Practice · Thales’ theorem · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אחד־עשר תרגילים על כל הפרק: משפט תלס במשולש, ההרחבה הראשונה, חבורת ישרים מקבילים ומשפט תלס ההפוך. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 9$ ו- $AE = 4$ . מה אורך $EC$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

משפט תלס

\frac{6}{9} = \frac{4}{EC}

מציבים

\begin{aligned}EC &= \frac{4 \cdot 9}{6} \\ &= 6\end{aligned}

כפל בהצלבה

לא מחפשים את $DE$ , ולכן משפט תלס עצמו מספיק.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ . איזה שוויון נובע ממשפט תלס עצמו, בלי ההרחבה הראשונה?

$\frac{AD}{EC} = \frac{AE}{DB}$
$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$
$\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$

Show the answer and the solution

Answer: B $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

Worked solution:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

חלק חלקי חלק, על שתי הצלעות

משפט תלס נותן שני יחסים בלבד, ו- $DE$ אינו מופיע בהם. יחס שבו מופיע $DE$ שייך להרחבה הראשונה, ושם משווים חלק לצלע שלמה.

Check the answer on elev

Exercise 3

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים. על הישר הראשון נוצרו הקטעים $AB = 5$ ו- $BC = 10$ , ועל השני $DE = 7$ . מה אורך $EF$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

\frac{5}{10} = \frac{7}{EF}

מציבים

EF = 14

כפל בהצלבה

הקטע השני כפול מהראשון על הישר האחד — ולכן גם על השני.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 6$ , $DB = 4$ ו- $BC = 15$ . מה אורך $DE$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 6 + 4 \\ &= 10\end{aligned}

הצלע כולה

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

הרחבה ראשונה של משפט תלס

\begin{aligned}\frac{6}{10} &= \frac{DE}{15} \Rightarrow DE \\ &= 9\end{aligned}

מציבים ופותרים

מחפשים את $DE$ — ולכן ההרחבה הראשונה, ובה משווים חלק לצלע שלמה, לא חלק לחלק.

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ . נתון $AD = 4$ , $DB = 6$ , $AE = 6$ ו- $EC = 10$ . לפי משפט תלס ההפוך, $DE \parallel BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

היחס על הצלע הראשונה

\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= \frac{6}{10} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

היחס על הצלע השנייה

\frac{2}{3} \neq \frac{3}{5}

היחסים שונים

המשפט ההפוך דורש יחסים שווים, ולכן הוא אינו חל כאן. המסקנה מגיעה ממשפט תלס עצמו: אילו $DE$ היה מקביל ל- $BC$ , היחסים היו שווים — והם אינם.

Check the answer on elev

Exercise 6

שלושה רחובות מקבילים חוצים שני כבישים. על הכביש הראשון המרחק בין הרחוב הראשון לשני הוא 120 מטר, ובין השני לשלישי 180 מטר. על הכביש השני המרחק בין הרחוב הראשון לשני הוא 150 מטר. מה המרחק, במטרים, בין הרחוב השני לשלישי על הכביש השני?

Show the answer and the solution

Answer: 225

Worked solution:

\frac{120}{180} = \frac{150}{x}

חבורת מקבילים חותכת את שני הכבישים ביחסים שווים

\begin{aligned}x &= \frac{150 \cdot 180}{120} \\ &= 225\end{aligned}

כפל בהצלבה

הכבישים אינם יוצרים משולש עם צלע מקבילה — זו חבורת ישרים מקבילים, ויש בה שני יחסים בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ נתון $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). מסיקים ש- $DE \parallel BC$ . מהו הנימוק המדויק?

הרחבה ראשונה של משפט תלס
קטע אמצעים במשולש
משפט תלס ההפוך
משפט תלס

Show the answer and the solution

Answer: C משפט תלס ההפוך

Worked solution:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow DE \parallel BC

מהיחסים אל ההקבלה

משפט תלס מתחיל בהקבלה ומגיע ליחסים. כאן הכיוון הפוך: מתחילים ביחסים ומגיעים להקבלה.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = x$ , $DB = x + 2$ , $AE = 6$ ו- $EC = 10$ . מה אורך הצלע $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\frac{x}{x+2} = \frac{6}{10}

משפט תלס

\begin{aligned}10x &= 6x + 12 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

כפל בהצלבה

\begin{aligned}AB &= x + (x+2) \\ &= 3 + 5 \\ &= 8\end{aligned}

מחברים את שני החלקים

שואלים על $AB$ , לא על $x$ — צריך לחבר את שני הקטעים.

Check the answer on elev

Exercise 9

האלכסון

AC

מחלק את הטרפז לשני משולשים — ובכל אחד מהם יש ישר מקביל לצלע.

$ABCD$ הוא טרפז ( $AB \parallel DC$ ). הישר $EF$ מקביל ל- $AB$ , כאשר $E$ על השוק $AD$ ו- $F$ על השוק $BC$ . האלכסון $AC$ חותך את $EF$ בנקודה $G$ . הוכיחו כי $\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$ .

$AB \parallel DC$
$E$ על $AD$ , $F$ על $BC$
$EF \parallel AB$
$G$ נקודת החיתוך של $AC$ ו- $EF$

$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$

Show the answer and the solution

$AB \parallel DC$ — נתון
$EF \parallel AB$ — נתון
$EF \parallel DC$ — שני ישרים המקבילים לישר שלישי מקבילים זה לזה
$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{AG}{GC}$ — משפט תלס
$\dfrac{AG}{GC} = \dfrac{BF}{FC}$ — משפט תלס
$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC}$ — כלל המעבר

Worked solution:

AB \parallel DC ,\ EF \parallel AB \Rightarrow EF \parallel DC

שני ישרים המקבילים לישר שלישי

\triangle ADC:\ EG \parallel DC \Rightarrow \frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC}

משפט תלס במשולש $ADC$

\triangle ABC:\ GF \parallel AB \Rightarrow \frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC}

משפט תלס במשולש $CAB$ — הקטעים נמדדים מהקודקוד $C$

\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}

כלל המעבר

הטרפז אינו משולש, ולכן אי אפשר להפעיל עליו את משפט תלס ישירות. האלכסון $AC$ יוצר שני משולשים, והיחס $\frac{AG}{GC}$ שעל האלכסון הוא הגשר ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ מתקיים $DE \parallel BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD = 4$ , $DB = 8$ , $AE = 3$ ו- $DE = 5$ . מה היקף המרובע $DBCE$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 34

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AD}{DB} &= \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{4}{8} \\ &= \frac{3}{EC} \Rightarrow EC \\ &= 6\end{aligned}

משפט תלס

\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{DE}{BC} \Rightarrow \frac{4}{12} \\ &= \frac{5}{BC} \Rightarrow BC \\ &= 15\end{aligned}

הרחבה ראשונה של משפט תלס

8 + 15 + 6 + 5 = 34

$DB + BC + CE + ED$

שני משפטים שונים באותה שאלה: $EC$ ממשפט תלס, ו- $BC$ מההרחבה הראשונה.

Check the answer on elev

Exercise 11

בגן ציבורי בחיפה שלושה שבילים מקבילים חוצים שתי גדרות ישרות. על הגדר הראשונה המרחק בין השביל הראשון לשני הוא 6 מטר, ובין השני לשלישי 9 מטר. על הגדר השנייה המרחק בין השביל הראשון לשלישי הוא 20 מטר. מה המרחק, במטרים, בין השביל הראשון לשני על הגדר השנייה?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\frac{6}{9} = \frac{x}{20 - x}

חבורת מקבילים חותכת ביחסים שווים

\begin{aligned}6(20 - x) &= 9x \Rightarrow 120 \\ &= 15x\end{aligned}

כפל בהצלבה

x = 8

והקטע השני הוא $12$

בדיקה: $\frac{8}{12} = \frac{6}{9}$ ✓

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev