Equations with denominators — with or without the unknown

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפני שפותרים משוואה עם שברים, שואלים שאלה אחת: האם הנעלם נמצא במכנה?

התשובה קובעת אם צריך תחום הגדרה. זה ההבדל היחיד בין שתי המשפחות.

הכלל שמפריד בין שתי המשפחות

יש xx במכנה? — רושמים תחום הגדרה לפני הכול, ובודקים את הפתרון מולו בסוף. אין xx במכנה? — אין תחום הגדרה בכלל, וכל פתרון שיוצא מתקבל.

□x−3  ⇒  x≠3□4  ⇒  —\frac{\square}{x-3} \;\Rightarrow\; x \neq 3 \qquad \frac{\square}{4} \;\Rightarrow\; \text{---}

משפחה ראשונה — מכנה מספרי

הכלל אחד: כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, והשברים נעלמים.

כופלים כל איבר — גם את זה שאין לו מכנה.

במשוואה x3+2=5\frac{x}{3} + 2 = 5 — במה כופלים, ומה קורה ל-2?

Show the answer and the solution

כופלים ב-3, וגם ה-2 מוכפל: x+6=15x + 6 = 15. לכן x=9x = 9.

משפחה שנייה — נעלם במכנה

אותה שיטה בדיוק, ועוד שני צעדים: תחום הגדרה בהתחלה, ובדיקה מולו בסוף.

שתי הטעויות של שתי המשפחות.

x−5x−3=0  ⇒  x=3\begin{aligned}\frac{x-5}{x-3} &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}
x≠3x \neq 3

פתרון שנופל בדיוק על הערך האסור נפסל — ואז התשובה היא «אין פתרון».

x4+1=2  ⇒  x+1=8\begin{aligned}\frac{x}{4} + 1 &= 2 \;\Rightarrow\; x + 1 \\ &= 8\end{aligned}
x+4=8x + 4 = 8

כשכופלים במכנה — כופלים כל איבר, גם את זה שאין לו שבר.

מה תחום ההצבה של 5x−2\frac{5}{x-2}?

Show the answer and the solution

כל xx חוץ מ-2 — המכנה אסור שיתאפס. בודקים תחום לפני שפותרים, לא אחרי.

Exercises

Exercise 1

פתרו (מכנה מספרי):

−x+64=−2\frac{-x+6}{4} = -2
Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

−x+6=−8-x + 6 = -8

כופלים ב-4

−x=−14-x = -14
x=14x = 14

כופלים ב-−1-1

אין נעלם במכנה — אין תחום הגדרה.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו (מכנה מספרי):

1−x2+x−36=0\frac{1-x}{2} + \frac{x-3}{6} = 0
Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

3(1−x)+(x−3)=03(1-x) + (x-3) = 0

כופלים ב-6

3−3x+x−3=03 - 3x + x - 3 = 0
−2x=0⇒x=0\begin{aligned}-2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

אפס הוא פתרון תקין. אין שום סיבה לפסול אותו.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו (מכנה מספרי):

2x+13−x−42=1\frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{2} = 1
Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

2(2x+1)−3(x−4)=62(2x+1) - 3(x-4) = 6

כופלים ב-6

4x+2−3x+12=64x + 2 - 3x + 12 = 6

המינוס נכנס לסוגריים

x=−8x = -8

בדיקה: −153−−122=−5+6=1\frac{-15}{3} - \frac{-12}{2} = -5 + 6 = 1 ✓

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו (מכנה מספרי):

x+35=2x−13\frac{x+3}{5} = \frac{2x-1}{3}
Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

3(x+3)=5(2x−1)3(x+3) = 5(2x-1)

כפל בהצלבה

3x+9=10x−53x + 9 = 10x - 5
7x=14⇒x=2\begin{aligned}7x &= 14 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

שבר מול שבר — הצלבה, גם כשאין נעלם במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 5

פתרו (נעלם במכנה — אל תשכחו תחום הגדרה):

x−5x−3−12=0\frac{x-5}{x-3} - \frac{1}{2} = 0
Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

2(x−5)−(x−3)=02(x-5) - (x-3) = 0

מכנה משותף 2(x−3)2(x-3)

2x−10−x+3=02x - 10 - x + 3 = 0
x=7  ✓x = 7 \;\checkmark

בתחום

Check the answer on elev

Exercise 6

פתרו (נעלם במכנה):

6x−1=2\frac{6}{x-1} = 2
Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x≠1x \neq 1

תחום הגדרה

6=2(x−1)6 = 2(x-1)
x=4  ✓x = 4 \;\checkmark
Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו (נעלם במכנה):

3x+2=5x−2\frac{3}{x+2} = \frac{5}{x-2}
Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

x≠±2x \neq \pm 2

שני מכנים — שני תנאים

3(x−2)=5(x+2)3(x-2) = 5(x+2)

הצלבה

3x−6=5x+103x - 6 = 5x + 10
x=−8  ✓x = -8 \;\checkmark

בדיקה: 3−6=5−10=−12\frac{3}{-6} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} ✓

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו (נעלם במכנה):

xx−4=2\frac{x}{x-4} = 2
Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x≠4x \neq 4

תחום הגדרה

x=2(x−4)x = 2(x-4)
x=2x−8⇒x=8  ✓\begin{aligned}x &= 2x - 8 \Rightarrow x \\ &= 8 \;\checkmark\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 9

באיזו משוואה חייבים לרשום תחום הגדרה?

  1. 2x+16=0\frac{2x+1}{6} = 0
  2. x3+x4=7\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7
  3. 5x−1=2\frac{5}{x-1} = 2
  4. x−15=2\frac{x-1}{5} = 2
Show the answer and the solution

Answer: C 5x−1=2\frac{5}{x-1} = 2

Worked solution:

x−1≠0x - 1 \neq 0

הנעלם במכנה

רק כשהנעלם יושב למטה. בשלושת האחרים המכנה הוא מספר, ואף ערך אינו אסור.

Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו: xx−2=2x−2\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}

  1. אין פתרון
  2. x=0x = 0
  3. כל xx
  4. x=2x = 2
Show the answer and the solution

Answer: A אין פתרון

Worked solution:

x≠2x \neq 2

תחום הגדרה

x=2x = 2

אחרי המחיקה

נפסל\text{נפסל}

הפתרון היחיד אסור

זה בדיוק המקרה שבשבילו רושמים תחום הגדרה מראש.

Check the answer on elev

Exercise 11

פתרו את המשוואה:

x3+x6=9\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 9
Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

2x+x=54  ⇒  x=18\begin{aligned}2x + x &= 54 \;\Rightarrow\; x \\ &= 18\end{aligned}

כופלים את כל המשוואה ב-6

הכפל במכנה המשותף מוחק את השברים בבת אחת — ומשאיר משוואה רגילה.

Check the answer on elev

Exercise 12

כפלו במכנה — שורה אחת שגויה:

x5+2=4\frac{x}{5} + 2 = 4
x+2=20x + 2 = 20
x=18x = 18
Show the answer and the solution

Answer: x+2=20x + 2 = 20 → x+10=20x + 10 = 20

Worked solution:

5⋅2=105 \cdot 2 = 10

כל איבר משלם את הכפל

כפלו ב-5 את השבר ואת אגף ימין — ודילגו על ה-2. משוואה כופלים איבר-איבר, בלי חסינויות. (ואגב, גם הדרך הקצרה עובדת: x5=2\frac{x}{5} = 2, ולכן x=10x = 10.)

Check the answer on elev

Exercise 13

פתרו בעל-פה:

אם x חלקי 7 שווה 3, אז x = ____ ; ואם 2x חלקי 3 שווה 8, אז x = ____.

Show the answer and the solution

Answer: אם x חלקי 7 שווה 3, אז x = 21 ; ואם 2x חלקי 3 שווה 8, אז x = 12.

Worked solution:

x=212x=24\begin{aligned}x &= 21 \\ \quad 2x &= 24\end{aligned}

המכנה עובר ככפל

Check the answer on elev

Exercise 14

סדרו את שלבי הפתרון:

  • x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5
  • 3x+2x=303x + 2x = 30
  • 5x=305x = 30
  • x=6x = 6
Show the answer and the solution

Answer: x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 · 3x+2x=303x + 2x = 30 · 5x=305x = 30 · x=6x = 6

Worked solution:

×6\times 6

כפל במכנה המשותף — ואז משוואה רגילה

ובדיקה: 3 ועוד 2 הם 5. שלב הכפל הוא כל הסיפור — השאר כבר מוכר.

Check the answer on elev

Exercise 15

מיינו: באילו משוואות חייבים לרשום תחום הגדרה?

  • חייבים — נעלם במכנה
  • אין צורך — מכנה מספרי
  • 1x+14=1\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = 1
  • 2x7+x=9\frac{2x}{7} + x = 9
  • 6x−4=2\frac{6}{x - 4} = 2
  • x+45=1\frac{x + 4}{5} = 1
  • x2=3x\frac{x}{2} = \frac{3}{x}
  • x2−18=3\frac{x^2 - 1}{8} = 3
Show the answer and the solution

Answer: x+45=1\frac{x + 4}{5} = 1 — אין צורך — מכנה מספרי · 6x−4=2\frac{6}{x - 4} = 2 — חייבים — נעלם במכנה · x2−18=3\frac{x^2 - 1}{8} = 3 — אין צורך — מכנה מספרי · x2=3x\frac{x}{2} = \frac{3}{x} — חייבים — נעלם במכנה · 2x7+x=9\frac{2x}{7} + x = 9 — אין צורך — מכנה מספרי · 1x+14=1\frac{1}{x} + \frac{1}{4} = 1 — חייבים — נעלם במכנה

Worked solution:

6x−4  ⇒  x≠4\frac{6}{x - 4} \;\Rightarrow\; x \neq 4

יש xx במכנה — רושמים ערך אסור

x2−18  ⇒  —\frac{x^2 - 1}{8} \;\Rightarrow\; \text{---}

המכנה הוא מספר — אין מה לפסול

מסתכלים רק על המכנים. x2x^2 גדול במונה, או xx שאין לו שבר, לא משנים דבר.

Check the answer on elev

Exercise 16

מהו הערך האסור במשוואה 42x−6=1\frac{4}{2x - 6} = 1?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x−6≠02x - 6 \neq 0

המכנה אסור שיתאפס

2x≠6  ⇒  x≠32x \neq 6 \;\Rightarrow\; x \neq 3

הערך האסור אינו 6: פותרים 2x−6=02x - 6 = 0. (והפתרון של המשוואה עצמה הוא x=5x = 5 — מותר.)

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade