Factoring out a common factor

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפני כל שיטת פירוק בודקים דבר אחד: יש גורם משותף לכל האיברים?

אם יש, מוציאים אותו החוצה. רק אז מסתכלים על מה שנשאר בסוגריים.

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)

זה חוק הפילוג, נקרא מימין לשמאל.

אין כאן שיטה חדשה. יש סדר חדש, והוא קובע אם התרגיל ייקח שורה או חמש.

מהו הגורם המשותף

6x3+9x2=3x2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)

מהמקדמים — המחלק המשותף הגדול ביותר: 3.

x2+8x=x(x+8)x^2 + 8x = x(x + 8)

ומהנעלם — החזקה הנמוכה ביותר שמופיעה: xx.

בדיקה בשתי שניות: פותחים את הסוגריים חזרה. אם לא חזרנו בדיוק לביטוי המקורי — הגורם שהוצאנו שגוי.

כשהגורם המשותף מתחבא

ב-6x3+9x26x^3 + 9x^2 הגורם המשותף נראה מיד: שני האיברים בנויים אותו דבר.

ב-2x+162x + 16 האיבר השני הוא מספר לבד. הגורם שם, אבל הוא לא כתוב.

התפקיד שלנו: לכתוב את המספר כמכפלה שמראה את הגורם.

ואז — הכלים האחרים

אחרי ההוצאה קוראים את הסוגריים. שני איברים עם מינוס: הפרש ריבועים. שלושה איברים: טרינום או ריבוע שלם.

ולפעמים אין מה להוסיף, והפירוק נגמר.

שני שלבים, בסדר הזה

פרקו לגורמים: 2x2+4x−702x^2 + 4x - 70.

2(x2+2x−35)2(x^2 + 2x - 35)

קודם הגורם המשותף 2 — והמקדם של x2x^2 נעשה 1

m⋅n=−35m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= -35 \quad \\ \quad m + n &= 2\end{aligned}

ורק עכשיו טרינום, שדורש מקדם 1

2(x+7)(x−5)2(x + 7)(x - 5)

המספרים הם 7 ו-5 מינוס

מי שמנסה טרינום ישר על 2x2+4x−702x^2 + 4x - 70 נתקע: השיטה דורשת מקדם 1 ל-x2x^2. הוצאת ה-2 היא בדיוק מה שמייצר את התנאי הזה.

תחום ההצבה

מכנה אסור שיהיה אפס.

מפרקים את המכנה. כל גורם שמתאפס נותן ערך אסור אחד.

רושמים אותם לפני הצמצום: הגורם שנמחק נעלם מהדף, ואי אפשר יהיה לדעת שהיה שם.

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

x2+8x2x+16=x22\frac{x^2 + 8x}{2x + 16} = \frac{x^2}{2}
x(x+8)2(x+8)=x2\frac{x(x + 8)}{2(x + 8)} = \frac{x}{2}

מחקו את ה-8x8x מול ה-16 מתוך סכומים. מצמצמים גורמים — דברים שמוכפלים — ולעולם לא איבר מתוך סכום.

(x+3)22(x+3)=(x+3)22\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \frac{(x + 3)^2}{2}
(x+3)22(x+3)=x+32\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)} = \frac{x + 3}{2}

מחקו את הסוגריים במכנה ושכחו שלמעלה יש שתיים מהן. ריבוע מצטמצם פעם אחת ונשאר עם אחת.

בשבר x−2x2−4x+4\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4} — למה התוצאה אינה 1?

Show the answer and the solution

כי המכנה הוא (x−2)2(x-2)^2, כלומר שתי סוגריים. אחת מצטמצמת מול המונה, ואחת נשארת: התוצאה היא 1x−2\frac{1}{x - 2}, עם התנאי x≠2x \neq 2.

Exercises

Exercise 1

פרקו וצמצמו: x2+8x2x+16\frac{x^2 + 8x}{2x + 16}

  1. x2x\frac{x}{2x}
  2. x+82\frac{x + 8}{2}
  3. x2\frac{x}{2}
  4. x22\frac{x^2}{2}
Show the answer and the solution

Answer: C x2\frac{x}{2}

Worked solution:

x(x+8)2(x+8)\frac{x(x + 8)}{2(x + 8)}

גורם משותף למעלה ולמטה

x≠−8x \neq -8

תחום ההצבה, לפני הצמצום

x2\frac{x}{2}

מצמצמים את (x+8)(x+8)

שני הצדדים מתפרקים בהוצאת גורם משותף בלבד — למעלה xx, למטה 2.

Check the answer on elev

Exercise 2

פרקו וצמצמו: a2+7aa2+14a+49\frac{a^2 + 7a}{a^2 + 14a + 49}

  1. 1a+7\frac{1}{a + 7}
  2. a+7a\frac{a + 7}{a}
  3. aa+7\frac{a}{a + 7}
  4. a7\frac{a}{7}
Show the answer and the solution

Answer: C aa+7\frac{a}{a + 7}

Worked solution:

a(a+7)(a+7)2\frac{a(a + 7)}{(a + 7)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע שלם למטה

a≠−7a \neq -7

תחום ההצבה

aa+7\frac{a}{a + 7}

מצטמצמת סוגריים אחת, נשארת אחת

המכנה הוא ריבוע שלם: 2⋅a⋅7=14a2 \cdot a \cdot 7 = 14a, בדיוק האיבר האמצעי.

Check the answer on elev

Exercise 3

פרקו וצמצמו: x−2x2−4x+4\frac{x - 2}{x^2 - 4x + 4}

  1. 11
  2. 1(x−2)2\frac{1}{(x - 2)^2}
  3. 1x−2\frac{1}{x - 2}
  4. x−2x - 2
Show the answer and the solution

Answer: C 1x−2\frac{1}{x - 2}

Worked solution:

x−2(x−2)2\frac{x - 2}{(x - 2)^2}

המכנה ריבוע שלם

x≠2x \neq 2

תחום ההצבה

1x−2\frac{1}{x - 2}

מצמצמים סוגריים אחת מתוך שתיים

כאן אין גורם משותף להוציא — המונה עצמו כבר גורם, והמכנה מתפרק בנוסחת הכפל המקוצר.

Check the answer on elev

Exercise 4

פרקו וצמצמו: x2−8xx2−16x+64\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64}

  1. xx−8\frac{x}{x - 8}
  2. x−8x\frac{x - 8}{x}
  3. xx+8\frac{x}{x + 8}
  4. x8\frac{x}{8}
Show the answer and the solution

Answer: A xx−8\frac{x}{x - 8}

Worked solution:

x(x−8)(x−8)2\frac{x(x - 8)}{(x - 8)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע שלם למטה

x≠8x \neq 8

תחום ההצבה

xx−8\frac{x}{x - 8}

מצמצמים (x−8)(x-8) אחת

אותו מבנה כמו התרגיל עם aa — רק שהסימן במכנה מינוס: 2⋅x⋅8=16x2 \cdot x \cdot 8 = 16x.

Check the answer on elev

Exercise 5

פרקו וצמצמו: x2+6x+92x+6\frac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}

  1. x+32x\frac{x + 3}{2x}
  2. x+92\frac{x + 9}{2}
  3. (x+3)22\frac{(x + 3)^2}{2}
  4. x+32\frac{x + 3}{2}
Show the answer and the solution

Answer: D x+32\frac{x + 3}{2}

Worked solution:

(x+3)22(x+3)\frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}

ריבוע שלם למעלה, גורם משותף למטה

x≠−3x \neq -3

תחום ההצבה

x+32\frac{x + 3}{2}

מצמצמים סוגריים אחת מתוך שתיים

כאן הפירוק הפוך מהתרגילים הקודמים: הריבוע השלם למעלה והגורם המשותף למטה.

Check the answer on elev

Exercise 6

פרקו וצמצמו: 2x2+4x−702x+14\frac{2x^2 + 4x - 70}{2x + 14}

  1. x+5x + 5
  2. x−5x - 5
  3. x−52\frac{x - 5}{2}
  4. 2(x−5)2(x - 5)
Show the answer and the solution

Answer: B x−5x - 5

Worked solution:

2(x2+2x−35)2(x+7)\frac{2(x^2 + 2x - 35)}{2(x + 7)}

גורם משותף 2 בשני הצדדים

2(x+7)(x−5)2(x+7)\frac{2(x + 7)(x - 5)}{2(x + 7)}

טרינום: מכפלה 35 מינוס, סכום 2

x≠−7x \neq -7

תחום ההצבה

x−5x - 5

מצמצמים את ה-2 ואת (x+7)(x+7)

בלי הוצאת ה-2 הטרינום לא היה עובד: השיטה דורשת מקדם 1 ל-x2x^2. זה התרגיל שמראה למה סדר הפעולות חשוב.

Check the answer on elev

Exercise 7

בשבר x2−8xx2−16x+64\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64} יש ערך אחד אסור ל-xx. מהו?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x2−16x+64=(x−8)2x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2

מפרקים את המכנה

x−8=0 ⇒ x=8\begin{aligned}x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

המכנה מתאפס

תחום ההצבה נקבע מהמכנה המקורי, לפני הצמצום. אחרי הצמצום נשאר xx−8\frac{x}{x-8} — במקרה הזה אותו תנאי, אבל זה לא תמיד כך.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו הערך האסור ל-xx בשבר 2x2+4x−702x+14\frac{2x^2 + 4x - 70}{2x + 14}?

Show the answer and the solution

Answer: -7

Worked solution:

2x+14=2(x+7)2x + 14 = 2(x + 7)

מוציאים גורם משותף מהמכנה

x+7=0 ⇒ x=−7\begin{aligned}x + 7 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -7\end{aligned}

אחרי הצמצום נשאר x−5x - 5 — ביטוי שמוגדר לכל xx. זו בדיוק הסיבה לרשום את התנאי לפני שמוחקים.

Check the answer on elev

Exercise 9

צמצום עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+6x+92x+6\frac{x^2 + 6x + 9}{2x + 6}
=(x+3)22(x+3)= \frac{(x + 3)^2}{2(x + 3)}
=(x+3)22= \frac{(x + 3)^2}{2}
Show the answer and the solution

Answer: =(x+3)22= \frac{(x + 3)^2}{2} → =x+32= \frac{x + 3}{2}

Worked solution:

(x+3)(x+3)2(x+3)\frac{(x + 3)(x + 3)}{2(x + 3)}

כותבים את הריבוע כמכפלה

x+32\frac{x + 3}{2}

סוגריים אחת מול סוגריים אחת

הפירוק היה נכון — הצמצום לא. מחקו את הסוגריים מהמכנה בלי להוריד אחת מהמונה. מי שכותב את הריבוע כמכפלה לא נופל בזה.

Check the answer on elev

Exercise 10

מיינו: מה מפרקים בהוצאת גורם משותף בלבד, ומה דורש גם נוסחה או טרינום?

  • גורם משותף בלבד
  • נוסחת כפל מקוצר / טרינום
  • 2x+162x + 16
  • a2+7aa^2 + 7a
  • x2−16x+64x^2 - 16x + 64
  • x2−8xx^2 - 8x
  • x2+2x−35x^2 + 2x - 35
  • x2+6x+9x^2 + 6x + 9
Show the answer and the solution

Answer: 2x+162x + 16 — גורם משותף בלבד · x2−16x+64x^2 - 16x + 64 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום · a2+7aa^2 + 7a — גורם משותף בלבד · x2+6x+9x^2 + 6x + 9 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום · x2−8xx^2 - 8x — גורם משותף בלבד · x2+2x−35x^2 + 2x - 35 — נוסחת כפל מקוצר / טרינום

Worked solution:

x2−8x=x(x−8)x^2 - 8x = x(x - 8)

גורם משותף — ונגמר

x2+2x−35=(x+7)(x−5)x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5)

אין גורם משותף — טרינום

השאלה הראשונה תמיד: יש איבר שמופיע בכל המחוברים? אם כן — מוציאים. אם לא — סופרים איברים ומחליטים בין הפרש ריבועים, ריבוע שלם וטרינום.

Check the answer on elev

Exercise 11

השלימו את הפירוק: 6x3+9x26x^3 + 9x^2

מוציאים 3x3x בחזקת ____ , ונשאר בסוגריים 2x2x ועוד ____.

Show the answer and the solution

Answer: מוציאים 3x3x בחזקת 2 , ונשאר בסוגריים 2x2x ועוד 3.

Worked solution:

6x3+9x2=3x2(2x+3)6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)

המחלק המשותף של 6 ו-9 הוא 3, והחזקה הנמוכה היא x2x^2

מהמקדמים לוקחים את המחלק המשותף הגדול, ומהנעלם את החזקה הנמוכה ביותר. בדיקה: פותחים חזרה ומקבלים 6x3+9x26x^3 + 9x^2.

Check the answer on elev

Exercise 12

אפשר לצמצם את השבר x+82x+16\frac{x + 8}{2x + 16}.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x+82(x+8)\frac{x + 8}{2(x + 8)}

מוציאים גורם משותף מהמכנה

12\frac{1}{2}

מצמצמים את (x+8)(x+8)

המונה נראה כמו סכום, אבל הוא סוגריים שלמה מול סוגריים שלמה במכנה — ולכן מותר. התנאי: x≠−8x \neq -8.

Check the answer on elev

Exercise 13

השלימו את הוצאת הגורם המשותף: 5x+355x + 35

מוציאים את ____, ונשאר בסוגריים xx ועוד ____.

Show the answer and the solution

Answer: מוציאים את 5, ונשאר בסוגריים xx ועוד 7.

Worked solution:

5x+35=5x+5⋅75x + 35 = 5x + 5 \cdot 7

5 מחלק את 35

=5(x+7)= 5(x + 7)

ה-5 גלוי בשני האיברים

בדיקה בפתיחה: 5(x+7)=5x+355(x + 7) = 5x + 35 ✓

Check the answer on elev

Exercise 14

ל-3x+103x + 10 יש גורם משותף מספרי.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

10:3=31310 : 3 = 3\tfrac{1}{3}

3 לא מחלק את 10

המספרים שמחלקים את 10 הם 1, 2, 5, 10. אף אחד מהם, חוץ מ-1, לא מחלק את 3. אין גורם משותף מספרי.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade