Linear or exponential

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשנת המדידה הראשונה גרו 1000010000 תושבים בכל אחת משתי ערים. עיר א גדלה ב-600600 תושבים בכל שנה. עיר ב גדלה ב-5%5\% בכל שנה. הסתכלו על הגרף: איזה קו ישר, ואיזה מתעקל?

שתי ערים, שתי דרכים לגדול
02468101214100001200014000160001800020000שניםתושבים
  • עיר א: ועוד 600 בכל שנה
  • עיר ב: ועוד 5% בכל שנה
בשנים הראשונות הקו של עיר א מעל: 600600 תושבים בשנה הם יותר מ-5%5\% של 1000010000. אבל הקו של עיר ב מתעקל כלפי מעלה, ובסוף עוקף.

איזו עיר גדלה יותר בשנה הראשונה? ואיזו גדלה יותר בשנה ה-1212?

Show the answer and the solution

בשנה הראשונה עיר א: 600600 מול 500500 (5%5\% מ-1000010000). בשנה ה-1212 עיר ב: היא מוסיפה 5%5\% מכ-1710017100 תושבים, כלומר כ-855855. התוספת של המודל הקווי קבועה; התוספת של המודל המעריכי גדלה.

שני המודלים בנוסחה

y=b+m⋅ty = b + m \cdot t

קווי: מוסיפים את אותו סכום mm בכל תקופה. ההפרש בין ערכים סמוכים קבוע.

At=A0⋅qtA_t = A_0 \cdot q^t

מעריכי: כופלים באותו מספר qq בכל תקופה. היחס בין ערכים סמוכים קבוע.

q=100+p100q = \frac{100 + p}{100}

גדילה של p%p\%. למשל 5%5\%: q=1.05q=1.05.

q=100−p100q = \frac{100 - p}{100}

דעיכה של p%p\%. למשל 15%15\%: q=0.85q=0.85.

איך מזהים מתוך טבלה

שני מודלים, אותה התחלה
t0123
מודל א800840880920
מודל ב800840882926.1

במודל א ההפרשים קבועים: +40+40, +40+40, +40+40. זה מודל קווי עם m=40m=40. במודל ב ההפרשים גדלים (4040, 4242, 44.144.1), אבל היחס קבוע: 840800=882840=1.05\frac{840}{800}=\frac{882}{840}=1.05. זה מודל מעריכי עם q=1.05q=1.05.

מה יהיה הערך של כל מודל ב-t=4t=4?

Show the answer and the solution

מודל א: 920+40=960920+40=960. מודל ב: 926.1⋅1.05≈972.41926.1 \cdot 1.05 \approx 972.41. בהתחלה הם צמודים, ואחרי ארבע תקופות המעריכי כבר מוביל.

לפי המחוון: באיזו שנה הכתום מוביל לראשונה? ובכמה?

Show the answer and the solution

בשנה 22: הכחול 120120, הכתום 100⋅1.12=121100 \cdot 1.1^2=121. בשנה 11 שניהם 110110. כששני המודלים מתחילים באותו מקום ו-mm שווה לאחוז של ההתחלה, המעריכי עוקף מיד.

מתי עיר ב עוקפת?

באיזו שנה לראשונה יהיו בעיר ב יותר תושבים מאשר בעיר א? בשלוש יחידות פותרים בטבלה: מציבים שנים ברצף.

A=10000+600tB=10000⋅1.05t\begin{aligned}A &= 10000 + 600t \qquad B \\ &= 10000 \cdot 1.05^t\end{aligned}

שני הביטויים

t=8: 14800 vs 14774.6t = 8: \ 14800 \ \text{vs} \ 14774.6

עיר א עדיין גדולה יותר

t=9: 15400 vs 15513.3t = 9: \ 15400 \ \text{vs} \ 15513.3

עיר ב גדולה יותר

t=9t = 9

מסקנה: בשנה התשיעית עיר ב עוקפת את עיר א לראשונה

בטבלת ניסוי וטעייה כותבים שתי שורות: השנה שבה עוד לא עקף, והשנה שבה עקף. שתיהן יחד הן ההוכחה שזו השנה הראשונה.

שלוש הטעויות של קווי מול מעריכי.

q=1.5q = 1.5
q=1.05q = 1.05

5%5\% הם 5100=0.05\frac{5}{100}=0.05. עם q=1.5q=1.5 מקבלים גדילה של 50%50\% בכל שנה.

10000+500t10000 + 500t
10000⋅1.05t10000 \cdot 1.05^t

5%5\% מ-1000010000 הם 500500 רק בשנה הראשונה. בשנה השנייה האחוז נלקח מסכום שכבר גדל.

q=0.15q = 0.15
q=0.85q = 0.85

ירידה של 15%15\% משאירה 85%85\%. עם q=0.15q=0.15 הערך נופל ל-15%15\% ממנו בשנה אחת.

Exercises

Exercise 1

מיינו: מודל קווי או מודל מעריכי?

  • קווי
  • מעריכי
  • 50, 60, 70, 8050, \ 60, \ 70, \ 80
  • 50, 60, 72, 86.450, \ 60, \ 72, \ 86.4
  • חיידקים שמספרם מוכפל בכל שעה
  • מחיר כרטיס שעולה ב-3 ש״ח בכל שנה
  • מיכל שמתרוקן 4 ליטר בכל דקה
  • ערך רכב שיורד ב-12% בכל שנה
Show the answer and the solution

Answer: מחיר כרטיס שעולה ב-3 ש״ח בכל שנה — קווי · 50, 60, 70, 8050, \ 60, \ 70, \ 80 — קווי · מיכל שמתרוקן 4 ליטר בכל דקה — קווי · ערך רכב שיורד ב-12% בכל שנה — מעריכי · 50, 60, 72, 86.450, \ 60, \ 72, \ 86.4 — מעריכי · חיידקים שמספרם מוכפל בכל שעה — מעריכי

Worked solution:

60−50=70−60=10\begin{aligned}60 - 50 &= 70 - 60 \\ &= 10\end{aligned}

הפרש קבוע: קווי

6050=7260=1.2\begin{aligned}\frac{60}{50} &= \frac{72}{60} \\ &= 1.2\end{aligned}

יחס קבוע: מעריכי

שתי הסדרות מתחילות ב-50,6050, 60. רק הצעד השלישי מכריע: 7070 הוא הוספה של 1010, 7272 הוא כפל ב-1.21.2.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמות גדלה לפי הטבלה: 500500, 550550, 605605, 665.5665.5. בכמה אחוזים היא גדלה בכל תקופה?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

550500=605550=1.1\begin{aligned}\frac{550}{500} &= \frac{605}{550} \\ &= 1.1\end{aligned}

היחס קבוע

q=1.1 ⇒ p=10\begin{aligned}q &= 1.1 \ \Rightarrow \ p \\ &= 10\end{aligned}

q = 1 + p/100

הכמות גדלה ב-10%10\% בכל תקופה. ההפרשים (5050, 5555, 60.560.5) אינם קבועים, ולכן זה לא מודל קווי.

Check the answer on elev

Exercise 3

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא 80008000 ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב-400400 ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב-4%4\% בכל שנה. מה יהיה השכר לפי תוכנית ב אחרי 33 שנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 8998.91

Worked solution:

8000⋅1.0438000 \cdot 1.04^3

q = 1.04, שלוש שנים

=8000⋅1.124864=8998.912= 8000 \cdot 1.124864 = 8998.912

חישוב

השכר יהיה 8998.918998.91 ש״ח. תוכנית א נותנת באותה שנה 92009200: בשנים הראשונות המודל הקווי מוביל.

Check the answer on elev

Exercise 4

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא 80008000 ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב-400400 ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב-4%4\% בכל שנה. איזה ביטוי מתאר את השכר yy לפי תוכנית ב אחרי tt שנים?

  1. y=8000⋅1.04ty = 8000 \cdot 1.04^t
  2. y=8000+1.04ty = 8000 + 1.04t
  3. y=8000⋅0.04ty = 8000 \cdot 0.04^t
  4. y=8000⋅1.4ty = 8000 \cdot 1.4^t
Show the answer and the solution

Answer: A y=8000⋅1.04ty = 8000 \cdot 1.04^t

Worked solution:

q=100+4100=1.04\begin{aligned}q &= \frac{100 + 4}{100} \\ &= 1.04\end{aligned}

גדילה של 4%

y=8000⋅1.04ty = 8000 \cdot 1.04^t

מודל מעריכי

הנכונה: 8000⋅1.04t8000 \cdot 1.04^t. 1.41.4 הוא 40%40\%. 0.04t0.04^t מכווץ את השכר כמעט לאפס. ו-8000+1.04t8000+1.04t מוסיף פחות משקל בשנה.

Check the answer on elev

Exercise 5

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא 80008000 ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב-400400 ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב-4%4\% בכל שנה. מאיזו שנה (tt שלם) השכר לפי תוכנית ב גבוה יותר מהשכר לפי תוכנית א?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

t=11: 12400 vs 12315.6t = 11: \ 12400 \ \text{vs} \ 12315.6

תוכנית א עדיין גבוהה יותר

t=12: 12800 vs 12808.3t = 12: \ 12800 \ \text{vs} \ 12808.3

תוכנית ב גבוהה יותר

משנה 1212. ההפרש ב-t=12t=12 קטן מאוד (כ-88 ש״ח), ולכן חייבים לחשב בדיוק ולא «בערך». שתי שורות בטבלה מוכיחות שזו השנה הראשונה.

Check the answer on elev

Exercise 6

לעובדת מציעים שתי תוכניות שכר. בשתיהן השכר החודשי היום הוא 80008000 ש״ח. תוכנית א: השכר עולה ב-400400 ש״ח בכל שנה. תוכנית ב: השכר עולה ב-4%4\% בכל שנה. טענה: אחרי שנה אחת השכר לפי תוכנית א גבוה יותר.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

8000+400=84008000 + 400 = 8400

תוכנית א

8000⋅1.04=83208000 \cdot 1.04 = 8320

תוכנית ב

הטענה נכונה: 8400>83208400>8320. 4%4\% מ-80008000 הם 320320 בלבד, פחות מ-400400. היתרון של המודל המעריכי מגיע רק אחרי שנים.

Check the answer on elev

Exercise 7

מכונית חדשה עולה 6000060000 ש״ח. לפי מודל א ערכה יורד ב-60006000 ש״ח בכל שנה. לפי מודל ב ערכה יורד ב-15%15\% בכל שנה. לפי מודל ב, כמה תהיה שווה המכונית אחרי 22 שנים (בש״ח)?

Show the answer and the solution

Answer: 43350

Worked solution:

q=100−15100=0.85\begin{aligned}q &= \frac{100 - 15}{100} \\ &= 0.85\end{aligned}

ירידה של 15%

60000⋅0.852=4335060000 \cdot 0.85^2 = 43350

שתי שנים

המכונית תהיה שווה 4335043350 ש״ח. מי שחישב 60000−2⋅9000=4200060000-2 \cdot 9000=42000 הוריד 15%15\% מהמחיר המקורי פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מכונית חדשה עולה 6000060000 ש״ח. לפי מודל א ערכה יורד ב-60006000 ש״ח בכל שנה. לפי מודל ב ערכה יורד ב-15%15\% בכל שנה. לפי מודל א, אחרי כמה שנים ערך המכונית יהיה 00?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

60000−6000t=060000 - 6000t = 0

משווים לאפס

t=10t = 10

פותרים

לפי מודל א, אחרי 1010 שנים המכונית שווה 00. מודל קווי יורד מגיע לאפס; לכן הוא מתאים רק לתקופה מוגבלת.

Check the answer on elev

Exercise 9

מכונית חדשה עולה 6000060000 ש״ח. לפי מודל א ערכה יורד ב-60006000 ש״ח בכל שנה. לפי מודל ב ערכה יורד ב-15%15\% בכל שנה. טענה: לפי מודל ב, ערך המכונית לעולם לא יגיע ל-00.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

60000⋅0.85t>060000 \cdot 0.85^t > 0

כפל של מספרים חיוביים

60000⋅0.8510≈1181260000 \cdot 0.85^{10} \approx 11812

גם אחרי 10 שנים

הטענה נכונה. בכל שנה נשארים 85%85\% ממה שהיה, ו-85%85\% ממספר חיובי הוא חיובי. הערך מתקרב לאפס, אבל לא מגיע אליו.

Check the answer on elev

Exercise 10

קרן השקעות עלתה מ-4000040000 ש״ח ל-4840048400 ש״ח ב-22 שנים, באותו אחוז בכל שנה. מהו אחוז הגדילה השנתי?

  1. 11%11\%
  2. 21%21\%
  3. 4.2%4.2\%
  4. 10%10\%
Show the answer and the solution

Answer: D 10%10\%

Worked solution:

40000⋅q2=4840040000 \cdot q^2 = 48400

מודל מעריכי, שתי שנים

q2=1.21 ⇒ q=1.21=1.1\begin{aligned}q^2 &= 1.21 \ \Rightarrow \ q \\ &= \sqrt{1.21} \\ &= 1.1\end{aligned}

שורש

p=10p = 10

q = 1.1

הנכונה: 10%10\%. 21%21\% היא הגדילה של שתי השנים יחד. אחוזים לא מחלקים ומחברים: 1.1⋅1.1=1.211.1 \cdot 1.1 = 1.21, ולכן הכפל של שנה אחת הוא השורש.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade