From table to tree

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלו את 200 תלמידי השכבה איך הם מגיעים לבית הספר: 120 באוטובוס ו-80 ברגל. הדיאגרמה מראה את החלוקה באחוזים. אחר כך שאלו מי איחר השבוע: 30 מבין הנוסעים באוטובוס ו-8 מבין ההולכים ברגל.

איך מגיעים לבית הספר (200 תלמידים, באחוזים)
60%40%
  • אוטובוס60%
  • ברגל40%
60% באוטובוס ו-40% ברגל. אלה בדיוק שני הענפים הראשונים של העץ: 0.60.6 ו-0.40.4.

BB: «מגיע באוטובוס». AA: «איחר». Σ\Sigma מסמן סך הכול. אותם נתונים בטבלה דו-ממדית:

AAˉΣB3090120Bˉ87280Σ38162200\begin{array}{c|c|c|c} & A & \bar{A} & \Sigma \\ \hline B & 30 & 90 & 120 \\ \bar{B} & 8 & 72 & 80 \\ \hline \Sigma & 38 & 162 & 200 \end{array}

מה ההסתברות שתלמיד אקראי מגיע באוטובוס וגם איחר? ומה ההסתברות שנוסע אוטובוס איחר?

Show the answer and the solution

«באוטובוס וגם איחר» היא משבצת מתוך כל השכבה: 30200=0.15\frac{30}{200} = 0.15. «נוסע אוטובוס איחר» מסתכלת רק על שורת האוטובוס: 30120=0.25\frac{30}{120} = 0.25. אותו 30, מכנה אחר.

מטבלה לעץ

120200=0.6\frac{120}{200} = 0.6

ענף ראשון: סך השורה חלקי סך הכול

30120=0.25\frac{30}{120} = 0.25

ענף שני: המשבצת חלקי סך השורה שלה

0.6⋅0.25=30200=0.15\begin{aligned}0.6 \cdot 0.25 &= \frac{30}{200} \\ &= 0.15\end{aligned}

קצה: המשבצת חלקי סך הכול — מכפלת הענפים

העץ המלא: מ«אוטובוס» (0.60.6) יוצאים «איחר» 0.250.25 ו«בזמן» 0.750.75. מ«ברגל» (0.40.4) יוצאים «איחר» 880=0.1\frac{8}{80} = 0.1 ו«בזמן» 0.90.9. ההסתברות לאיחור היא סכום שני הקצוות: 0.6⋅0.25+0.4⋅0.1=0.15+0.04=0.190.6 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.1 = 0.15 + 0.04 = 0.19, בדיוק 38200\frac{38}{200} מהטבלה.

האם «מגיע באוטובוס» ו«איחר» הם מאורעות בלתי תלויים? השוו את שני הענפים של «איחר».

Show the answer and the solution

לא. מ«אוטובוס» הענף הוא 0.250.25, ומ«ברגל» הוא 0.10.1. הדרך לבית הספר משנה את הסיכוי לאחר, ולכן המאורעות תלויים. אילו שני הענפים היו שווים, המאורעות היו בלתי תלויים.

מעץ לטבלה

שיעור תגבור

30% מ-200 תלמידי השכבה הגיעו לשיעור תגבור לפני המבחן. מבין אלה שהגיעו, 50% קיבלו ציון מעל 80. מבין אלה שלא הגיעו, 20% קיבלו ציון מעל 80. בנו טבלה ומצאו את ההסתברות שתלמיד אקראי קיבל ציון מעל 80.

200⋅0.3=60200−60=140\begin{aligned}200 \cdot 0.3 &= 60 \\ \quad 200 - 60 &= 140\end{aligned}

השורות: הגיעו ולא הגיעו

60⋅0.5=3060 \cdot 0.5 = 30

הגיעו וגם מעל 80

140⋅0.2=28140 \cdot 0.2 = 28

לא הגיעו וגם מעל 80

30+28200=58200=0.29\begin{aligned}\frac{30 + 28}{200} &= \frac{58}{200} \\ &= 0.29\end{aligned}

העמודה «מעל 80» כולה

0.3⋅0.5+0.7⋅0.2=0.15+0.14=0.29\begin{aligned}0.3 \cdot 0.5 + 0.7 \cdot 0.2 &= 0.15 + 0.14 \\ &= 0.29\end{aligned}

בדיקה בעץ ✓

אחרי שממלאים טבלה, בודקים: כל שורה מסתכמת לסך השורה, וכל עמודה לסך העמודה. טעות בחשבון מתגלה מיד.

המכנה הלא נכון.

30200\frac{30}{200}
30120\frac{30}{120}

על הענף «איחר» שיוצא מ«אוטובוס» רושמים 30120\frac{30}{120}. ענף בקומה השנייה כבר «יודע» מה קרה בקומה הראשונה, ולכן המכנה הוא סך השורה. 30200\frac{30}{200} הוא הקצה, לא הענף.

P(A)=0.25+0.1=0.35\begin{aligned}P(A) &= 0.25 + 0.1 \\ &= 0.35\end{aligned}
P(A)=0.6⋅0.25+0.4⋅0.1=0.19\begin{aligned}P(A) &= 0.6 \cdot 0.25 + 0.4 \cdot 0.1 \\ &= 0.19\end{aligned}

חיבור של שני ענפים שני אינו הסתברות של מאורע. מחברים קצוות, כלומר מכפלות לאורך המסלולים.

Exercises

Exercise 1

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. בוחרים תלמיד אקראי. מה ההסתברות שהוא מתנדב וגם עבר את הקורס?

Show the answer and the solution

Answer: 0.24

Worked solution:

60250=0.24\frac{60}{250} = 0.24

משבצת חלקי סך הכול

זה קצה בעץ, ולכן המכנה הוא כל 250 התלמידים. 60100\frac{60}{100} הוא ענף, לא קצה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. בונים עץ שבו הקומה הראשונה היא «מתנדב / לא מתנדב». איזו הסתברות רושמים על הענף «עבר קורס» שיוצא מ«מתנדב»?

  1. 90250\frac{90}{250}
  2. 60250\frac{60}{250}
  3. 60100\frac{60}{100}
  4. 100250\frac{100}{250}
Show the answer and the solution

Answer: C 60100\frac{60}{100}

Worked solution:

60100=0.6\frac{60}{100} = 0.6

המשבצת חלקי סך השורה «מתנדבים»

הנכונה: 60100\frac{60}{100}. 60250\frac{60}{250} הוא הקצה (מתנדב וגם עבר). 100250\frac{100}{250} הוא הענף הראשון. 90250\frac{90}{250} הוא ההסתברות לעבור את הקורס בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 3

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. מה ההסתברות שתלמיד אקראי עבר את הקורס?

Show the answer and the solution

Answer: 0.36

Worked solution:

60+30=9060 + 30 = 90

כל מי שעבר את הקורס

90250=0.36\frac{90}{250} = 0.36

חלקי סך הכול

0.4⋅0.6+0.6⋅0.2=0.24+0.12=0.36\begin{aligned}0.4 \cdot 0.6 + 0.6 \cdot 0.2 &= 0.24 + 0.12 \\ &= 0.36\end{aligned}

בדיקה בעץ ✓

בעץ, «עבר קורס» הוא שני קצוות: מתנדב ועבר, לא מתנדב ועבר. הטעות: 0.6+0.2=0.80.6 + 0.2 = 0.8 — חיבור ענפים במקום קצוות.

Check the answer on elev

Exercise 4

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. מה ההסתברות שתלמיד אקראי אינו מתנדב וגם לא עבר את הקורס?

Show the answer and the solution

Answer: 0.48

Worked solution:

150−30=120150 - 30 = 120

לא מתנדבים שלא עברו

120250=0.48\frac{120}{250} = 0.48

חלקי סך הכול

בעץ: 0.6⋅0.8=0.480.6 \cdot 0.8 = 0.48 ✓. 120150\frac{120}{150} הוא הענף, לא הקצה.

Check the answer on elev

Exercise 5

ב-400 תלמידים: 25% משחקים בקבוצת ספורט. מבין המשחקים, 80% מתאמנים גם בבוקר; מבין שאינם משחקים, 40% מתאמנים בבוקר. השלימו את הטבלה.

משחקים וגם מתאמנים בבוקר: ____ תלמידים ; לא משחקים וגם מתאמנים בבוקר: ____ תלמידים ; סך המתאמנים בבוקר: ____

Show the answer and the solution

Answer: משחקים וגם מתאמנים בבוקר: 80 תלמידים ; לא משחקים וגם מתאמנים בבוקר: 120 תלמידים ; סך המתאמנים בבוקר: 200

Worked solution:

400⋅0.25=100400−100=300\begin{aligned}400 \cdot 0.25 &= 100 \\ \quad 400 - 100 &= 300\end{aligned}

סכומי השורות

100⋅0.8=80100 \cdot 0.8 = 80

משחקים וגם מתאמנים

300⋅0.4=120300 \cdot 0.4 = 120

לא משחקים וגם מתאמנים

80+120=20080 + 120 = 200

סך העמודה

האחוז בקומה השנייה הוא אחוז מתוך השורה: 40% מתוך 300, לא מתוך 400.

Check the answer on elev

Exercise 6

באותם נתונים (400 תלמידים, 25% משחקים, 80% ו-40% מתאמנים בבוקר): מה ההסתברות שתלמיד אקראי מתאמן בבוקר?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

200400=0.5\frac{200}{400} = 0.5

מהטבלה

0.25⋅0.8+0.75⋅0.4=0.2+0.3=0.5\begin{aligned}0.25 \cdot 0.8 + 0.75 \cdot 0.4 &= 0.2 + 0.3 \\ &= 0.5\end{aligned}

מהעץ ✓

שתי הדרכים חייבות לתת אותה תשובה. הטעות: 0.8+0.42=0.6\frac{0.8 + 0.4}{2} = 0.6 — ממוצע שמתעלם מכך שבשורות מספר תלמידים שונה.

Check the answer on elev

Exercise 7

בחנות: 70% מהלקוחות משלמים בכרטיס אשראי, והשאר במזומן. מבין משלמי האשראי 20% קונים ביותר מ-300 ש״ח, ומבין משלמי המזומן 10%. מה ההסתברות שלקוח אקראי קונה ביותר מ-300 ש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 0.17

Worked solution:

0.7⋅0.2=0.140.7 \cdot 0.2 = 0.14

אשראי וגם מעל 300

0.3⋅0.1=0.030.3 \cdot 0.1 = 0.03

מזומן וגם מעל 300

0.14+0.03=0.170.14 + 0.03 = 0.17

שני קצוות — מחברים

התשובה 0.3=0.2+0.10.3 = 0.2 + 0.1 מחברת ענפים. צריך קודם לכפול כל ענף בענף הראשון שלו.

Check the answer on elev

Exercise 8

באותה חנות: מה ההסתברות שלקוח אקראי משלם במזומן וקונה ב-300 ש״ח או פחות?

Show the answer and the solution

Answer: 0.27

Worked solution:

1−0.7=0.31 - 0.7 = 0.3

מזומן

1−0.1=0.91 - 0.1 = 0.9

מבין משלמי המזומן: 300 ש״ח או פחות

0.3⋅0.9=0.270.3 \cdot 0.9 = 0.27

מסלול אחד

בכל ענף משלימים ל-1 בתוך אותה נקודה: 1−0.11-0.1, ולא 1−0.171-0.17.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסקר בקרב 250 תלמידים: 100 מתנדבים במד״א ו-150 אינם מתנדבים. מבין המתנדבים, 60 עברו קורס עזרה ראשונה. מבין שאינם מתנדבים, 30 עברו את הקורס. התאימו כל שבר למה שהוא מתאר בעץ.

  • 100250\frac{100}{250}
  • 60100\frac{60}{100}
  • 60250\frac{60}{250}
  • 90250\frac{90}{250}
  • סכום שני קצוות: עבר קורס
  • ענף ראשון: מתנדב
  • ענף שני: עבר קורס, אחרי «מתנדב»
  • קצה: מתנדב וגם עבר קורס
Show the answer and the solution

Answer: 100250\frac{100}{250} — ענף ראשון: מתנדב · 60100\frac{60}{100} — ענף שני: עבר קורס, אחרי «מתנדב» · 60250\frac{60}{250} — קצה: מתנדב וגם עבר קורס · 90250\frac{90}{250} — סכום שני קצוות: עבר קורס

Worked solution:

100250⋅60100=60250\frac{100}{250} \cdot \frac{60}{100} = \frac{60}{250}

ענף ראשון כפול ענף שני הוא הקצה

60250+30250=90250\frac{60}{250} + \frac{30}{250} = \frac{90}{250}

שני קצוות — מחברים

המכנה אומר מאיפה מסתכלים: 250 — מכל השכבה; 100 — רק מתוך המתנדבים.

Check the answer on elev

Exercise 10

בטבלה של 200 תלמידים: בשורה BB יש 80 תלמידים, ו-20 מהם שייכים ל-AA. בשורה Bˉ\bar{B} יש 120 תלמידים, ו-30 מהם שייכים ל-AA. האם AA ו-BB תלויים?

  1. תלויים, כי 80≠12080 \neq 120
  2. בלתי תלויים: בשני הענפים ההסתברות ל-AA היא 0.25
  3. אי אפשר לדעת בלי עץ
  4. תלויים, כי 20≠3020 \neq 30
Show the answer and the solution

Answer: B בלתי תלויים: בשני הענפים ההסתברות ל-AA היא 0.25

Worked solution:

2080=0.2530120=0.25\begin{aligned}\frac{20}{80} &= 0.25 \\ \quad \frac{30}{120} &= 0.25\end{aligned}

הענף «AA» מכל אחת מהנקודות

P(A)=50200=0.25\begin{aligned}P(A) &= \frac{50}{200} \\ &= 0.25\end{aligned}

אותה הסתברות גם בכל השכבה

הנכונה: בלתי תלויים. משווים אחוזים, לא מספרים: 20 ו-30 הם אותו חלק (רבע) מתוך שורות בגדלים שונים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade