Reading the graphs · Linear and exponential models · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלת הבגרות מופיעים לפעמים שלושה ישרים, שלושה ביטויים ושלוש הצעות, וצריך להתאים ביניהם. לא צריך לחשב הרבה. הסתכלו על השרטוט: במה שלושת הישרים שונים?

שלושה ישרים: איפה מתחילים וכמה תלולים

ישר II מתחיל הכי גבוה על ציר ה-

y

, אבל הוא הכי מתון. ישר III יוצא מהראשית והוא הכי תלול. ישר I באמצע בשני הדברים.

איזה ישר מתאים להצעה בלי תשלום קבוע? ואיזה ישר מתאים למחיר הגבוה ביותר ליחידה?

Show the answer and the solution

שתי התשובות: ישר III. הוא יוצא מ- $(0,\,0)$ , כלומר $b=0$ , והוא התלול ביותר, כלומר $m$ הגדול ביותר.

שני סימנים מספיקים

b

נקודת ההתחלה על ציר ה- $y$ . הישר שמתחיל הכי גבוה הוא ההצעה עם התשלום הקבוע הגדול ביותר.

m

התלילות. הישר התלול ביותר הוא ההצעה עם המחיר הגבוה ביותר ליחידה.

b = 0

הישר יוצא מראשית הצירים: משלמים רק לפי הכמות.

שלוש הצעות לקייטרינג

הצעה I
הצעה II
הצעה III

שלושה ישרים, שלוש נקודות התחלה על ציר ה-

y

0

300

ו-

900

. הישר שיוצא מהראשית הוא ההצעה בלי תשלום קבוע, והוא גם התלול ביותר.

לאיזו הצעה מתאים כל ביטוי: $y=60x$ , $y=300+40x$ , $y=900+20x$ ?

Show the answer and the solution

$y=60x$ יוצא מהראשית: הצעה I. $y=900+20x$ מתחיל הכי גבוה והוא הכי מתון: הצעה III. ונשאר $y=300+40x$ : הצעה II.

מהמחיר לכמות

כשהמחיר ידוע ומחפשים כמות, מציבים את המחיר במקום $y$ ופותרים את $x$ . כשהשאלה היא «כמה לכל היותר», מעגלים כלפי מטה: אי אפשר לחרוג מהתקציב.

תקציב של 1,700 ש״ח

לוועד יש $1700$ ש״ח. באיזו הצעה של הקייטרינג יקבלו הכי הרבה מנות?

60x = 1700 \ \Rightarrow \ x \approx 28.3

הצעה I: 28 מנות לכל היותר

\begin{aligned}300 + 40x &= 1700 \ \Rightarrow \ x \\ &= 35\end{aligned}

הצעה II: 35 מנות

\begin{aligned}900 + 20x &= 1700 \ \Rightarrow \ x \\ &= 40\end{aligned}

הצעה III: 40 מנות

40 > 35 > 28

מסקנה: בתקציב של 1,700 ש״ח הצעה III נותנת הכי הרבה מנות, 40

סך הכול נתון

סוג נוסף של סעיף: מזמינים אותה כמות בשתי הצעות, ונתון הסכום הכולל. מחברים את שני הביטויים ומשווים לסכום. למשל, הוזמנו אותו מספר מנות מהצעה II ומהצעה III, ובסך הכול שילמו $3000$ ש״ח: $(300+40x)+(900+20x)=3000$ , כלומר $60x=1800$ ו- $x=30$ .

שאלה «כמה מכל סוג?» — כתבו את התשובה במילים: «הוזמנו $30$ מנות מכל הצעה». ובדקו: $1500+1500=3000$ ✓

שלוש הטעויות של קריאת הגרף.

300 + 40 \cdot 1700

300 + 40x = 1700

$1700$ הוא מחיר, ערך של $y$ . מציבים אותו במקום $y$ , לא במקום $x$ .

x \approx 28.3 \ \Rightarrow \ 29

28

$29$ מנות עולות $1740$ ש״ח, יותר מהתקציב. «לכל היותר» מעגלים כלפי מטה.

m = 900

b = 900

הנקודה שבה הישר פוגש את ציר ה- $y$ היא התשלום הקבוע, לא המחיר ליחידה.

Exercises

Exercise 1

שלוש הצעות לבריכה

ישר I
ישר II
ישר III

בבריכה עירונית שלוש הצעות: הצעה א — $25$ ש״ח לכל כניסה. הצעה ב — מנוי $100$ ש״ח, ועוד $15$ ש״ח לכניסה. הצעה ג — מנוי $250$ ש״ח, ועוד $5$ ש״ח לכניסה. בגרף שלושת הישרים. איזה ישר מתאר את הצעה ג?

ישר II
ישר I
אי אפשר לדעת בלי חישוב
ישר III

Show the answer and the solution

Answer: B ישר I

Worked solution:

b = 250

הצעה ג מתחילה הכי גבוה

m = 5

והיא הכי מתונה

הנכונה: ישר I, שמתחיל ב- $250$ והוא הכי מתון. ישר II יוצא מהראשית: זו הצעה א. ישר III מתחיל ב- $100$ : הצעה ב.

Check the answer on elev

Exercise 2

שלוש הצעות לבריכה

ישר I
ישר II
ישר III

בבריכה עירונית שלוש הצעות: הצעה א — $25$ ש״ח לכל כניסה. הצעה ב — מנוי $100$ ש״ח, ועוד $15$ ש״ח לכניסה. הצעה ג — מנוי $250$ ש״ח, ועוד $5$ ש״ח לכניסה. בגרף שלושת הישרים. באיזה מספר כניסות המחיר של הצעה א ושל הצעה ב שווה?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

25x = 100 + 15x

משווים

\begin{aligned}10x &= 100 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

25 \cdot 10 = 250

המחיר המשותף

ב- $10$ כניסות שתי ההצעות עולות $250$ ש״ח. בגרף: נקודת החיתוך של ישר II וישר III.

Check the answer on elev

Exercise 3

שלוש הצעות לבריכה

ישר I
ישר II
ישר III

בבריכה עירונית שלוש הצעות: הצעה א — $25$ ש״ח לכל כניסה. הצעה ב — מנוי $100$ ש״ח, ועוד $15$ ש״ח לכניסה. הצעה ג — מנוי $250$ ש״ח, ועוד $5$ ש״ח לכניסה. בגרף שלושת הישרים. מהי ההצעה הזולה ביותר ל- $20$ כניסות?

הצעה א
הצעה ג
הצעה ב
הצעות ב ו-ג עולות אותו דבר

Show the answer and the solution

Answer: B הצעה ג

Worked solution:

25 \cdot 20 = 500

הצעה א

100 + 15 \cdot 20 = 400

הצעה ב

250 + 5 \cdot 20 = 350

הצעה ג

הנכונה: הצעה ג, $350$ ש״ח. בכמות גדולה משתלם המחיר הקטן ליחידה, למרות המנוי היקר.

Check the answer on elev

Exercise 4

שלוש הצעות לבריכה

ישר I
ישר II
ישר III

בבריכה עירונית שלוש הצעות: הצעה א — $25$ ש״ח לכל כניסה. הצעה ב — מנוי $100$ ש״ח, ועוד $15$ ש״ח לכניסה. הצעה ג — מנוי $250$ ש״ח, ועוד $5$ ש״ח לכניסה. בגרף שלושת הישרים. לתמר יש $300$ ש״ח, והיא בוחרת בהצעה ב. כמה כניסות לכל היותר היא יכולה לקנות?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

100 + 15x = 300

המחיר נתון

15x = 200 \ \Rightarrow \ x \approx 13.3

פותרים

100 + 15 \cdot 13 = 295 \leq 300

13 כניסות בתקציב; 14 עולות 310

$13$ כניסות לכל היותר. $14$ כניסות עולות $310$ ש״ח, יותר מהתקציב. «לכל היותר» מעגלים כלפי מטה.

Check the answer on elev

Exercise 5

התאימו לכל ביטוי את ההצעה שהוא מתאר ( $x$ — מספר היחידות, $y$ — המחיר).

$y = 45x$
$y = 45 + 10x$
$y = 10 + 45x$
$y = 450 - 10x$

בלי תשלום קבוע, 45 ש״ח ליחידה
מתחיל ב-450 ויורד ב-10 בכל יחידה
תשלום קבוע של 10 ש״ח, ועוד 45 ש״ח ליחידה
תשלום קבוע של 45 ש״ח, ועוד 10 ש״ח ליחידה

Show the answer and the solution

Answer: $y = 45x$ — בלי תשלום קבוע, 45 ש״ח ליחידה · $y = 45 + 10x$ — תשלום קבוע של 45 ש״ח, ועוד 10 ש״ח ליחידה · $y = 10 + 45x$ — תשלום קבוע של 10 ש״ח, ועוד 45 ש״ח ליחידה · $y = 450 - 10x$ — מתחיל ב-450 ויורד ב-10 בכל יחידה

Worked solution:

y = mx + b

b — התשלום הקבוע, m — המחיר ליחידה

$45+10x$ ו- $10+45x$ נראים דומים, אבל ההצעות הפוכות. המספר שכופל את $x$ הוא המחיר ליחידה.

Check the answer on elev

Exercise 6

שלוש הצעות לבריכה

ישר I
ישר II
ישר III

בבריכה עירונית שלוש הצעות: הצעה א — $25$ ש״ח לכל כניסה. הצעה ב — מנוי $100$ ש״ח, ועוד $15$ ש״ח לכניסה. הצעה ג — מנוי $250$ ש״ח, ועוד $5$ ש״ח לכניסה. בגרף שלושת הישרים. טענה: בכל מספר כניסות גדול מ- $15$ , הצעה ג היא הזולה ביותר מבין שלוש ההצעות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}100 + 15x &= 250 + 5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

ב ו-ג נפגשות ב-15

\begin{aligned}25x &= 250 + 5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 12.5\end{aligned}

א ו-ג נפגשות ב-12.5

x > 15

אחרי שתי הנקודות ישר I הנמוך ביותר, כי הוא הכי מתון

הטענה נכונה. אחרי שהישר המתון ביותר עבר את שני האחרים, הוא נשאר מתחתיהם. בגרף: מימין ל- $x=15$ ישר I הוא הנמוך.

Check the answer on elev

Exercise 7

מסעדה הזמינה מנות משני ספקים. ספק א גובה $200$ ש״ח על המשלוח, ועוד $30$ ש״ח למנה. ספק ב גובה $100$ ש״ח על המשלוח, ועוד $35$ ש״ח למנה. מכל ספק הוזמן אותו מספר מנות, והחשבון הכולל היה $3550$ ש״ח. כמה מנות הוזמנו מכל ספק?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

(200 + 30x) + (100 + 35x) = 3550

מחברים את שני החשבונות

300 + 65x = 3550

מכנסים

\begin{aligned}65x &= 3250 \ \Rightarrow \ x \\ &= 50\end{aligned}

פותרים

1700 + 1850 = 3550

בדיקה

הוזמנו $50$ מנות מכל ספק. מי ששכח את אחד המשלוחים קיבל מספר לא שלם: סימן לבדוק שוב.

Check the answer on elev

Exercise 8

השכרת סירה

בגרף: מחיר השכרה של סירה ( $y$ , בש״ח) לפי מספר השעות ( $x$ ). השלימו את המשוואה $y = mx + b$ .

$m=$ ____ , $b=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $m=$ 15 , $b=$ 80

Worked solution:

b = 80

הישר פוגש את ציר ה-y ב-80

\begin{aligned}m &= \frac{230 - 80}{10 - 0} \\ &= 15\end{aligned}

קצב השינוי

$y=15x+80$ : $80$ ש״ח קבועים, ועוד $15$ ש״ח לשעה. מי שכתב $m=23$ חילק $230$ ב- $10$ ושכח את הערך ההתחלתי.

Check the answer on elev

Exercise 9

סדרו את שלבי הפתרון של שאלה «מתי שתי ההצעות עולות אותו דבר?».

כותבים ביטוי לכל הצעה
כותבים משפט מסקנה במילים
מציבים את $x$ כדי למצוא את המחיר
משווים את שני הביטויים
פותרים ומוצאים את $x$

Show the answer and the solution

Answer: כותבים ביטוי לכל הצעה · משווים את שני הביטויים · פותרים ומוצאים את $x$ · מציבים את $x$ כדי למצוא את המחיר · כותבים משפט מסקנה במילים

Worked solution:

30x = 120 + 15x

משווים

\begin{aligned}x &= 8 \\ \ y &= 240\end{aligned}

פותרים ומציבים

המשפט בסוף אינו קישוט: בבגרות הוא חלק מהתשובה, והוא עונה על השאלה שנשאלה, במילים של הסיפור.

Check the answer on elev

Exercise 10

הסכום בחיסכון של רון אחרי $x$ חודשים הוא $y = 2400 - 150x$ (בש״ח). אחרי כמה חודשים יישארו לו $900$ ש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2400 - 150x = 900

מציבים במקום y

\begin{aligned}150x &= 1500 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

אחרי $10$ חודשים. בדיקה: $2400-1500=900$ ✓. $900$ הוא ערך של $y$ , ולכן מציבים אותו במקום $y$ .

Check the answer on elev

שני סימנים מספיקים

מהמחיר לכמות

סך הכול נתון

Exercises

Keep practising on elev