומים מאוד ולא להיות דומים כלל.

מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

Show the answer and the solution

חפיפה — אותו גודל בדיוק; דמיון — אותה צורה, בגודל אחר. הזוויות שוות בשניהם, הצלעות — רק פרופורציוניות בדמיון.

Exercises

Exercise 1

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. לאיזו צלע מתאימה הצלע ABAB?

  1. EFEF
  2. DEDE
  3. BCBC
  4. DFDF
Show the answer and the solution

Answer: B DEDE

Worked solution:

A↔D,B↔EA \leftrightarrow D \quad ,\quad B \leftrightarrow E

לפי המיקום בשורת הדמיון

בדיוק אותה מוסכמה כמו בחפיפה: האות הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בשני משולשים דומים, מה נכון לגבי הזוויות?

  1. הזוויות קטנות ביחס הדמיון
  2. הזוויות גדלות ביחס הדמיון
  3. אי אפשר לדעת
  4. הזוויות המתאימות שוות
Show the answer and the solution

Answer: D הזוויות המתאימות שוות

Worked solution:

∠A=∠D\angle A = \angle D

הצורה לא משתנה — רק הגודל

זוויות אינן אורכים. הגדלת צורה מותחת את הצלעות, אבל לא פותחת ולא סוגרת את הזוויות.

Check the answer on elev

Exercise 3

מה הקשר בין חפיפה לדמיון?

  1. דמיון הוא חפיפה שבה היחס הוא 1
  2. חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1
  3. אין קשר ביניהם
  4. כל שני משולשים דומים הם גם חופפים
Show the answer and the solution

Answer: B חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1

Worked solution:

k=1⟶חופפיםk = 1 \quad \longrightarrow\quad \text{חופפים}

אותה צורה, ובמקרה גם אותו גודל

כל זוג חופף הוא גם דומה — אבל רוב הזוגות הדומים אינם חופפים, כי היחס שלהם אינו 1.

Check the answer on elev

Exercise 4

שני משולשים נראים דומים מאוד בציור. האם זה מספיק כדי לקבוע שהם דומים?

  1. לא
  2. רק אם הם באותו גודל
  3. כן, אם הציור מדויק
  4. כן, תמיד
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

אותו כלל כמו בהוכחות

בדיוק כמו בפרק ההוכחות: מה שנראה בציור אינו נימוק. צריך זוויות שוות או יחס קבוע בין הצלעות.

Check the answer on elev

Exercise 5

שני ריבועים — האם הם בהכרח דומים?

  1. רק אם קטנים
  2. לא
  3. כן
  4. רק אם שווים
Show the answer and the solution

Answer: C כן

Worked solution:

כל הזוויות 90, יחס אחיד\text{כל הזוויות 90, יחס אחיד}

כל הריבועים דומים: הזוויות תמיד 90°, והצלעות תמיד ביחס אחיד. זה נכון גם למעגלים ולמשולשים שווי-צלעות.

Check the answer on elev

Exercise 6

שני מלבנים — בהכרח דומים?

  1. כן
  2. לא
  3. רק גדולים
  4. תמיד
Show the answer and the solution

Answer: B לא

Worked solution:

2:1≠5:12:1 \ne 5:1

מלבן ארוך ומלבן כמעט ריבוע

Check the answer on elev

Exercise 7

משולשים דומים ביחס 3. צלע במקור 7 — מה בצילום המוגדל?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

7×3=217 \times 3 = 21

בדמיון כל הצלעות גדלות באותו יחס — לכן מכפילים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מה נשמר בדמיון?

  1. הזוויות והיחס בין צלעות
  2. השטח
  3. ההיקף
  4. האורכים
Show the answer and the solution

Answer: A הזוויות והיחס בין צלעות

Worked solution:

∠ , k\angle \ , \ k

צורה — לא גודל

Check the answer on elev

Exercise 9

יחס דמיון 1:4. היקף הקטן 9 — מהו היקף הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

9×4=369 \times 4 = 36

ההיקף גדל כמו הצלעות

Check the answer on elev

Exercise 10

צילום מוקטן פי 2 של תמונה — הזוויות בו…

  1. לא השתנו
  2. גדלו פי 2
  3. תלוי בצורה
  4. קטנו פי 2
Show the answer and the solution

Answer: A לא השתנו

Worked solution:

∠\angle

דמיון משמר זוויות

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCDEF
אותה צורה, ו-△DEF\triangle DEF גדול פי 2.

במשולש ABCABC נתון AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, AC=5AC = 5. במשולש DEFDEF נתון DE=8DE = 8, EF=12EF = 12, DF=10DF = 10. עוד נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E. הוכיחו לפי הגדרת הדמיון: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

  • AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, AC=5AC = 5
  • DE=8DE = 8, EF=12EF = 12, DF=10DF = 10
  • ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ∠B=∠E\angle B = \angle E

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Show the answer and the solution
  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D — נתון
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E — נתון
  3. ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  4. ∠F=180∘−∠D−∠E\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠C=∠F\angle C = \angle F — הצבה של הזוויות השוות
  6. ABDE=BCEF=ACDF=12\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{1}{2} — חישוב מהנתונים
  7. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — הגדרת משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס שווה

Worked solution:

∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−∠D−∠E=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= 180^\circ - \angle D - \angle E \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית — מסכום הזוויות בשני המשולשים

48=612=510=12\begin{aligned}\frac{4}{8} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

שלוש זוויות שוות וצלעות ביחס שווה — זו ההגדרה

ההגדרה דורשת שני דברים: כל הזוויות המתאימות שוות, וגם כל הצלעות המתאימות ביחס שווה. לכן צריך גם את הזווית השלישית — היא לא נתונה, ומוצאים אותה מסכום הזוויות בכל אחד משני המשולשים. ביחידה הבאה נלמד משפטים שחוסכים חלק מהבדיקה הזאת.

Check the answer on elev

Exercise 12

שני משולשים דומים, ויחס הדמיון אינו 1. מה נכון תמיד?

  • נכון תמיד
  • לא נכון
  • הזוויות המתאימות שוות
  • היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר
  • המשולשים חופפים
  • הצלעות המתאימות שוות
  • השטחים שווים
  • לשני המשולשים אותה צורה
Show the answer and the solution

Answer: הזוויות המתאימות שוות — נכון תמיד · לשני המשולשים אותה צורה — נכון תמיד · היחס בין כל שתי צלעות מתאימות הוא אותו מספר — נכון תמיד · הצלעות המתאימות שוות — לא נכון · השטחים שווים — לא נכון · המשולשים חופפים — לא נכון

Worked solution:

DEAB=EFBC=DFAC=k\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}

יחס קבוע בין צלעות מתאימות

k≠1⇒DE≠ABk \ne 1 \Rightarrow DE \ne AB

הצלעות אינן שוות, ולכן אין חפיפה

בדמיון הזוויות שוות והצלעות ביחס קבוע kk — אותה צורה, גודל אחר. כש-k≠1k \ne 1 הצלעות אינן שוות, ולכן גם השטחים אינם שווים והמשולשים אינם חופפים. חפיפה היא רק המקרה k=1k = 1.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ובמשולש ABCABC: ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. השלימו.

∠D=\angle D = ____ מעלות, ו-∠F=\angle F = ____ מעלות

Show the answer and the solution

Answer: ∠D=\angle D = 50 מעלות, ו-∠F=\angle F = 60 מעלות

Worked solution:

∠D=∠A=50∘\begin{aligned}\angle D &= \angle A \\ &= 50^\circ\end{aligned}

האות הראשונה מתאימה לראשונה

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית השלישית במשולש ABCABC

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

האות השלישית מתאימה לשלישית

סדר האותיות בשורת הדמיון קובע מי מתאים למי: DD מול AA, ו-FF מול CC. זוויות מתאימות בדמיון שוות.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR. התאימו כל צלע וכל זווית לבת-הזוג שלה.

  • KLKL
  • LMLM
  • KMKM
  • ∠M\angle M
  • ∠R\angle R
  • PQPQ
  • PRPR
  • QRQR
Show the answer and the solution

Answer: KLKL — PQPQ · LMLM — QRQR · KMKM — PRPR · ∠M\angle M — ∠R\angle R

Worked solution:

K↔P,L↔Q,M↔RK \leftrightarrow P ,\quad L \leftrightarrow Q ,\quad M \leftrightarrow R

לפי המקום בשורת הדמיון

הצלע KMKM מחברת את הראשונה לשלישית, ולכן היא מתאימה ל-PRPR. המלכודת: לחפש את הצלע לפי המקום בציור.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם יחס דמיון k=2k = 2. לכן ∠D=2⋅∠A\angle D = 2 \cdot \angle A.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠D=∠A\angle D = \angle A

בדמיון הזוויות המתאימות שוות

רק אורכים נכפלים ב-kk. זווית אינה אורך: הגדלה לא פותחת ולא סוגרת אותה.

Check the answer on elev

Exercise 16

כל שני משולשים שווי-צלעות דומים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

60∘, 60∘, 60∘60^\circ ,\ 60^\circ ,\ 60^\circ

בכל משולש שווה-צלעות

a2a1=a2a1=a2a1\begin{aligned}\frac{a_2}{a_1} &= \frac{a_2}{a_1} \\ &= \frac{a_2}{a_1}\end{aligned}

שלוש הצלעות באותו יחס

הזוויות תמיד שוות, והצלעות תמיד ביחס אחד. אצל משולשים שווי-שוקיים זה לא נכון: זווית הראש יכולה להשתנות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade