חדר כושר מציע שתי אפשרויות. הצעה א: ש״ח לכל אימון, בלי מנוי. הצעה ב: מנוי של ש״ח לחודש, ועוד ש״ח לכל אימון. איזו זולה יותר? התשובה תלויה במספר האימונים. הסתכלו על הגרף.
- הצעה א: 30 ש״ח לאימון
- הצעה ב: מנוי 120 ועוד 15 לאימון
לפי הגרף: איזו הצעה זולה יותר למי שמתאמן פעמים בחודש? ולמי שמתאמן פעמים?
Show the answer and the solution
אימונים: א עולה ו-ב עולה , ולכן א זולה יותר. אימונים: א עולה ו-ב עולה , ולכן ב זולה יותר. ההצעה הזולה מתחלפת בנקודת החיתוך.
נקודת השוויון — בחישוב
כותבים ביטוי לכל הצעה, עם אותו .
משווים את שני הביטויים ופותרים. מקבלים את של נקודת השוויון.
מציבים את באחד הביטויים. מקבלים את המחיר המשותף.
כותבים משפט מסקנה במילים.
חדר הכושר
באיזה מספר אימונים המחיר של שתי ההצעות שווה, ומהו המחיר?
הביטויים
משווים
מעבירים את 15x לאגף שמאל
בדיקה בהצעה ב: 120 + 15·8 = 240 ✓
מסקנה: ב-8 אימונים שתי ההצעות עולות 240 ש״ח; ביותר מ-8 אימונים בחודש, הצעה ב משתלמת יותר
מה קורה כששני השיפועים שווים? מה זה אומר על שתי הצעות מחיר?
Show the answer and the solution
הישרים מקבילים, ואין נקודת חיתוך. בשתי ההצעות אותו מחיר ליחידה, ולכן ההצעה עם התשלום הקבוע הקטן תמיד זולה יותר, בכל כמות.
«מאיזה מספר משתלם?»
לפני נקודת השוויון משתלמת ההצעה עם התשלום הקבוע הקטן. אחרי הנקודה משתלמת ההצעה עם המחיר ליחידה הקטן, כלומר השיפוע הקטן. ובבגרות הוא בדרך כלל מספר שלם: אימונים, דקות שלמות, שעות חניה.
חניון א גובה ש״ח לשעה. חניון ב גובה ש״ח בכניסה, ועוד ש״ח לשעה. מאיזה מספר שעות שלמות חניון ב זול יותר?
Show the answer and the solution
נותן . חניון ב זול יותר כאשר , ולכן מ- שעות. בדיקה: ב- שעות א עולה ו-ב ; ב- שעות א ו-ב ✓
התשובה בבגרות היא משפט, לא רק מספר: «כאשר מתאמנים יותר מ- פעמים בחודש, הצעה ב משתלמת יותר». המשפט אומר מי, מתי, וגם למה.
שלוש הטעויות של «מתי משתלם».
עיגול כלפי מטה מחזיר אותנו לצד הלא נכון של נקודת השוויון. ב- שעות חניון ב עוד יקר יותר.
בנקודה המחיר שווה, ואף הצעה לא זולה יותר.
השאלה «באיזה מספר אימונים» מבקשת את . הוא המחיר, ערך של .
Exercises
Exercise 1
השכרת קורקינט חשמלי. חברה א: ש״ח לפתיחה, ועוד ש״ח לכל דקה. חברה ב: בלי פתיחה, ש״ח לכל דקה. השלימו.
המחיר שווה אחרי ____ דקות , והמחיר אז: ____ ש״ח
Show the answer and the solution
Answer: המחיר שווה אחרי 10 דקות , והמחיר אז: 15 ש״ח
Worked solution:
משווים
פותרים
המחיר
אחרי דקות שתי החברות גובות ש״ח. בנסיעה ארוכה יותר חברה א זולה יותר, כי המחיר שלה לדקה קטן יותר.
Exercise 2
גן אירועים א גובה ש״ח על האולם, ועוד ש״ח לכל אורח. גן ב גובה ש״ח, ועוד ש״ח לכל אורח. לאירוע יוזמנו אורחים. איזה גן זול יותר?
Show the answer and the solution
Answer: C גן א, ב- ש״ח
Worked solution:
גן א
גן ב
ההפרש
הנכונה: גן א, ב- ש״ח. גן ב זול יותר רק עד אורחים. «ב-» משווה רק את דמי האולם.
Exercise 3
באותם שני גני אירועים ( ו-): באיזה מספר אורחים המחיר שווה?
Show the answer and the solution
Answer: 60
Worked solution:
משווים
פותרים
בדיקה
ב- אורחים שני הגנים עולים ש״ח. יותר מ- אורחים: גן א משתלם, כי המחיר שלו לאורח נמוך יותר.
Exercise 4
חבילת סלולר א: ש״ח לחודש, דקות ללא הגבלה. חבילה ב: ש״ח לחודש, ועוד ש״ח לכל דקה. טענה: למי שמדבר דקות בחודש, חבילה ב משתלמת יותר.
Show the answer and the solution
Answer: True
Worked solution:
חבילה ב
משווים לחבילה א
נקודת השוויון
הטענה נכונה: . חבילה ב משתלמת עד דקות בחודש. ביותר מ- דקות, חבילה א משתלמת.
Exercise 5
חניון א גובה ש״ח לשעה. חניון ב גובה ש״ח בכניסה, ועוד ש״ח לשעה. מאיזה מספר שעות שלמות חניון ב זול יותר?
Show the answer and the solution
Answer: 7
Worked solution:
נקודת השוויון
ב-6 שעות המחיר שווה
ב-7 שעות חניון ב זול יותר
חניון ב זול יותר מ- שעות. מי שענה לא שם לב שב- שעות המחיר שווה, ו«זול יותר» פירושו .
Exercise 6
ספרייה א: מנוי של ש״ח, ועוד ש״ח לכל ספר. ספרייה ב: מנוי של ש״ח, ועוד ש״ח לכל ספר. באיזה מספר ספרים המחיר שווה?
Show the answer and the solution
Answer: C אף פעם: ספרייה ב זולה ב- ש״ח בכל כמות
Worked solution:
משווים
ה-x מתבטל ונשארת טענה שקרית
הנכונה: אף פעם. אותו מחיר לספר, כלומר ישרים מקבילים. ההפרש נשאר ש״ח בכל כמות.
Exercise 7
חברת הובלות א גובה ש״ח ועוד ש״ח לק״מ. חברה ב גובה ש״ח ועוד ש״ח לק״מ. מיינו את המרחקים לפי החברה הזולה יותר.
Show the answer and the solution
Answer: 40 ק״מ — חברה א זולה יותר · 50 ק״מ — חברה א זולה יותר · 35 ק״מ — חברה א זולה יותר · 20 ק״מ — חברה ב זולה יותר · 10 ק״מ — חברה ב זולה יותר · 25 ק״מ — חברה ב זולה יותר
Worked solution:
נקודת השוויון
מתחת ל-30 ק״מ חברה ב זולה
מעל 30 ק״מ חברה א זולה
מוצאים פעם אחת את נקודת השוויון, ק״מ, ומשם כל מרחק מתמיין לבד. מתחת ל- משתלם התשלום הקבוע הקטן; מעל משתלם המחיר הקטן לק״מ.
Exercise 8
חוג א עולה ש״ח לחודש, בכל מספר שיעורים. בחוג ב משלמים ש״ח דמי רישום, ועוד ש״ח לכל שיעור. באיזה מספר שיעורים בחודש המחיר שווה?
Show the answer and the solution
Answer: 5
Worked solution:
משווים לסכום הקבוע
פותרים
ב- שיעורים בחודש המחיר שווה. חוג א הוא ישר אופקי (): המחיר לא תלוי במספר השיעורים.
Exercise 9
לנועה יש בחיסכון ש״ח, והיא מוציאה ש״ח בכל חודש. לאיתי יש ש״ח, והוא מוסיף ש״ח בכל חודש. אחרי כמה חודשים יהיה לשניהם אותו סכום?
Show the answer and the solution
Answer: 6
Worked solution:
משווים
פותרים
בדיקה
אחרי חודשים לשניהם ש״ח. מי שכתב שכח שהחיסכון של נועה יורד.
Exercise 10
אותם נועה ואיתי ( ו-). למי יהיה יותר כסף אחרי חודשים, ובכמה?
Show the answer and the solution
Answer: D לאיתי, ב- ש״ח
Worked solution:
נועה
איתי
ההפרש
הנכונה: לאיתי, ב- ש״ח. אחרי נקודת השוויון (חודש ) הסדר מתהפך: בכל חודש ההפרש גדל ב- ש״ח.