Solving together · Linear and exponential models · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלת הפונקציות בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: שתי הצעות ונקודת השוויון, שלושה ישרים והתאמה, מודל קווי מול מודל מעריכי, וכמות שיורדת מול כמות שעולה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובסוף כל סעיף, כתבו את משפט המסקנה: בבגרות הוא חלק מהניקוד.

1 — שתי הצעות ונקודת השוויון

Interactive activity

מתנ״ס מציע שתי אפשרויות לחוג ציור. אפשרות א: $45$ ש״ח לכל שיעור, בלי דמי רישום. אפשרות ב: דמי רישום של $180$ ש״ח, ועוד $25$ ש״ח לכל שיעור. א. כמה עולים $6$ שיעורים בכל אפשרות? ב. כתבו ביטוי למחיר $y$ של $x$ שיעורים בכל אפשרות. ג. באיזה מספר שיעורים המחיר שווה? ד. דנה מתכננת $12$ שיעורים. איזו אפשרות כדאית לה, ובכמה היא חוסכת?

\begin{aligned}y_A &= 45x \qquad y_B \\ &= 180 + 25x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א הוא חימום: הוא בודק שהבנתם את הסיפור לפני שכותבים ביטוי.

א.

\begin{aligned}45 \cdot 6 &= 270 \qquad 180 + 25 \cdot 6 \\ &= 330\end{aligned}

ב-6 שיעורים אפשרות א זולה יותר.

ב.

\begin{aligned}y &= 45x \qquad y \\ &= 180 + 25x\end{aligned}

דמי הרישום הם הערך ההתחלתי; המחיר לשיעור הוא השיפוע.

ג. משווים

\begin{aligned}45x &= 180 + 25x \ \Rightarrow \ 20x \\ &= 180 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודת השוויון.

ג. מחיר

\begin{aligned}45 \cdot 9 &= 405 \\ &= 180 + 25 \cdot 9\end{aligned}

ב-9 שיעורים שתי האפשרויות עולות 405 ש״ח.

ד.

\begin{aligned}45 \cdot 12 &= 540 \qquad 180 + 25 \cdot 12 \\ &= 480\end{aligned}

12 שיעורים: אפשרות ב זולה יותר.

ד. מסקנה

540 - 480 = 60

דנה תבחר באפשרות ב ותחסוך 60 ש״ח.

סעיף ד נפתר גם בלי חישוב: $12>9$ , ואחרי נקודת השוויון משתלמת האפשרות עם המחיר הקטן לשיעור. החישוב נדרש בשביל כמה חוסכים.

Do the activity on elev

בשנה הבאה המחיר לשיעור באפשרות ב יעלה ל- $30$ ש״ח. נקודת השוויון תתקרב או תתרחק?

Show the answer and the solution

תתרחק: $45x=180+30x$ נותן $x=12$ . ההפרש בין המחירים לשיעור קטן, ולכן צריך יותר שיעורים כדי «להחזיר» את דמי הרישום. ב- $12$ שיעורים דנה כבר לא תחסוך.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה. שאלה 5 מוסיפה לה סעיף של סכום כולל.

2 — שלוש הצעות: מתי האמצעית היא הזולה?

Interactive activity

שלוש הצעות להדפסת חוברות

מכון העתקות מציע שלוש הצעות להדפסת $x$ חוברות. I: $y=4x$ . II: $y=60+2x$ . III: $y=150+x$ . לאילו מספרי חוברות הצעה II היא הזולה ביותר?

$30 < x < 90$

$x > 30$

$x < 90$

$30 < x < 150$

מה משווים קודם?

את II עם I, ואחר כך את II עם III

Show the answer and the solution

הצעה II צריכה להיות זולה משתי האחרות: שני תנאים.

את I עם III

Show the answer and the solution

ההשוואה הזאת לא אומרת דבר על הצעה II.

60 + 2x < 4x \ \Rightarrow \ 60 < 2x \ \Rightarrow \ x > 30

II זולה מ-I כשמדפיסים יותר מ-30 חוברות.

ומתי II זולה מ-III?

$60+2x<150+x$ , כלומר $x<90$

Show the answer and the solution

למעלה מ-90 חוברות הצעה III, עם המחיר הקטן לחוברת, זולה יותר.

$60+2x>150+x$ , כלומר $x>90$

Show the answer and the solution

זה התנאי ש-II יקרה מ-III.

60 + 2x < 150 + x \ \Rightarrow \ x < 90

II זולה מ-III עד 90 חוברות.

איך מחברים את שני התנאים?

שניהם יחד: $30<x<90$

Show the answer and the solution

«הזולה ביותר» פירושו זולה מ-I וגם מ-III.

לוקחים רק את $x>30$

Show the answer and the solution

ב-100 חוברות הצעה II עולה 260 והצעה III עולה 250.

30 < x < 90

בדיקה ב-x=50: I עולה 200, II עולה 160, III עולה 200 ✓

Show the answer and the solution

$30<x<90$ . במילים: כשמדפיסים יותר מ- $30$ ופחות מ- $90$ חוברות, הצעה II היא הזולה ביותר. ב- $x=30$ וב- $x=90$ היא שווה לאחת האחרות, ולכן הקצוות לא נכללים.

Do the activity on elev

ואיזו הצעה היא הזולה ביותר ל- $20$ חוברות?

Show the answer and the solution

הצעה I: $80$ ש״ח, מול $100$ ב-II ו- $170$ ב-III. בכמות קטנה משתלמת ההצעה בלי תשלום קבוע.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מודל קווי מול מודל מעריכי

Interactive activity

לשני אתרים יש היום $5000$ מנויים כל אחד. באתר א מספר המנויים עולה ב- $400$ בכל חודש. באתר ב מספר המנויים עולה ב- $6\%$ בכל חודש. א. כמה מנויים יהיו בכל אתר אחרי $3$ חודשים? ב. כתבו ביטוי למספר המנויים בכל אתר אחרי $t$ חודשים. ג. באיזה חודש לראשונה יהיו באתר ב יותר מנויים?

\begin{aligned}y_A &= 5000 + 400t \qquad y_B \\ &= 5000 \cdot 1.06^t\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המודל של כל אתר נקבע במשפט אחד: «עולה ב-400» מוסיף, «עולה ב-6%» כופל.

א. אתר א

5000 + 400 \cdot 3 = 6200

מוסיפים 400 שלוש פעמים.

א. אתר ב

5000 \cdot 1.06^3 \approx 5955

כופלים ב-1.06 שלוש פעמים. מעגלים למספר שלם: מנויים.

ב.

\begin{aligned}y_A &= 5000 + 400t \qquad y_B \\ &= 5000 \cdot 1.06^t\end{aligned}

קווי ומעריכי.

ג. ניסוי

t = 10: \ 9000 \ \text{vs} \ 8954

בחודש 10 אתר א עדיין מוביל.

ג. ניסוי

t = 11: \ 9400 \ \text{vs} \ 9492

בחודש 11 אתר ב מוביל.

ג. מסקנה

t = 11

בחודש ה-11 יהיו לראשונה באתר ב יותר מנויים.

שתי שורות הניסוי, $t=10$ ו- $t=11$ , הן ההוכחה שחודש $11$ הוא הראשון. שורה אחת בלבד לא מספיקה.

Do the activity on elev

$6\%$ מ- $5000$ הם $300$ , פחות מ- $400$ . אז איך אתר ב עוקף בכלל?

Show the answer and the solution

כי ה- $6\%$ נלקחים כל חודש ממספר גדול יותר. אחרי $10$ חודשים הם כבר כ- $537$ מנויים בחודש, יותר מ- $400$ . התוספת של המודל המעריכי גדלה; של הקווי קבועה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — כמות שיורדת מול כמות שעולה

Interactive activity

בקופה א של ועד הכיתה יש $1200$ ש״ח, ובכל שבוע מוציאים ממנה $80$ ש״ח. בקופה ב יש $300$ ש״ח, ובכל שבוע מכניסים אליה $70$ ש״ח. א. כתבו ביטוי לסכום בכל קופה אחרי $x$ שבועות. ב. אחרי כמה שבועות יהיה סכום שווה בשתי הקופות, ומהו? ג. אחרי כמה שבועות תתרוקן קופה א?

\begin{aligned}y_A &= 1200 - 80x \qquad y_B \\ &= 300 + 70x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מוציאים — השיפוע שלילי. מכניסים — חיובי.

א.

\begin{aligned}y_A &= 1200 - 80x \qquad y_B \\ &= 300 + 70x\end{aligned}

קופה א יורדת, קופה ב עולה.

ב. משווים

\begin{aligned}1200 - 80x &= 300 + 70x \ \Rightarrow \ 900 \\ &= 150x \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מעבירים x לאגף אחד ומספרים לשני.

ב. סכום

\begin{aligned}1200 - 80 \cdot 6 &= 720 \\ &= 300 + 70 \cdot 6\end{aligned}

אחרי 6 שבועות בכל קופה 720 ש״ח.

ג.

\begin{aligned}1200 - 80x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

קופה א תתרוקן אחרי 15 שבועות.

בשבוע $6$ הקופות מתחלפות: לפניו בקופה א יותר, אחריו בקופה ב. ההפרש קטן ב- $80+70=150$ ש״ח בכל שבוע, ולכן $900:150=6$ .

Do the activity on elev

כמה כסף יהיה בקופה ב בשבוע שבו קופה א מתרוקנת?

Show the answer and the solution

$1350$ ש״ח: $300+70 \cdot 15=1350$ . אחרי השבוע ה- $15$ הביטוי של קופה א נותן מספר שלילי, ולכן הוא כבר לא מתאר את הקופה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

בבריכה שתי אפשרויות. א: $35$ ש״ח לכל כניסה. ב: מנוי של $150$ ש״ח, ועוד $20$ ש״ח לכל כניסה. השלימו.

המחיר שווה ב-____ כניסות , המחיר אז: ____ ש״ח , ב-15 כניסות אפשרות ב חוסכת ____ ש״ח

Show the answer and the solution

Answer: המחיר שווה ב-10 כניסות , המחיר אז: 350 ש״ח , ב-15 כניסות אפשרות ב חוסכת 75 ש״ח

Worked solution:

\begin{aligned}35x &= 150 + 20x \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

נקודת השוויון

35 \cdot 10 = 350

המחיר

\begin{aligned}35 \cdot 15 &= 525 \qquad 150 + 20 \cdot 15 \\ &= 450\end{aligned}

15 כניסות

525 - 450 = 75

החיסכון

מסקנה: ביותר מ- $10$ כניסות אפשרות ב משתלמת, וב- $15$ כניסות היא חוסכת $75$ ש״ח.

Check the answer on elev

Exercise 2

מדפסת תלת-ממד בספרייה מציעה שלוש הצעות להדפסת $x$ חלקים. I: $y=5x$ . II: $y=40+3x$ . III: $y=100+2x$ . לאילו מספרי חלקים הצעה II היא הזולה ביותר?

$20 < x < 60$
$20 < x < 100$
$x > 20$
$x < 60$

Show the answer and the solution

Answer: A $20 < x < 60$

Worked solution:

40 + 3x < 5x \ \Rightarrow \ x > 20

II זולה מ-I

40 + 3x < 100 + 2x \ \Rightarrow \ x < 60

II זולה מ-III

20 < x < 60

שני התנאים יחד

הנכונה: $20<x<60$ . « $x>20$ » שוכחת את הצעה III: ב- $70$ חלקים II עולה $250$ ו-III עולה $240$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בחנות א יש היום $2000$ מבקרים בחודש, והמספר עולה ב- $200$ בכל חודש. בחנות ב יש היום $2000$ מבקרים בחודש, והמספר עולה ב- $8\%$ בכל חודש. באיזה חודש ( $t$ שלם) לראשונה יהיו בחנות ב יותר מבקרים?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

2000 + 200t \qquad 2000 \cdot 1.08^t

שני המודלים

t = 6: \ 3200 \ \text{vs} \ 3173.7

חנות א עדיין מובילה

t = 7: \ 3400 \ \text{vs} \ 3427.6

חנות ב מובילה

בחודש $7$ . שתי שורות, חודש $6$ וחודש $7$ , מוכיחות שזה החודש הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 4

במיכל א יש $900$ ליטר מים, והוא מתרוקן ב- $30$ ליטר בכל שעה. במיכל ב יש $150$ ליטר, והוא מתמלא ב- $20$ ליטר בכל שעה. השלימו.

הכמות שווה אחרי ____ שעות , בכל מיכל אז: ____ ליטר

Show the answer and the solution

Answer: הכמות שווה אחרי 15 שעות , בכל מיכל אז: 450 ליטר

Worked solution:

900 - 30x = 150 + 20x

משווים

\begin{aligned}750 &= 50x \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

פותרים

900 - 450 = 450

הכמות

אחרי $15$ שעות בכל מיכל $450$ ליטר. מי שכתב $900+30x$ שכח שמיכל א מתרוקן, ולא מצא נקודת שוויון.

Check the answer on elev

Exercise 5

חוג הציור מהשאלה הראשונה: אפשרות א $45x$ , אפשרות ב $180+25x$ . דנה נרשמה לאפשרות א ועמית לאפשרות ב. שתיהן לקחו אותו מספר שיעורים, ויחד שילמו $1160$ ש״ח. כמה שיעורים לקחה כל אחת?

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

45x + (180 + 25x) = 1160

מחברים את שני החשבונות

\begin{aligned}70x &= 980 \ \Rightarrow \ x \\ &= 14\end{aligned}

פותרים

630 + 530 = 1160

בדיקה

כל אחת לקחה $14$ שיעורים. בסעיף של סכום כולל מחברים את הביטויים, לא משווים ביניהם.

Check the answer on elev

1 — שתי הצעות ונקודת השוויון

2 — שלוש הצעות: מתי האמצעית היא הזולה?

3 — מודל קווי מול מודל מעריכי

4 — כמות שיורדת מול כמות שעולה

Exercises

Keep practising on elev