Union, intersection, complement

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מטילים שתי קוביות: אחת כחולה ואחת אדומה. כל צירוף הוא משבצת בלוח של 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 משבצות, וכולן שוות סיכוי. AA: «בקובייה הכחולה יצא 6». BB: «בקובייה האדומה יצא 6». כמה משבצות שייכות ל«AA או BB»?

כמה משבצות יש ב«AA או BB», ומה ההסתברות?

Show the answer and the solution

6+6−1=116 + 6 - 1 = 11 משבצות, ולכן 1136\frac{11}{36}. מורידים 1 כי המשבצת המשותפת נספרה פעמיים.

נוסחת האיחוד

A∪BA \cup B

איחוד: AA או BB — לפחות אחד מהם קרה (אפשר גם שניהם)

A∩BA \cap B

חיתוך: AA וגם BB — שניהם קרו

Aˉ\bar{A}

משלים: AA לא קרה

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

החיתוך נספר פעם ב-P(A)P(A) ופעם ב-P(B)P(B), ולכן מורידים אותו פעם אחת.

סקר בשכבה

בסקר בשכבה נמצא: 60% מהתלמידים משחקים כדורגל, 45% מנגנים על כלי נגינה, ו-20% גם משחקים כדורגל וגם מנגנים. בוחרים תלמיד אקראי. מה ההסתברות שהוא משחק כדורגל או מנגן? ומה ההסתברות שלא עושה אף אחד מהשניים?

P(A)=0.6 P(B)=0.45 P(A∩B)=0.2\begin{aligned}P(A) &= 0.6 \\ \ P(B) &= 0.45 \\ \ P(A \cap B) &= 0.2\end{aligned}

מתרגמים אחוזים להסתברויות

P(A∪B)=0.6+0.45−0.2=0.85\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.6 + 0.45 - 0.2 \\ &= 0.85\end{aligned}

נוסחת האיחוד

1−0.85=0.151 - 0.85 = 0.15

«אף אחד» הוא המשלים של «לפחות אחד»

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.4P(B)=0.4 ו-P(A∪B)=0.7P(A \cup B)=0.7. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

Show the answer and the solution

מציבים בנוסחה: 0.7=0.5+0.4−P(A∩B)0.7 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B), ולכן P(A∩B)=0.9−0.7=0.2P(A \cap B) = 0.9 - 0.7 = 0.2. הנוסחה עובדת לכל כיוון: שלושה נתונים מוצאים את הרביעי.

«לפחות אחד» — דרך המשלים

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

«לפחות אחד» הוא כל העץ חוץ מקצה אחד: הקצה של «אף אחד». במקום לחבר שלושה מסלולים, מחשבים מסלול אחד ומחסירים מ-1.

שני רמזורים

ברמזור הראשון ההסתברות לאדום היא 0.4, ובשני 0.5, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות לעצור לפחות ברמזור אחד?

0.6⋅0.5=0.30.6 \cdot 0.5 = 0.3

«אף אחד אדום»: ירוק וגם ירוק

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

המשלים

0.4+0.5−0.4⋅0.5=0.70.4 + 0.5 - 0.4 \cdot 0.5 = 0.7

בדיקה בנוסחת האיחוד: אותה תשובה ✓

כשהשאלה אומרת «לפחות אחד», שאלו קודם: מה המשלים? כמעט תמיד הוא «אף אחד», וזה מסלול אחד בעץ.

שלוש הטעויות של האיחוד.

P(A∪B)=0.4+0.5=0.9\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 \\ &= 0.9\end{aligned}
P(A∪B)=0.4+0.5−0.2=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 - 0.2 \\ &= 0.7\end{aligned}

שכחו להוריד את החיתוך. הוא נספר פעמיים.

P(A∪B)=P(A)⋅P(B)P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

כפל נותן את החיתוך («וגם»), ורק כשהמאורעות בלתי תלויים. איחוד («או») מחשבים בנוסחת האיחוד.

1−0.4⋅0.51 - 0.4 \cdot 0.5
1−0.6⋅0.51 - 0.6 \cdot 0.5

המשלים של «לפחות אחד אדום» הוא «שניהם ירוקים», לא «לא שניהם אדומים».

Exercises

Exercise 1

נתון P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B)=0.3P(B)=0.3 ו-P(A∩B)=0.1P(A \cap B)=0.1. מהי P(A∪B)P(A \cup B)?

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

P(A∪B)=0.5+0.3−0.1=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.5 + 0.3 - 0.1 \\ &= 0.7\end{aligned}

נוסחת האיחוד

מי שענה 0.8 שכח להוריד את החיתוך, שנספר פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון P(A)=0.45P(A)=0.45, P(B)=0.35P(B)=0.35 ו-P(A∪B)=0.6P(A \cup B)=0.6. מהי P(A∩B)P(A \cap B)?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

0.6=0.45+0.35−P(A∩B)0.6 = 0.45 + 0.35 - P(A \cap B)

מציבים בנוסחת האיחוד

P(A∩B)=0.8−0.6=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.8 - 0.6 \\ &= 0.2\end{aligned}

מבודדים

הנוסחה קושרת ארבעה מספרים: שלושה ידועים מוצאים את הרביעי. 0.45⋅0.350.45 \cdot 0.35 אינו נכון כאן — לא נאמר שהמאורעות בלתי תלויים.

Check the answer on elev

Exercise 3

בשכבה: 55% מהתלמידים מתנדבים בקהילה, 40% חברים בתנועת נוער, ו-25% גם מתנדבים וגם חברים בתנועה. כמה אחוזים מהתלמידים אינם עושים אף אחד מהשניים? (כתבו מספר באחוזים)

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

55+40−25=7055 + 40 - 25 = 70

אחוז התלמידים שעושים לפחות אחד

100−70=30100 - 70 = 30

המשלים

אפשר לעבוד ישירות באחוזים. הטעות: 100−55−40=5100 - 55 - 40 = 5, שמוריד את 25 האחוזים של «גם וגם» פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 4

מטילים שתי קוביות הוגנות. מה ההסתברות שיצא 6 לפחות באחת מהן?

  1. 2536\frac{25}{36}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 1136\frac{11}{36}
  4. 136\frac{1}{36}
Show the answer and the solution

Answer: C 1136\frac{11}{36}

Worked solution:

56⋅56=2536\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

אף קובייה לא הראתה 6

1−2536=11361 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

המשלים

הנכונה: 1136\frac{11}{36}. 13=1236\frac{1}{3} = \frac{12}{36} סופר את «6 וגם 6» פעמיים. 2536\frac{25}{36} היא ההסתברות לאף 6 — המשלים עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 5

מאיה שוכחת את המפתח בבית בהסתברות 0.1, ואחיה בהסתברות 0.2, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם ישכח את המפתח?

Show the answer and the solution

Answer: 0.28

Worked solution:

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

אף אחד לא שכח

1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28

המשלים

בדיקה בנוסחת האיחוד: 0.1+0.2−0.02=0.280.1 + 0.2 - 0.02 = 0.28 ✓. התשובה 0.30.3 שוכחת להוריד את החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 6

באותם נתונים: מה ההסתברות שאף אחד מהם לא ישכח את המפתח?

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

1−0.1=0.91−0.2=0.8\begin{aligned}1 - 0.1 &= 0.9 \\ \quad 1 - 0.2 &= 0.8\end{aligned}

ההסתברויות לזכור

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

זכרו שניהם — בלתי תלויים

«אף אחד לא שכח» ו«לפחות אחד שכח» הם משלימים: 0.72+0.28=10.72 + 0.28 = 1.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון P(A)=0.6P(A)=0.6 ו-P(B)=0.7P(B)=0.7. אז בהכרח P(A∩B)>0P(A \cap B) > 0, כלומר AA ו-BB יכולים לקרות יחד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(A∪B)≤1P(A \cup B) \leq 1

הסתברות אינה עולה על 1

P(A∩B)=0.6+0.7−P(A∪B)≥1.3−1=0.3\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 + 0.7 - P(A \cup B) \geq 1.3 - 1 \\ &= 0.3\end{aligned}

מבודדים מנוסחת האיחוד

נכון. אילו החיתוך היה 0, האיחוד היה 1.31.3 — גדול מ-1. לכן החיתוך הוא לפחות 0.30.3.

Check the answer on elev

Exercise 8

AA ו-BB מאורעות בלתי תלויים, P(A)=0.4P(A)=0.4 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. השלימו.

P(A∩B)=P(A \cap B)= ____ , P(A∪B)=P(A \cup B)= ____

Show the answer and the solution

Answer: P(A∩B)=P(A \cap B)= 0.2 , P(A∪B)=P(A \cup B)= 0.7

Worked solution:

P(A∩B)=0.4⋅0.5=0.2\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.4 \cdot 0.5 \\ &= 0.2\end{aligned}

בלתי תלויים — כופלים

P(A∪B)=0.4+0.5−0.2=0.7\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.4 + 0.5 - 0.2 \\ &= 0.7\end{aligned}

נוסחת האיחוד

קודם החיתוך, ואז האיחוד: נוסחת האיחוד צריכה את החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 9

מה פירוש המאורע A∪BA \cup B?

  1. בדיוק אחד מהם קרה
  2. AA קרה, או BB קרה, או שניהם
  3. AA וגם BB קרו
  4. אף אחד מהם לא קרה
Show the answer and the solution

Answer: B AA קרה, או BB קרה, או שניהם

Worked solution:

A∪BA \cup B

איחוד: לפחות אחד מהשניים

הנכונה: AA או BB או שניהם. «או» במתמטיקה כולל את «שניהם». «בדיוק אחד» הוא האיחוד בלי החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 10

AA ו-BB לא יכולים לקרות יחד. P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.25P(B)=0.25. מהי P(A∪B)P(A \cup B)?

Show the answer and the solution

Answer: 0.55

Worked solution:

P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0

מאורעות שלא קורים יחד: אין חיתוך

P(A∪B)=0.3+0.25−0=0.55\begin{aligned}P(A \cup B) &= 0.3 + 0.25 - 0 \\ &= 0.55\end{aligned}

נוסחת האיחוד

כשאין חיתוך, נוסחת האיחוד היא חיבור פשוט. הטעות: לכפול 0.3⋅0.250.3 \cdot 0.25 ולהציב אותו כחיתוך.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade