לפני שנמיר בין יחידות, שאלה שכדאי לעצור עליה: למה בכלל יש כמה יחידות? למה לא מודדים הכול בסנטימטרים ונגמר העניין?
כי המספרים היו יוצאים ענקיים. מתל אביב לחיפה יש בערך 9,500,000 סנטימטרים.
אף אחד לא קורא מספר כזה. אבל 95 קילומטרים — כל אחד מבין מיד.
הכלל: בוחרים את היחידה שנותנת מספר נוח. אותו אורך אפשר לכתוב בכל היחידות:
באיזו יחידה נמדוד את אורך של מחברת?
Show the answer and the solution
בסנטימטרים. מחברת היא בערך 30 ס״מ. במטרים היה יוצא 0.3, ובמילימטרים 300 — שניהם פחות נוחים.
ובאיזו יחידה נמדוד את המרחק שרצנו במרוץ?
Show the answer and the solution
בקילומטרים — למשל 5 ק״מ. במטרים זה 5,000, ואפשר, אבל בקילומטרים נוח יותר.
מה יש בתוך מטר?
לפני שממירים, כדאי לראות את היחידות. נחתוך מטר אחד לחתיכות, נגדיל סנטימטר אחד, ואחר כך נתרחק עד שנראה קילומטר שלם.
בשלב האחרון המטר כבר לא נראה בכלל. למה?
Show the answer and the solution
כי קילומטר הוא פי 1000 ממטר. אם כל הדרך היא 1000 חלקים, מטר אחד הוא רק חלק אחד מתוך 1000 — דק מכדי לראות.
ועכשיו מובן גם למה צריך להמיר: כל אחד מודד ביחידה הנוחה לו, ואי אפשר לחבר או להשוות שני אורכים כל עוד הם ביחידות שונות. ההמרה היא מה שמאפשר להשוות.
חדשות טובות: מערכת המידות בישראל זהה לזו שבצרפת ובכל אירופה.
מטר הוא מטר, וקילומטר הוא קילומטר. מה שחדש הוא רק הכתיב בעברית.
איך קוראים את הקיצורים
בעברית מקצרים את שמות היחידות בעזרת גרשיים (״). זה מה שמבלבל בהתחלה — לא החשבון.
קילומטר — *km*
מטר — *m*
סנטימטר — *cm*
מילימטר — *mm*
הקיצור נבנה מהאות הראשונה של כל חלק במילה: סנטימטר נותן ס״מ, מילימטר נותן מ״מ. אותו היגיון בכל היחידות.
סולם היחידות
היחידות מסודרות בסולם. בין כל שלב לשלב יש כפל קבוע:
קילומטר אחד הוא אלף מטר
מטר אחד הוא מאה סנטימטר
סנטימטר אחד הוא עשרה מילימטר
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים. עולים ליחידה גדולה יותר — מחלקים.
בדיקת סבירות שמצילה: יחידה קטנה יותר נותנת מספר גדול יותר. אותו אורך הוא 2 ק״מ או 200,000 ס״מ. אם קיבלתם מספר קטן יותר ביחידה קטנה יותר — הפכתם את הכיוון.
טבלת ההמרה — הנקודה זזה, הספרות נשארות
הנה הסוד של כל ההמרות: הספרות של המספר לא משתנות.
משתנה רק המקום של הנקודה העשרונית. בטבלה יש עמודה לכל יחידה, ובין שתי עמודות שכנות — פי 10.
ממירים ק״מ לס״מ. כמה עמודות תזוז הנקודה, ולאיזה כיוון?
Show the answer and the solution
5 עמודות ימינה — מק״מ עוברים את מאות המטרים, עשרות המטרים, המטר, הדצ״מ ומגיעים לס״מ. חמש עמודות הן .
להזיז את הנקודה לכיוון הלא נכון.
מס״מ למטר עולים ליחידה גדולה יותר, ולכן המספר צריך לקטון. הנקודה זזה שמאלה, לא ימינה. מספיק לשאול: האם 25,000 מטר נשמע כמו אורך של שולחן?
הכלל
מיחידה גדולה לקטנה — כופלים. מיחידה קטנה לגדולה — מחלקים. גודל הכפל הוא המכפלה של כל השלבים בדרך.
ומק״מ ישר לס״מ? מכפילים את השלבים: . אין צורך לעבור דרך המטר בשני חישובים נפרדים.
עכשיו נתרגל.
Exercises
סדרה א — קל: המרה בצעד אחד
Exercise 1
כמה מטר יש ב-3 ק״מ?
Show the answer and the solution
Answer: 3000
Worked solution:
קילומטר אחד הוא אלף מטר
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים
יחידה קטנה יותר — מספר גדול יותר. זו בדיקת הסבירות המהירה.
Exercise 2
כמה ס״מ יש ב-7 מטר?
Show the answer and the solution
Answer: 700
Worked solution:
מטר אחד הוא מאה סנטימטר
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים
יחידה קטנה יותר — מספר גדול יותר. זו בדיקת הסבירות המהירה.
Exercise 3
כמה מ״מ יש ב-12 ס״מ?
Show the answer and the solution
Answer: 120
Worked solution:
סנטימטר אחד הוא עשרה מילימטר
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים
יחידה קטנה יותר — מספר גדול יותר. זו בדיקת הסבירות המהירה.
Exercise 4
כמה ק״מ יש ב-4500 מטר?
Show the answer and the solution
Answer: 4.5
Worked solution:
אלף מטר הם קילומטר אחד
עולים ליחידה גדולה יותר — מחלקים
יחידה גדולה יותר — מספר קטן יותר.
Exercise 5
כמה מטר יש ב-250 ס״מ?
Show the answer and the solution
Answer: 2.5
Worked solution:
מאה סנטימטר הם מטר אחד
עולים ליחידה גדולה יותר — מחלקים
יחידה גדולה יותר — מספר קטן יותר.
Exercise 6
כמה ס״מ יש ב-80 מ״מ?
Show the answer and the solution
Answer: 8
Worked solution:
עשרה מילימטר הם סנטימטר אחד
עולים ליחידה גדולה יותר — מחלקים
יחידה גדולה יותר — מספר קטן יותר.
Exercise 7
כמה ס״מ יש ב-2 ק״מ?
Show the answer and the solution
Answer: 200000
Worked solution:
קילומטר אחד הוא מאה אלף סנטימטר
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים
יחידה קטנה יותר — מספר גדול יותר. זו בדיקת הסבירות המהירה.
Exercise 8
כמה מ״מ יש ב-15 מטר?
Show the answer and the solution
Answer: 15000
Worked solution:
מטר אחד הוא אלף מילימטר
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים
יחידה קטנה יותר — מספר גדול יותר. זו בדיקת הסבירות המהירה.
Exercise 9
התאימו כל מקרה למה שהוא אומר
Show the answer and the solution
Answer: — קילומטר — *km* · — מטר — *m* · — סנטימטר — *cm* · — מילימטר — *mm*
Worked solution:
מהיחידה הגדולה לקטנה
הקיצור נבנה מהאותיות הראשונות: סנטי־מטר נותן ס״מ, מילי־מטר נותן מ״מ. מטר לבד מקבל גרש אחד: מ׳.
Exercise 10
סמנו על הישר את 1.25 מ׳. הישר מסומן בסנטימטרים.
Show the answer and the solution
Worked solution:
ממטר לס״מ — כופלים ב-100
125 ס״מ: מטר אחד (100) ועוד רבע מטר (25). מי שסימן 12.5 חילק במקום לכפול.
Exercise 11
אורך של עיפרון הוא 17 ___. איזו יחידה חסרה?
Show the answer and the solution
Answer: A ס״מ
Worked solution:
בערך כמו כף יד ועוד קצת
17 מטר הם אורך של אוטובוס, ו-17 מ״מ הם פחות מאצבע. בודקים: האם המספר נשמע הגיוני?
סדרה ב — בינוני: מספרים עשרוניים והשוואה
Exercise 12
מסלול ריצה באורך 2.5 ק״מ. כמה מטרים זה?
Show the answer and the solution
Answer: 2500
Worked solution:
יורדים מק״מ למטר — כופלים באלף
בטבלת ההמרה: הנקודה זזה 3 מקומות ימינה, ומוסיפים אפסים
כפל באלף הוא הזזה של הנקודה שלושה מקומות ימינה — לא הוספה של שלושה אפסים אחרי 2.5. 2.5000 הוא עדיין 2.5.
Exercise 13
שולחן באורך 180 ס״מ. כמה מטרים זה?
Show the answer and the solution
Answer: 1.8
Worked solution:
עולים מס״מ למטר — מחלקים במאה
הנקודה זזה 2 מקומות שמאלה
התוצאה קטנה מהמספר המקורי, כי עברנו ליחידה גדולה יותר. 1.8 מ׳ הם מטר ועוד 80 ס״מ.
Exercise 14
מירי הלכה 0.75 ק״מ מהבית לבית הספר. כמה מטרים הלכה?
Show the answer and the solution
Answer: 750
Worked solution:
יורדים מק״מ למטר — כופלים באלף. הנקודה זזה 3 מקומות ימינה
שלושת רבעי קילומטר הם 750 מטר. אם יצא לכם 75 — זזתם רק 2 מקומות, כאילו כפלתם במאה.
Exercise 15
בורג באורך 3.2 ס״מ. כמה מ״מ אורכו?
Show the answer and the solution
Answer: 32
Worked solution:
בסנטימטר אחד יש עשרה מילימטר
הנקודה זזה מקום אחד ימינה
בין ס״מ למ״מ יש שלב אחד בלבד, פי 10. שלושה סנטימטר ועוד 2 מילימטר.
Exercise 16
כמה מ״מ יש ב-0.4 מ׳?
Show the answer and the solution
Answer: A 400
Worked solution:
ממטר למ״מ יורדים שני שלבים: פי 100 ואז פי 10
הנקודה זזה 3 מקומות ימינה
מי שענה 40 עצר בסנטימטרים (פי 100 בלבד). מי שענה 0.0004 חילק במקום לכפול — אבל יחידה קטנה יותר חייבת לתת מספר גדול יותר.
Exercise 17
סדרו מהקטן לגדול
Show the answer and the solution
Answer: 25 מ״מ · 4 ס״מ · 0.3 מ׳ · 120 ס״מ · 1.5 מ׳
Worked solution:
ממירים את כל האורכים ליחידה אחת — מ״מ
אי אפשר להשוות 0.3 ל-4 כשהיחידות שונות: 0.3 מ׳ הם 30 ס״מ, יותר מ-4 ס״מ. קודם ממירים ליחידה משותפת, ורק אז משווים.
Exercise 18
השלימו את הטבלה. בכל שורה — אותו אורך בשלוש יחידות.
| ק״מ | מ׳ | ס״מ |
|---|---|---|
| ____ | ____ | |
| ____ | ____ | |
| ____ | ____ |
Show the answer and the solution
Answer: : 3000, 300000 · 50000 · 20
Worked solution:
כופלים ב-1000, ואז ב-100
למעלה מחלקים, למטה כופלים
מחלקים ב-100, ואז ב-1000
הספרות לא משתנות — רק הנקודה זזה. המלכודת בשורה האחרונה: 0.02 ולא 0.2.
Exercise 19
ממירים ק״מ לס״מ: הנקודה העשרונית זזה 5 עמודות ימינה.
Show the answer and the solution
Answer: True
Worked solution:
חמישה אפסים — חמש עמודות
נכון. מק״מ למטר 3 עמודות, וממטר לס״מ עוד 2. ימינה, כי היחידה קטנה יותר והמספר גדל.
סדרה ג — מאתגר: מידות מעורבות ומלכודות
Exercise 20
דני רץ 1,200 מטר ואחר כך עוד 800 מטר. כמה ק״מ רץ בסך הכול?
Show the answer and the solution
Answer: 2
Worked solution:
קודם מחברים באותה יחידה — מטרים
ורק אז ממירים לק״מ: הנקודה זזה 3 מקומות שמאלה
תמיד לחבר קודם ביחידה משותפת, ולהמיר בסוף. להמיר כל מספר בנפרד עובד גם — אבל מזמין טעויות.
Exercise 21
אורך החבל 3 מ׳ ו-8 ס״מ. כמה ס״מ אורך החבל?
Show the answer and the solution
Answer: 308
Worked solution:
ממירים את המטרים לס״מ
ומוסיפים את הס״מ שנשארו
המלכודת: לכתוב 38. אבל 8 ס״מ תופסים את מקום היחידות, ומקום העשרות נשאר ריק — 308.
Exercise 22
השלימו
235 ס״מ הם ____ מ׳ ו-____ ס״מ
Show the answer and the solution
Answer: 235 ס״מ הם 2 מ׳ ו-35 ס״מ
Worked solution:
מפרקים: כמה מאות שלמות יש?
כל 100 ס״מ הם מטר שלם; מה שנשאר נשאר בס״מ
זו ההמרה ההפוכה: 235 ס״מ הם 2.35 מ׳, כלומר 2 מטרים שלמים ועוד 35 ס״מ.
Exercise 23
התאימו כל אורך לאורך השווה לו
Show the answer and the solution
Answer: 1.2 ק״מ — 1,200 מ׳ · 0.8 מ׳ — 80 ס״מ · 45 מ״מ — 4.5 ס״מ · 3,050 מ׳ — 3.05 ק״מ
Worked solution:
הנקודה זזה 3 מקומות שמאלה, והאפס נשאר
הזוג הקשה הוא 3,050 מ׳: הוא 3 ק״מ ועוד 50 מ׳, כלומר 3.05 ק״מ. 3.5 ק״מ היו 3,500 מ׳.
Exercise 24
0.5 ק״מ שווים ל-50 מ׳.
Show the answer and the solution
Answer: False
Worked solution:
בין ק״מ למטר יש פי 1000, לא פי 100
חצי קילומטר הם 500 מטר. 50 מטר הם רק חצי מאה מטר — מי שכפל במאה בלבד התבלבל עם המעבר ממטר לס״מ.
Exercise 25
מסלול הטיול 4 ק״מ ו-60 מ׳. כמה מטרים זה?
Show the answer and the solution
Answer: C 4,060
Worked solution:
ממירים את הקילומטרים
ומוסיפים את המטרים
המלכודת היא 4,600: לקרוא «4 ק״מ ו-60 מ׳» כאילו זה 4.6 ק״מ. ומי שכותב 460 הצמיד את 60 ל-4. אבל 60 מטר הם עשרות, ומקום המאות נשאר 0 — 4,060.
סדרה ד — לקראת המבחן: בעיות מהחיים
Exercise 26
מסלול אתלטיקה הוא 400 מ׳. נועה רצה 12 הקפות. כמה ק״מ רצה?
Show the answer and the solution
Answer: 4.8
Worked solution:
קודם כל המרחק במטרים
ואז ממירים לק״מ: הנקודה זזה 3 מקומות שמאלה
שני שלבים: חישוב ואחר כך המרה. 4.8 ק״מ הם 4 ק״מ ו-800 מ׳ — קצת פחות מ-5 ק״מ, סביר ל-12 הקפות.
Exercise 27
שביל ישראל ארוך בערך 1,000 ק״מ. מטיילת הולכת 25,000 מ׳ ביום. בכמה ימים תסיים את השביל?
Show the answer and the solution
Answer: 40
Worked solution:
קודם מביאים את שני המספרים לאותה יחידה
ורק אז מחלקים
אי אפשר לחלק 1,000 ק״מ ב-25,000 מ׳ ישירות — יצא 0.04, שזה חסר משמעות. יחידה משותפת קודם.
Exercise 28
גובה כל מדרגה הוא 18 ס״מ. יונתן עלה 50 מדרגות. לאיזה גובה עלה, במטרים?
Show the answer and the solution
Answer: 9
Worked solution:
הגובה הכולל בס״מ
עולים מס״מ למטר — מחלקים במאה
בדיקת סבירות: 9 מטר הם בערך שלוש קומות. זה מתאים ל-50 מדרגות.
Exercise 29
במפת טיול, כל 1 ס״מ במפה הוא 500 מ׳ בשטח. בין שתי נקודות יש 6 ס״מ במפה. כמה ק״מ ביניהן בשטח?
Show the answer and the solution
Answer: 3
Worked solution:
כל ס״מ במפה שווה 500 מטר
ממירים לק״מ
אל תמירו את 6 הס״מ של המפה למטרים — הם מספרים כמה «קפיצות» של 500 מטר יש בשטח.
Exercise 30
באיזו יחידה נוח למדוד כל דבר?
Show the answer and the solution
Answer: המרחק מירושלים לאילת — קילומטרים · אורך של עיפרון — סנטימטרים · אורך נהר הירדן — קילומטרים · רוחב של מחברת — סנטימטרים · מסלול מרתון תל אביב — קילומטרים · גובה של כוס — סנטימטרים
Worked solution:
אותו מרחק — אבל רק מספר אחד נוח לקריאה
בוחרים את היחידה שנותנת מספר נוח: דברים רחוקים בק״מ, דברים שמחזיקים ביד בס״מ.
Exercise 31
שורה אחת שגויה — מצאו אותה
Show the answer and the solution
Answer: →
Worked solution:
יורדים ליחידה קטנה יותר — כופלים, לא מחלקים
טעות בכיוון: 0.036 ס״מ הם פחות ממילימטר אחד, ואילו 3.6 מטר הם בערך גובה של חדר. יחידה קטנה יותר נותנת מספר גדול יותר.