The trinomial method

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שיטת הטרינום מפרקת ביטוי ריבועי לשני סוגריים:

x2+bx+c=(x+m)(x+n)\begin{gathered} x^2 + \textcolor{#1f5fae}{b}x + \textcolor{#9a5b12}{c} \\ = (x + m)(x + n) \end{gathered}

היא עובדת רק כשהמקדם של x2x^2 הוא 1. את התנאי הזה בודקים לפני הכול.

כל העבודה: למצוא את שני המספרים mm ו-nn. יש להם בדיוק שני תנאים:

m⋅n=cm \cdot n = \textcolor{#9a5b12}{c}

המכפלה שלהם היא האיבר החופשי.

m+n=bm + n = \textcolor{#1f5fae}{b}

הסכום שלהם הוא המקדם של xx.

רואים את זה במלבן

בלי ציור: עוברים על הזוגות שמכפלתם c\textcolor{#9a5b12}{c}, עד שהסכום מתאים.

פרקו: x2+7x+12x^2 + \textcolor{#1f5fae}{7}x + \textcolor{#9a5b12}{12}

Show the answer and the solution

(x+3)(x+4)(x+3)(x+4) — מחפשים זוג שמכפלתו 12 וסכומו 7. שלוש וארבע.

סדר החיפוש

מתחילים תמיד מהמכפלה, לא מהסכום.

למכפלה יש מעט זוגות, ואפשר לעבור על כולם. לסכום יש אינסוף זוגות.

למה מתחילים מהמכפלה 12\textcolor{#9a5b12}{12}, ולא מהסכום 7\textcolor{#1f5fae}{7}?

Show the answer and the solution

למכפלה 12 יש רק שלושה זוגות חיוביים: 1⋅121 \cdot 12, 2⋅62 \cdot 6, 3⋅43 \cdot 4. לסכום 7 יש אינסוף: 3+43 + 4, 10+(−3)10 + (-3), 100+(−93)100 + (-93)…

הסימנים חוסכים חצי מהחיפוש. קוראים אותם לפני שמחפשים.

ומה עם x2−x−12x^2 \mathbin{\textcolor{#1f5fae}{-}} x - \textcolor{#9a5b12}{12}?

Show the answer and the solution

(x−4)(x+3)(x-4)(x+3) — מכפלה −12-12, סכום −1-1. סימנים שונים כשמכפלת הזוג שלילית.

התנאי שנשכח לפני שמתחילים.

2x2+6x+4=(x+?)(x+?)2x^2 + 6x + 4 = (x+?)(x+?)
2(x2+3x+2)=2(x+2)(x+1)2(x^2 + 3x + 2) = 2(x+2)(x+1)

כשהמקדם של x2x^2 אינו 1, השיטה לא עובדת כמו שהיא. קודם מוציאים גורם משותף, ורק אז מפעילים טרינום על מה שנשאר.

וכשהמקדם של x2x^2 אינו 1?

מנסים לחלק את כל האיברים במקדם של x2x^2.

כולם מתחלקים? מוציאים אותו מחוץ לסוגריים, ועושים טרינום על מה שנשאר בפנים.

אפילו איבר אחד לא מתחלק? הטרינום לא זמין. עוברים לנוסחת השורשים, שעובדת תמיד.

נוסחת השורשים

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

זו נוסחת השורשים, כמו במשוואות ריבועיות.

את aa, bb ו-cc לוקחים מהצורה ax2+bx+cax^2 + bx + c, עם הסימנים שלהם.

שתי הטעויות בנוסחת השורשים.

x1,2=−b±b2−4ac2x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1 — וזה בדיוק המקרה שבו משתמשים בנוסחה — שכחת ה-aa הורסת את התשובה.

x1,2=−b2a±b2−4acx_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm \sqrt{b^2 - 4ac}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

הקו של השבר עובר מתחת לכל המונה: גם −b-b וגם השורש נמצאים מעליו. זו טעות שנראית קטנה ומשנה את שתי התשובות.

זה סדר העבודה, תמיד:

11

המקדם של x2x^2 הוא 1? טרינום.

22

לא, אבל גורם משותף הופך אותו ל-1? מוציאים, ואז טרינום.

33

אחרת: נוסחת השורשים.

Exercises

Exercise 1

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=5m+n=6\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{5} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{6}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

5×1=55 \times 1 = 5

זוג שמכפלתו מתאימה

5+1=65 + 1 = 6

והסכום מתאים גם הוא

x2+6x+5=(x+5)(x+1)x^2 + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Check the answer on elev

Exercise 2

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=6m+n=5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{6} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

3×2=63 \times 2 = 6

זוג שמכפלתו מתאימה

3+2=53 + 2 = 5

והסכום מתאים גם הוא

x2+5x+6=(x+3)(x+2)x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Check the answer on elev

Exercise 3

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=12m+n=7\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{7}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

4×3=124 \times 3 = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

4+3=74 + 3 = 7

והסכום מתאים גם הוא

x2+7x+12=(x+4)(x+3)x^2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Check the answer on elev

Exercise 4

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=12m+n=8\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{8}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

6×2=126 \times 2 = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

6+2=86 + 2 = 8

והסכום מתאים גם הוא

x2+8x+12=(x+6)(x+2)x^2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום חיובי, ולכן שני המספרים חיוביים.

Check the answer on elev

Exercise 5

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=12m+n=−7\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{12} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-7}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

(−3)×(−4)=12(-3) \times (-4) = 12

זוג שמכפלתו מתאימה

(−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7

והסכום מתאים גם הוא

x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום שלילי, ולכן שני המספרים שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 6

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=5m+n=−6\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{5} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-6}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

(−1)×(−5)=5(-1) \times (-5) = 5

זוג שמכפלתו מתאימה

(−1)+(−5)=−6(-1) + (-5) = -6

והסכום מתאים גם הוא

x2−6x+5=(x−1)(x−5)x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)

וזה הפירוק

המכפלה חיובית והסכום שלילי, ולכן שני המספרים שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 7

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=−14m+n=5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-14} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

7×(−2)=−147 \times (-2) = -14

זוג שמכפלתו מתאימה

7+(−2)=57 + (-2) = 5

והסכום מתאים גם הוא

x2+5x−14=(x+7)(x−2)x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 8

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=−15m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-15} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{2}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

5×(−3)=−155 \times (-3) = -15

זוג שמכפלתו מתאימה

5+(−3)=25 + (-3) = 2

והסכום מתאים גם הוא

x2+2x−15=(x+5)(x−3)x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 9

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=−6m+n=−5\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-6} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{-5}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

1×(−6)=−61 \times (-6) = -6

זוג שמכפלתו מתאימה

1+(−6)=−51 + (-6) = -5

והסכום מתאים גם הוא

x2−5x−6=(x+1)(x−6)x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 6)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

פרקו לגורמים:

Show the answer and the solution

Worked solution:

m⋅n=−32m+n=4\begin{aligned}m \cdot n &= \textcolor{#9a5b12}{-32} \quad \\ \quad m + n &= \textcolor{#1f5fae}{4}\end{aligned}

שני התנאים: המכפלה היא האיבר החופשי, והסכום הוא המקדם של xx

8×(−4)=−328 \times (-4) = -32

זוג שמכפלתו מתאימה

8+(−4)=48 + (-4) = 4

והסכום מתאים גם הוא

x2+4x−32=(x+8)(x−4)x^2 + 4x - 32 = (x + 8)(x - 4)

וזה הפירוק

המכפלה שלילית, ולכן הסימנים שונים: מספר אחד חיובי ואחד שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 11

מתי מותר להשתמש בשיטת הטרינום?

  1. רק כשאין איבר חופשי
  2. כשהמקדם של x2x^2 הוא 1
  3. תמיד
  4. רק כשכל המקדמים חיוביים
Show the answer and the solution

Answer: B כשהמקדם של x2x^2 הוא 1

Worked solution:

x2+bx+cx^2 + bx + c

המקדם הראשון הוא 1

אחרת מוציאים קודם גורם משותף, ורק אז מפעילים את השיטה.

Check the answer on elev

Exercise 12

בפירוק x2+6x+5x^2 + 6x + 5, אילו שני מספרים מחפשים?

  1. שהפרשם 5 וסכומם 6
  2. שמכפלתם 5 וסכומם 6
  3. שמכפלתם 6 וסכומם 5
  4. שמכפלתם 11
Show the answer and the solution

Answer: B שמכפלתם 5 וסכומם 6

Worked solution:

m⋅n=c=5\begin{aligned}m \cdot n &= c \\ &= 5\end{aligned}

המכפלה היא האיבר החופשי

m+n=b=6\begin{aligned}m + n &= b \\ &= 6\end{aligned}

והסכום הוא המקדם של x

החלפה בין b ל-c היא הטעות הראשונה בפרק. c הוא זה שנמצא בסוף.

Check the answer on elev

Exercise 13

האיבר החופשי cc שלילי. מה זה אומר על שני המספרים?

  1. שניהם שליליים
  2. אי אפשר לדעת
  3. שניהם חיוביים
  4. אחד חיובי ואחד שלילי
Show the answer and the solution

Answer: D אחד חיובי ואחד שלילי

Worked solution:

m⋅n<0m \cdot n < 0

מכפלה שלילית = סימנים שונים

קריאת הסימנים לפני החיפוש חוסכת חצי מהזוגות.

Check the answer on elev

Exercise 14

התאימו לכל ביטוי את הפירוק שלו.

  • x2+7x+10x^2 + 7x + 10
  • x2+11x+10x^2 + 11x + 10
  • x2−7x+10x^2 - 7x + 10
  • x2+3x−10x^2 + 3x - 10
  • (x−2)(x−5)(x - 2)(x - 5)
  • (x+10)(x+1)(x + 10)(x + 1)
  • (x+5)(x−2)(x + 5)(x - 2)
  • (x+5)(x+2)(x + 5)(x + 2)
Show the answer and the solution

Answer: x2+7x+10x^2 + 7x + 10 — (x+5)(x+2)(x + 5)(x + 2) · x2+11x+10x^2 + 11x + 10 — (x+10)(x+1)(x + 10)(x + 1) · x2−7x+10x^2 - 7x + 10 — (x−2)(x−5)(x - 2)(x - 5) · x2+3x−10x^2 + 3x - 10 — (x+5)(x−2)(x + 5)(x - 2)

Worked solution:

5⋅2=105+2=7\begin{aligned}5 \cdot 2 &= 10 \quad \\ \quad 5 + 2 &= 7\end{aligned}

מכפלה 10 וסכום 7

10⋅1=1010+1=11\begin{aligned}10 \cdot 1 &= 10 \quad \\ \quad 10 + 1 &= 11\end{aligned}

מכפלה 10 וסכום 11

(−5)⋅(−2)=10−5+(−2)=−7\begin{aligned}(-5) \cdot (-2) &= 10 \quad \\ \quad -5 + (-2) &= -7\end{aligned}

מכפלה חיובית וסכום שלילי: שניהם שליליים

5⋅(−2)=−105+(−2)=3\begin{aligned}5 \cdot (-2) &= -10 \quad \\ \quad 5 + (-2) &= 3\end{aligned}

מכפלה שלילית: סימנים שונים

לשלושה ביטויים אותה מכפלה, 10, והסכום הוא שמבדיל ביניהם. מי שבודק רק את המכפלה מתבלבל.

Check the answer on elev

Exercise 15

בפירוק של x2−9x+20x^2 - 9x + 20 שני המספרים שליליים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

20>0\textcolor{#9a5b12}{20} > 0

המכפלה חיובית: שני המספרים באותו סימן

−9<0\textcolor{#1f5fae}{-9} < 0

הסכום שלילי: שניהם שליליים

x2−9x+20=(x−4)(x−5)x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)

ואכן: −4-4 ו-−5-5

מכפלה חיובית לא אומרת שהמספרים חיוביים. היא אומרת רק שהסימנים שווים, והסכום קובע איזה.

Check the answer on elev

Exercise 16

מיינו לפי הסימנים של שני המספרים בפירוק.

  • אותו סימן
  • סימנים שונים
  • x2−5x+6x^2 - 5x + 6
  • x2−8x+15x^2 - 8x + 15
  • x2−x−6x^2 - x - 6
  • x2+2x−15x^2 + 2x - 15
  • x2+5x+6x^2 + 5x + 6
  • x2+x−6x^2 + x - 6
Show the answer and the solution

Answer: x2+5x+6x^2 + 5x + 6 — אותו סימן · x2−5x+6x^2 - 5x + 6 — אותו סימן · x2+x−6x^2 + x - 6 — סימנים שונים · x2−x−6x^2 - x - 6 — סימנים שונים · x2−8x+15x^2 - 8x + 15 — אותו סימן · x2+2x−15x^2 + 2x - 15 — סימנים שונים

Worked solution:

m⋅n>0m \cdot n > 0

מכפלה חיובית: אותו סימן

m⋅n<0m \cdot n < 0

מכפלה שלילית: סימנים שונים

מסתכלים רק על הסימן של האיבר החופשי cc. הסימן של bb לא משנה את המיון: הוא קובע רק איזה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 17

פירוק עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+2x−24x^2 + 2x - 24
m⋅n=−24m+n=2\begin{aligned}m \cdot n &= -24 \quad \\ \quad m + n &= 2\end{aligned}
6⋅(−4)=−246+(−4)=2\begin{aligned}6 \cdot (-4) &= -24 \quad \\ \quad 6 + (-4) &= 2\end{aligned}
(x−6)(x+4)(x - 6)(x + 4)
Show the answer and the solution

Answer: (x−6)(x+4)(x - 6)(x + 4) → (x+6)(x−4)(x + 6)(x - 4)

Worked solution:

m=6  n=−4\begin{aligned}m &= 6 \ \\ \ n &= -4\end{aligned}

הזוג נכון

(x+6)(x−4)=x2+2x−24(x + 6)(x - 4) = x^2 + 2x - 24

ונכנס לסוגריים בסימנים שלו

הזוג נמצא נכון, אבל הסימנים התהפכו בדרך לסוגריים. בדיקה בפתיחה: (x−6)(x+4)=x2−2x−24(x - 6)(x + 4) = x^2 - 2x - 24, ולא +2x+2x.

Check the answer on elev

Exercise 18

את 2x2+7x+62x^2 + 7x + 6 אפשר לחלק ב-2, ואז לפרק בשיטת הטרינום.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2x2:2=x26:2=3\begin{aligned}2x^2 : 2 &= x^2 \quad \\ \quad 6 : 2 &= 3\end{aligned}

שני איברים מתחלקים

7x:2=3.5x7x : 2 = 3.5x

אבל 7 לא מתחלק ב-2

מספיק איבר אחד שלא מתחלק כדי שהטרינום לא יהיה זמין. כאן עוברים לנוסחת השורשים.

Check the answer on elev

Exercise 19

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

a=2  b=−5  c=2\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -5 \ \\ \ c &= 2\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

−b-b הוא +5+5

x1,2=5±94=5±34\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \\ &= \dfrac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}

מתחת לשורש: 25−16=925 - 16 = 9

x1=84=2x2=24=0.5\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

שני הפתרונות

הטעות האורבת: לכתוב −5-5 במקום −b-b. כש-bb שלילי, −b-b חיובי.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade