A family of parallel lines

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זה משפט תלס בגרסתו הכללית, והוא לא מזכיר משולש בכלל: חבורת ישרים מקבילים חותכת שני ישרים ביחסים שווים.

שימו לב להבדל מההרחבה הראשונה ומשעון החול (ההרחבה השנייה): שם קיבלנו שלושה יחסים שווים, וכאן — שני יחסים בלבד. אין כאן קטע שלישי שאפשר לצרף, כי אין משולש ואין צלע מקבילה שאפשר להשוות אליה. מי שכותב כאן שלושה יחסים — כותב משהו שלא נובע מהמשפט.

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

כלומר: אם שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים אחרים, הקטעים שנוצרים על הישר הראשון עומדים באותו יחס כמו הקטעים שנוצרים על השני.

מקרה פרטי שימושי: אם המקבילים חותכים על ישר אחד קטעים שווים, הם חותכים קטעים שווים גם על השני. זו הדרך לחלק קטע לשלושה חלקים שווים בלי לחשב כלום.

המשפט ההפוך

תלס עובד גם בכיוון השני, וזה שימושי במיוחד בהוכחות: אם היחסים שווים, אפשר להסיק שהישרים מקבילים.

ADDB=AEEC⇒DE∥BC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \quad \Rightarrow\quad DE \parallel BC

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC. נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8. הוכיחו ש-DE∥BCDE \parallel BC.

AD=3AD = 3, DB=6DB = 6

AE=4AE = 4, EC=8EC = 8

DE∥BCDE \parallel BC

ADDB=36=12\frac{AD}{DB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

חישוב מהנתונים

AEEC=48=12\frac{AE}{EC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

חישוב מהנתונים

ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

כלל המעבר — שני היחסים שווים ל-12\frac{1}{2}

משפט תלס ההפוך

שימו לב שהמסקנה כאן היא מקבילות, לא אורך. זה מה שהופך את המשפט ההפוך לכלי הוכחה ולא לכלי חישוב.

סדר האיברים ביחס.

ADDB=ECAE\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}
ADDB=AEEC\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

שני היחסים חייבים להיקרא באותו כיוון — הקטע העליון במונה בשני האגפים. היפוך באגף אחד בלבד הופך את המשוואה לשגויה.

שלושה ישרים מקבילים על שני מעבירים — מה שווה?

Show the answer and the solution

היחסים בין הקטעים המתאימים: המקבילים «מעתיקים» את היחס ממעביר למעביר.

Exercises

Exercise 1

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=4AB = 4 ו-BC=6BC = 6, ועל השני DE=8DE = 8. מה אורך EFEF?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

46=8EF\frac{4}{6} = \frac{8}{EF}

מציבים

EF=12EF = 12

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 2

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=3AB = 3 ו-BC=5BC = 5, ועל השני DE=9DE = 9. מה אורך EFEF?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

35=9EF\frac{3}{5} = \frac{9}{EF}

מציבים

EF=15EF = 15

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 3

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=6AB = 6 ו-BC=9BC = 9, ועל השני DE=10DE = 10. מה אורך EFEF?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

69=10EF\frac{6}{9} = \frac{10}{EF}

מציבים

EF=15EF = 15

כפל בהצלבה

כאן אין משולש בכלל — רק שני ישרים חותכים וחבורת מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש ABCABC נתון AD=3AD = 3, DB=6DB = 6, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
Show the answer and the solution

Answer: B כן

Worked solution:

36=0.5\frac{3}{6} = 0.5

היחס על הצלע הראשונה

48=0.5\frac{4}{8} = 0.5

והיחס על השנייה

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך הישרים מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש ABCABC נתון AD=2AD = 2, DB=6DB = 6, AE=5AE = 5, EC=15EC = 15. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
Show the answer and the solution

Answer: B כן

Worked solution:

26=0.333\frac{2}{6} = 0.333

היחס על הצלע הראשונה

515=0.333\frac{5}{15} = 0.333

והיחס על השנייה

היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך הישרים מקבילים.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש ABCABC נתון AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6, EC=8EC = 8. האם DE∥BCDE \parallel BC?

  1. לא
  2. כן
Show the answer and the solution

Answer: A לא

Worked solution:

46=0.667\frac{4}{6} = 0.667

היחס על הצלע הראשונה

68=0.75\frac{6}{8} = 0.75

והיחס על השנייה

היחסים שונים, ולכן הישרים אינם מקבילים. המשפט ההפוך דורש שוויון מדויק.

Check the answer on elev

Exercise 7

מה מאפשר להסיק ממשפט תלס ההפוך?

  1. שהמשולש שווה שוקיים
  2. שהישרים מקבילים
  3. את אורך הצלע השלישית
  4. שהמשולשים חופפים
Show the answer and the solution

Answer: B שהישרים מקבילים

Worked solution:

יחסים שווים⇒∥\text{יחסים שווים} \Rightarrow \parallel

הכיוון ההפוך

המשפט הישר נותן אורכים, ההפוך נותן מקבילות. שני כלים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

חבורת מקבילים חותכת על ישר אחד שלושה קטעים שווים. מה נכון על הישר השני?

  1. הקטעים עליו כפולים
  2. אי אפשר לדעת
  3. גם עליו הקטעים שווים
  4. הקטעים עליו שונים תמיד
Show the answer and the solution

Answer: C גם עליו הקטעים שווים

Worked solution:

11=xy⇒x=y\begin{aligned}\frac{1}{1} &= \frac{x}{y} \Rightarrow x \\ &= y\end{aligned}

יחס 1 נשמר

זו הדרך הקלאסית לחלק קטע לשלושה חלקים שווים בלי סרגל מדידה.

Check the answer on elev

Exercise 9

שלושה מקבילים: על מעביר אחד קטעים 6 ו-9, על השני הקטע הראשון 8. מהו השני?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

69=8x\frac{6}{9} = \frac{8}{x}
6x=72  x=12\begin{aligned}6x &= 72 \ \\ \ x &= 12\end{aligned}

ישרים מקבילים חותכים על שני מעבירים קטעים ביחס שווה — זה משפט תלס.

Check the answer on elev

Exercise 10

קטעים 5 ו-x על מעביר אחד, 10 ו-14 על השני. מהו x?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

5x=1014\frac{5}{x} = \frac{10}{14}
10x=7010x = 70

אותו יחס, כיוון אחר. חשוב לשמור על הסדר: קטע ראשון מול קטע ראשון.

Check the answer on elev

Exercise 11

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים AB=4AB = 4 ו-BC=10BC = 10, ועל השני DE=6DE = 6. השלימו.

לפי משפט תלס ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}, ולכן EF=EF = ____, והקטע DFDF כולו הוא ____

Show the answer and the solution

Answer: לפי משפט תלס ABBC=DEEF\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}, ולכן EF=EF = 15, והקטע DFDF כולו הוא 21

Worked solution:

410=6EF\frac{4}{10} = \frac{6}{EF}

מציבים במשפט

4⋅EF=60⇒EF=15\begin{aligned}4 \cdot EF &= 60 \quad \Rightarrow \quad EF \\ &= 15\end{aligned}

כפל בהצלבה

DF=DE+EF=6+15=21\begin{aligned}DF &= DE + EF \\ &= 6 + 15 \\ &= 21\end{aligned}

הקטע כולו הוא סכום שני החלקים

חבורת המקבילים מעתיקה את היחס 4:104 : 10 מהישר הראשון לשני. EF=15EF = 15, ו-DF=6+15=21DF = 6 + 15 = 21.

Check the answer on elev

Exercise 12

במשולש ABCABC הנקודה DD על ABAB והנקודה EE על ACAC. מיינו כל זוג נתונים: האם אפשר להסיק ש-DE∥BCDE \parallel BC?

  • DE∥BCDE \parallel BC
  • DEDE אינו מקביל ל-BCBC
  • AD=2AD = 2, DB=4DB = 4, AE=3AE = 3, EC=6EC = 6
  • AD=3AD = 3, DB=5DB = 5, AE=6AE = 6, EC=9EC = 9
  • AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8
  • AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9, EC=7EC = 7
Show the answer and the solution

Answer: AD=2AD = 2, DB=4DB = 4, AE=3AE = 3, EC=6EC = 6 — DE∥BCDE \parallel BC · AD=5AD = 5, DB=10DB = 10, AE=4AE = 4, EC=8EC = 8 — DE∥BCDE \parallel BC · AD=3AD = 3, DB=5DB = 5, AE=6AE = 6, EC=9EC = 9 — DEDE אינו מקביל ל-BCBC · AD=6AD = 6, DB=4DB = 4, AE=9AE = 9, EC=7EC = 7 — DEDE אינו מקביל ל-BCBC

Worked solution:

24=36=12\begin{aligned}\frac{2}{4} &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שווים — מקביל

510=48=12\begin{aligned}\frac{5}{10} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שווים — מקביל

35≠69=23\frac{3}{5} \ne \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

שונים — לא מקביל

64=32≠97\frac{6}{4} = \frac{3}{2} \ne \frac{9}{7}

שונים — לא מקביל

משווים ADDB\frac{AD}{DB} ל-AEEC\frac{AE}{EC}. כשהיחסים שווים, DE∥BCDE \parallel BC לפי משפט תלס ההפוך. כשהם שונים, DEDE אינו מקביל ל-BCBC — אילו היה מקביל, משפט תלס היה נותן יחסים שווים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade