Rational equations

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו פישטנו ביטויים. עכשיו יש משוואה.

ובמשוואה מותר מה שאסור בביטוי: לכפול את שני האגפים במכנה המשותף, ולהיפטר מהמכנים לגמרי.

סדר העבודה

11

מפרקים את כל המכנים לגורמים.

22

רושמים תחום הגדרה — כל ערך שמאפס מכנה כלשהו אסור.

33

כופלים את שני האגפים במכנה המשותף. המכנים נעלמים.

44

פותרים את המשוואה שנשארה — לרוב ריבועית.

55

פוסלים פתרונות שנמצאים מחוץ לתחום ההגדרה.

למה תחום ההגדרה אינו פורמליות

הכפל במכנה המשותף מגדיל את קבוצת הפתרונות: המשוואה החדשה יכולה לקבל ערך שהמקורית פסלה.

פתרון כזה נקרא פתרון זר. הוא נראה תקין לגמרי — עד שבודקים אותו מול תחום ההגדרה.

שתי הטעויות של היחידה.

פתרון=2  (כשהמכנה x−2)\text{פתרון} = 2 \;\text{(כשהמכנה } x-2)
אין פתרון\text{אין פתרון}

בלי תחום הגדרה אי אפשר לדעת שהפתרון פסול. זו הסיבה שהוא נרשם לפני ולא אחרי.

ab+cd=e⇒a+c=e\begin{aligned}\frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= e \Rightarrow a + c \\ &= e\end{aligned}
כופלים את כל האגפים במכנה המשותף\text{כופלים את \textbf{כל} האגפים במכנה המשותף}

המכנים לא «נמחקים» — כופלים את שני האגפים, ולכן גם האגף הימני מוכפל.

במשוואה x+1x=2\frac{x+1}{x} = 2 — מה הצעד הראשון ומה הבדיקה האחרונה?

Show the answer and the solution

כופלים ב-xx (בהנחה שאינו אפס), ובסוף בודקים שהפתרון לא מאפס מכנה. כאן: x=1x = 1 — כשר.

Exercises

Exercise 1

פתרו את המשוואה:

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
  1. x=2x = 2
  2. x=0x = 0
  3. no solution\text{no solution}
  4. x=−2x = -2
Show the answer and the solution

Answer: C no solution\text{no solution}

Worked solution:

x≠2x \neq 2

תחום הגדרה

x=2x = 2

הפתרון היחיד

נפסל\text{נפסל}

הוא מחוץ לתחום

זו בדיוק הסיבה שרושמים תחום הגדרה מראש.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתרו את המשוואה:

12x=4\frac{12}{x} = 4
  1. x=3x = 3
  2. x=48x = 48
  3. no solution\text{no solution}
  4. x=4x = 4
Show the answer and the solution

Answer: A x=3x = 3

Worked solution:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים ב-x

x=3x = 3

ובתחום

הכי פשוטה בפרק, ובכל זאת תחום ההגדרה נרשם.

Check the answer on elev

Exercise 3

פתרו את המשוואה:

1x−6+7−xx+6=13x2−36\frac{1}{x - 6} + \frac{7 - x}{x + 6} = \frac{13}{x^2 - 36}
  1. x=6x = 6
  2. x=−6x = -6
  3. x=7x = 7
  4. no solution\text{no solution}
Show the answer and the solution

Answer: C x=7x = 7

Worked solution:

x≠±6x \neq \pm 6

תחום הגדרה

x2−14x+49=0x^2 - 14x + 49 = 0

אחרי הכפל והסידור

(x−7)2=0(x-7)^2 = 0

ריבוע מושלם

הפתרון 7 בתחום ההגדרה, ולכן מתקבל.

Check the answer on elev

Exercise 4

פתרו את המשוואה:

3x2−9+112x+6=1\frac{3}{x^2 - 9} + \frac{11}{2x + 6} = 1
  1. x=3x = 3
  2. x=5 or x=−2.5x = 5 \text{ or } x = -2.5
  3. no solution\text{no solution}
  4. x=−3x = -3
Show the answer and the solution

Answer: B x=5 or x=−2.5x = 5 \text{ or } x = -2.5

Worked solution:

x≠±3x \neq \pm 3

תחום הגדרה

6+11(x−3)=2(x2−9)6 + 11(x - 3) = 2(x^2 - 9)

כופלים במכנה המשותף 2(x−3)(x+3)2(x-3)(x+3)

2x2−11x−15=02x^2 - 11x - 15 = 0

מסדרים

שני הפתרונות בתחום ההגדרה.

Check the answer on elev

Exercise 5

מתי רושמים את תחום ההגדרה במשוואה עם שברים?

  1. אין צורך במשוואה
  2. אחרי שמצאנו את הפתרונות
  3. לפני הכפל במכנה המשותף
  4. רק אם השאלה מבקשת
Show the answer and the solution

Answer: C לפני הכפל במכנה המשותף

Worked solution:

מכנה≠0\text{מכנה} \neq 0

על סמך המכנים המקוריים

אחרי הכפל המכנים נעלמים — ואיתם המידע מי אסור.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו 2−x2 - x במונחים של x−2x - 2?

  1. −(x−2)-(x - 2)
  2. (x−2)2(x-2)^2
  3. אין קשר ביניהם
  4. x−2x - 2
Show the answer and the solution

Answer: A −(x−2)-(x - 2)

Worked solution:

2−x=−(x−2)2 - x = -(x - 2)

מוציאים מינוס

זיהוי הקשר הזה מקצר את המכנה המשותף בחצי, ומונע מכנה משותף ענק.

Check the answer on elev

Exercise 7

פתרו: x4=9x\frac{x}{4} = \frac{9}{x} — כתבו את הפתרון החיובי.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x2=36x^2 = 36

הצלבה

x=±6x = \pm 6
Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: 6x=3\frac{6}{x} = 3

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

6=3x  x=2\begin{aligned}6 &= 3x \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

כופלים במכנה ומקבלים משוואה רגילה. ובודקים שהפתרון אינו מאפס את המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו: x+23=x2\frac{x+2}{3} = \frac{x}{2}

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2(x+2)=3x2(x+2) = 3x

הצלבה

2x+4=3x  x=4\begin{aligned}2x + 4 &= 3x \ \\ \ x &= 4\end{aligned}
Check the answer on elev

Exercise 10

פתרו: 5x−1=10x+2\frac{5}{x-1} = \frac{10}{x+2}

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

5(x+2)=10(x−1)5(x+2) = 10(x-1)
5x+10=10x−10  x=4\begin{aligned}5x + 10 &= 10x - 10 \ \\ \ x &= 4\end{aligned}

ובדיקה: אף מכנה לא מתאפס ב-4.

Check the answer on elev

להכיר

Exercise 11

מהו תחום ההצבה של המשוואה 7x2−49=1x−7\frac{7}{x^2-49} = \frac{1}{x-7}?

  1. x≠49x \ne 49
  2. x≠7x \ne 7 וגם x≠−7x \ne -7
  3. כל xx
  4. x≠7x \ne 7 בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B x≠7x \ne 7 וגם x≠−7x \ne -7

Worked solution:

x2−49=(x−7)(x+7)x^2-49 = (x-7)(x+7) — שני ערכים מאפסים את המכנה, ושניהם אסורים. את התחום כותבים לפני שפותרים.

Check the answer on elev

Exercise 12

פתרו: 5x+2=3x−2\frac{5}{x+2} = \frac{3}{x-2}

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

5(x−2)=3(x+2)5(x-2) = 3(x+2)

כפל בהצלבה — המכנים שונים מאפס

5x−10=3x+65x - 10 = 3x + 6
x=8x = 8

ו-8 אינו ±2 — הפתרון כשר

Check the answer on elev

להתאמן

Exercise 13

פתרו: 2x−6=12x2−36\frac{2}{x-6} = \frac{12}{x^2-36}

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

x2−36=(x−6)(x+6)x^2-36 = (x-6)(x+6)

מפרקים את המכנה

2(x+6)=122(x+6) = 12

מכפילים ב-(x−6)(x+6)(x-6)(x+6)

x=0x = 0

רחוק מ-±6 — כשר

Check the answer on elev

Exercise 14

פתרו: 6x2−9=1x+3\frac{6}{x^2-9} = \frac{1}{x+3}

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

6=x−36 = x - 3

אחרי כפל ב-(x−3)(x+3)(x-3)(x+3)

x=9x = 9
Check the answer on elev

Exercise 15

פתרו: 1x−4+1x+4=8x2−16\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x+4} = \frac{8}{x^2-16} — מה הפתרון?

  1. x=4x = 4
  2. אין פתרון
  3. x=8x = 8
  4. x=−4x = -4
Show the answer and the solution

Answer: B אין פתרון

Worked solution:

2xx2−16=8x2−16\frac{2x}{x^2-16} = \frac{8}{x^2-16}

מאחדים את צד שמאל

2x=8⇒x=4\begin{aligned}2x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}
x=4∉התחוםx = 4 \notin \text{התחום}

נפסל!

האלגברה נותנת 2x=82x = 8, כלומר x=4x=4 — אבל 4 מאפס את המכנה שהתחלנו ממנו. פתרון שמחוץ לתחום אינו פתרון. x=4x=4 נפסל בתחום ההצבה

Check the answer on elev

Exercise 16

x=3x = 3 הוא פתרון של המשוואה 6x2−9=1x−3\frac{6}{x^2-9} = \frac{1}{x-3}

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

6=x+3⇒x=3\begin{aligned}6 &= x+3 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}
x=3: 60x = 3: \ \frac{6}{0}

אסור

האלגברה מגיעה ל-x=3x=3 — אבל 3 מאפס את שני המכנים. אין למשוואה הזו פתרון. זה בדיוק התפקיד של תחום ההצבה.

Check the answer on elev

לשחק ולבדוק

Exercise 17

סדרו את שלבי הפתרון של משוואה עם נעלם במכנה

  • בודקים שהפתרון בתוך התחום
  • מכפילים במכנה המשותף
  • מפרקים כל מכנה לגורמים
  • פותרים את המשוואה שהתקבלה
  • רושמים את תחום ההצבה
Show the answer and the solution

Answer: מפרקים כל מכנה לגורמים · רושמים את תחום ההצבה · מכפילים במכנה המשותף · פותרים את המשוואה שהתקבלה · בודקים שהפתרון בתוך התחום

Worked solution:

התחום נרשם שני — לפני שנוגעים במשוואה. והבדיקה בסוף היא שווה נקודות.

Check the answer on elev

Exercise 18

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x-4)(x+4)
3x−4=6x2−16⇒3(x+4)=6\begin{aligned}\frac{3}{x-4} &= \frac{6}{x^2-16} \Rightarrow 3(x+4) \\ &= 6\end{aligned}
x+4=2⇒x=2\begin{aligned}x + 4 &= 2 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: x+4=2⇒x=2x + 4 = 2 \Rightarrow x = 2 → x+4=2⇒x=−2x + 4 = 2 \Rightarrow x = -2

Worked solution:

טעות מעבר אגף פשוטה בסוף מסע אלגברי שלם — לכן בודקים כל שורה.

Check the answer on elev

Exercise 19

פתרו: 3x−2+12−x=1\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 1

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

12−x=−1x−2\frac{1}{2 - x} = -\frac{1}{x - 2}

מוציאים מינוס מהמכנה ההפוך

3x−2−1x−2=2x−2\frac{3}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}

עכשיו המכנה זהה

2x−2=1  ⟹  x−2=2{\frac{2}{x - 2} = 1} \;\Longrightarrow\; {x - 2 = 2}

כופלים ב-x−2x - 2, כש-x≠2x \neq 2

x=4≠2  ✓x = 4 \neq 2 \;\checkmark

בתוך התחום

מי שכופל ב-(x−2)(2−x)(x - 2)(2 - x) מגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה בהרבה.

Check the answer on elev

Exercise 20

מהו המכנה המשותף הקטן ביותר של 1x−5\frac{1}{x - 5} ו-25−x\frac{2}{5 - x}?

  1. (x−5)2(x - 5)^2
  2. x−5x - 5
  3. (x−5)(5−x)(x - 5)(5 - x)
  4. x2−25x^2 - 25
Show the answer and the solution

Answer: B x−5x - 5

Worked solution:

5−x=−(x−5)5 - x = -(x - 5)

אותו גורם בסימן הפוך

25−x=−2x−5\frac{2}{5 - x} = -\frac{2}{x - 5}

המינוס יוצא לפני השבר

שני המכנים הם אותו גורם. המכפלה (x−5)(5−x)(x - 5)(5 - x) עובדת, אבל כפולה בגודלה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade