Compound interest and exponential growth · Growth and decay · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

« עולה ב-10 כל שנה » ו« עולה ב-10 אחוז כל שנה » נשמעים דומה. בשנה הראשונה הם אפילו נותנים אותו מספר. אחר כך הם נפרדים לגמרי.

הנוסחה

P_n = P_0 \cdot (1 + r)^n

P_0

הסכום ההתחלתי.

r

שיעור הגדילה כשבר — $10\%$ הם $0.1$ .

n

מספר התקופות.

האחוז נכתב כשבר. $5\%$ הם $0.05$ , ולכן המכפיל הוא $1.05$ — לא $1.5$ ולא $5$ . זו הטעות שהופכת תשובה סבירה לתשובה מגוחכת.

פיקדון בבנק

1000 ש״ח בריבית שנתית $5\%$ . כמה יהיה אחרי 3 שנים?

P_3 = 1000 \cdot 1.05^3

מציבים

1.05^3 \approx 1.157625

\approx 1157.63

ש״ח

בריבית פשוטה היה מתקבל $1150$ . ההפרש של $7.63$ נראה זניח — אבל אחרי עשר שנים הוא כבר $128.89$ , ואחרי עשרים הוא גדול מהקרן המקורית.

למה $1.05^3$ ולא $1000 \cdot 0.05 \cdot 3$ ?

Show the answer and the solution

כי בשנה השנייה האחוז נלקח מ- $1050$ , לא מ- $1000$ . הריבית עצמה מתחילה לשאת ריבית — וזה בדיוק מה ש«דריבית» אומר.

מתי מכפילים את הכסף

שאלה נפוצה: אחרי כמה שנים הסכום מוכפל? פותרים $\left(1+r\right)^n = 2$ , ובחמש יחידות עושים זאת בלוגריתם.

1.05^n = 2

התנאי — הסכום כפול מהמקורי.

n = \frac{\log 2}{\log 1.05} \approx 14.2

כלומר בערך ארבע-עשרה שנים ורבע.

אם הריבית $10\%$ במקום $5\%$ — האם הזמן להכפלה נחתך בדיוק לחצי?

Show the answer and the solution

לא. $\frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.3$ שנים, ולא $7.1$ . הקשר אינו יחס ישר — הוא לוגריתמי. זו טעות אינטואיטיבית נפוצה.

שתי הטעויות של הגדילה המעריכית.

P = 1000 \cdot 1.5^3

P = 1000 \cdot 1.05^3

$5\%$ הם $0.05$ , ולכן המכפיל $1.05$ . עם $1.5$ מקבלים גדילה של חמישים אחוז בשנה.

P = P_0 + P_0 r n

P = P_0 (1+r)^n

זו ריבית פשוטה, לא דריבית. היא נכונה רק כשהריבית אינה נצברת — ובבגרות זה נאמר במפורש.

Exercises

Exercise 1

1000 ש״ח בריבית שנתית $5\%$ . כמה יהיה אחרי 3 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 1157.63

Worked solution:

1000 \cdot 1.05^3

\approx 1157.63

בריבית פשוטה היה $1150$ — ההפרש הוא הריבית שנשאה ריבית.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו המכפיל השנתי בגדילה של $8\%$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1.08

Worked solution:

1 + 0.08

האחוז כשבר

= 1.08

לא $8$ ולא $1.8$ . האחוז נכתב כשבר עשרוני.

Check the answer on elev

Exercise 3

2000 ש״ח בריבית $8\%$ לשנה. כמה אחרי 5 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 2938.66

Worked solution:

2000 \cdot 1.08^5

\approx 2938.66

כמעט פי $1.5$ — בחמש שנים בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו המכפיל השנתי בירידה של $15\%$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.85

Worked solution:

1 - 0.15

ירידה — מחסרים

= 0.85

בדעיכה המכפיל קטן מ-1. אותה נוסחה בדיוק, עם מינוס.

Check the answer on elev

Exercise 5

מכונית שווה 20000 ומאבדת $15\%$ מערכה בכל שנה. כמה תהיה שווה אחרי 3 שנים? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 12282.5

Worked solution:

20000 \cdot 0.85^3

= 12282.5

לא $20000 - 3 \cdot 3000 = 11000$ : כל שנה מורידה $15\%$ מערך חדש, קטן יותר.

Check the answer on elev

Exercise 6

אוכלוסייה גדלה ב- $3\%$ בשנה. מהי הנוסחה אחרי $n$ שנים?

$P_0 \cdot 3^n$
$P_0 \cdot 0.03^n$
$P_0 + 0.03n$
$P_0 \cdot 1.03^n$

Show the answer and the solution

Answer: D $P_0 \cdot 1.03^n$

Worked solution:

P_0(1+r)^n

r = 0.03

התשובה השנייה היא גדילה קווית — היא מתעלמת מכך שהאחוז נלקח מסכום גדל.

Check the answer on elev

Exercise 7

100 ש״ח בגדילה של $10\%$ בשנה. כמה אחרי שנה אחת?

Show the answer and the solution

Answer: 110

Worked solution:

100 \cdot 1.1 = 110

בשנה הראשונה זה בדיוק כמו להוסיף 10. ההבדל מתחיל בשנה השנייה.

Check the answer on elev

Exercise 8

100 ש״ח בגדילה של $10\%$ בשנה. כמה אחרי שנתיים? (שתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 121

Worked solution:

100 \cdot 1.1^2 = 121

בגדילה קווית היה $120$ . השקל הנוסף הוא הריבית על הריבית — וממנו הכול מתחיל.

Check the answer on elev

Exercise 9

מה ההבדל בין ריבית פשוטה לריבית דריבית?

בדריבית האחוז נלקח מסכום שכבר גדל
פשוטה מתאימה רק לסכומים קטנים
אין הבדל אחרי שנה
בדריבית האחוז גבוה יותר

Show the answer and the solution

Answer: A בדריבית האחוז נלקח מסכום שכבר גדל

Worked solution:

P_0(1+r)^n \ \text{מול} \ P_0(1+rn)

« אין הבדל אחרי שנה » נכון רק לשנה הראשונה — וזו בדיוק המלכודת.

Check the answer on elev

Exercise 10

חומר רדיואקטיבי, 80 גרם, זמן מחצית חיים 6 שעות. כמה נשאר אחרי 18 שעות?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

18 : 6 = 3

שלוש מחציות חיים

80 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3

= 10

גרם

סופרים כמה מחציות עברו, ולא כמה שעות. שלוש מחציות — חלקי שמונה.

Check the answer on elev

Exercise 11

אחרי כמה שנים יוכפל סכום בריבית $5\%$ ? (עגלו לשתי ספרות)

Show the answer and the solution

Answer: 14.21

Worked solution:

1.05^n = 2

התנאי

n = \frac{\log 2}{\log 1.05}

לוגריתם משני האגפים

\approx 14.21

שנים

בערך ארבע-עשרה שנה ורבע — בלי תלות בסכום ההתחלתי.

Check the answer on elev

Exercise 12

סכום $P_0$ גדל ב- $r$ בכל תקופה. הוכיחו: אחרי $n$ תקופות הסכום הוא $P_0(1+r)^n$ .

בכל תקופה הסכום גדל בשיעור $r$ מערכו הנוכחי
הסכום ההתחלתי הוא $P_0$

$P_n = P_0(1+r)^n$

Show the answer and the solution

$P_1 = P_0 + P_0 r$ — מוסיפים $r$ מהסכום הנוכחי $P_0$
$P_1 = P_0(1+r)$ — הוצאת $P_0$ כגורם משותף
$P_2 = P_1(1+r)$ — אותו כלל, הפעם על $P_1$
$P_2 = P_0(1+r)^2$ — הצבת $P_1$
כל תקופה מכפילה ב- $(1+r)$ בדיוק — הכלל זהה בכל שלב, ואינו תלוי בסכום
$P_n = P_0(1+r)^n$ — $n$ תקופות, כל אחת מכפילה ב- $(1+r)$

Check the answer on elev

הנוסחה

מתי מכפילים את הכסף

Exercises

Keep practising on elev