Dependent events

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשקית 5 גולות: 3 אדומות ו-2 כחולות. מוציאים גולה, מסתכלים, מחזירים אותה ומערבבים, ומוציאים שוב. השקית זהה בשני השלבים, ולכן גם העץ:

ועכשיו בלי החזרה: הגולה הראשונה שיצאה הייתה אדומה ונשארה בחוץ. כמה גולות נשארו בשקית, וכמה מהן אדומות?

Show the answer and the solution

נשארו 4 גולות, ו-2 מהן אדומות. ההסתברות לאדום בשלב השני היא עכשיו 24\frac{2}{4}, ולא 35\frac{3}{5}.

בלי החזרה — הקומה השנייה משתנה

כשלא מחזירים, התוצאה של השלב הראשון משנה את מה שנשאר בשקית. לכן ההסתברויות בקומה השנייה תלויות בענף שממנו יצאנו. מאורעות כאלה נקראים תלויים. כלל הכפל לאורך מסלול נשאר, רק המספרים על הענפים משתנים.

24 , 24\frac{2}{4} \ ,\ \frac{2}{4}

אחרי אדום: נשארו 2 אדומות ו-2 כחולות מתוך 4

34 , 14\frac{3}{4} \ ,\ \frac{1}{4}

אחרי כחול: נשארו 3 אדומות וכחולה אחת מתוך 4

35⋅24=620=310\begin{aligned}\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} &= \frac{6}{20} \\ &= \frac{3}{10}\end{aligned}

שתי אדומות, בלי החזרה. עם החזרה היינו מקבלים 925\frac{9}{25}.

בעץ בלי החזרה: חשבו את ארבעת הקצוות ובדקו שסכומם 1.

Show the answer and the solution

אדום-אדום 35⋅24=620\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}, אדום-כחול 35⋅24=620\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}, כחול-אדום 25⋅34=620\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}, כחול-כחול 25⋅14=220\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20}. הסכום: 2020=1\frac{20}{20} = 1 ✓.

הגרלה לוועד הכיתה

בכיתה 30 תלמידים: 12 בנים ו-18 בנות. מגרילים שני נציגים שונים לוועד, אחד אחרי השני. מה ההסתברות ששני הנציגים בנות? ומה ההסתברות לבן אחד ולבת אחת?

1830⋅1729=306870≈0.35\frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{306}{870} \approx 0.35

שתי בנות: אחרי בת נשארו 17 בנות מתוך 29

1230⋅1829=216870\frac{12}{30} \cdot \frac{18}{29} = \frac{216}{870}

מסלול בן ואז בת

1830⋅1229=216870\frac{18}{30} \cdot \frac{12}{29} = \frac{216}{870}

מסלול בת ואז בן

216870+216870=432870≈0.50\frac{216}{870} + \frac{216}{870} = \frac{432}{870} \approx 0.50

שני מסלולים — מחברים

מילים שמסמנות מאורעות תלויים: «בלי החזרה», «בזה אחר זה», «שני תלמידים שונים», «מבין הנותרים». בכל אחת מהן המכנה בקומה השנייה קטן ב-1.

שתי הטעויות של «בלי החזרה».

35⋅35\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}
35⋅24\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}

זה חישוב עם החזרה. בלי החזרה גם המונה וגם המכנה קטנים ב-1 בענף «אדום ואז אדום».

35⋅25\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}
35⋅24\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}

המונה עודכן אבל המכנה לא. אחרי שגולה יצאה, בשקית 4 גולות, לא 5.

Exercises

Exercise 1

בשקית 4 גולות אדומות ו-6 ירוקות. מוציאים שתי גולות בזו אחר זו בלי החזרה. מה ההסתברות ששתיהן אדומות?

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 215\frac{2}{15}
  3. 325\frac{3}{25}
  4. 425\frac{4}{25}
Show the answer and the solution

Answer: B 215\frac{2}{15}

Worked solution:

410⋅39=1290=215\begin{aligned}\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} &= \frac{12}{90} \\ &= \frac{2}{15}\end{aligned}

אחרי אדומה נשארו 3 אדומות מתוך 9

הנכונה: 215\frac{2}{15}. 425\frac{4}{25} הוא חישוב עם החזרה. 325\frac{3}{25} עדכן את המונה ושכח את המכנה. 710\frac{7}{10} חיבר במקום לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 2

באותה שקית, בלי החזרה: מה ההסתברות ששתי הגולות ירוקות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.333333

Worked solution:

610⋅59=3090=13≈0.33\begin{aligned}\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} &= \frac{30}{90} \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.33\end{aligned}

אחרי ירוקה נשארו 5 ירוקות מתוך 9

עם החזרה היינו מקבלים 0.360.36. ההבדל קטן, אבל בבחינה הוא ההבדל בין תשובה נכונה לשגויה.

Check the answer on elev

Exercise 3

באותה שקית, בלי החזרה: מה ההסתברות לגולה אחת מכל צבע? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.533333

Worked solution:

410⋅69=2490\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90}

אדומה ואז ירוקה

610⋅49=2490\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90}

ירוקה ואז אדומה

4890≈0.53\frac{48}{90} \approx 0.53

שני מסלולים — מחברים

«אחת מכל צבע» לא קובעת סדר, ולכן שני מסלולים. בדיקה: 1290+3090+4890=1\frac{12}{90} + \frac{30}{90} + \frac{48}{90} = 1 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 4

בשקית 3 גולות אדומות ו-2 כחולות. מוציאים שתי גולות בלי החזרה. המאורע «הגולה הראשונה אדומה» והמאורע «הגולה השנייה אדומה» הם מאורעות תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

24≠34\frac{2}{4} \neq \frac{3}{4}

אחרי אדומה: 24\frac{2}{4}. אחרי כחולה: 34\frac{3}{4}

נכון. בלי החזרה, השלב הראשון משנה את תכולת השקית, ולכן גם את ההסתברויות בשלב השני.

Check the answer on elev

Exercise 5

בקופסה 8 סוללות, ו-2 מהן ריקות. לוקחים סוללה אחת, ואחריה עוד אחת, בלי החזרה. השלימו.

אחרי הסוללה הראשונה נשארו בקופסה ____ סוללות. אם הסוללה הראשונה הייתה ריקה, נשארו בקופסה ____ סוללות ריקות.

Show the answer and the solution

Answer: אחרי הסוללה הראשונה נשארו בקופסה 7 סוללות. אם הסוללה הראשונה הייתה ריקה, נשארו בקופסה 1 סוללות ריקות.

Worked solution:

8−1=78 - 1 = 7

הסוללה הראשונה לא חוזרת

2−1=12 - 1 = 1

הריקה שיצאה לא חוזרת

לכן אחרי ריקה, ההסתברות לריקה נוספת היא 17\frac{1}{7}, ולא 28\frac{2}{8}.

Check the answer on elev

Exercise 6

באותה קופסה (8 סוללות, 2 ריקות), בלי החזרה: מה ההסתברות ששתי הסוללות שנלקחו תקינות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.535714

Worked solution:

8−2=68 - 2 = 6

סוללות תקינות

68⋅57=3056≈0.54\frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{30}{56} \approx 0.54

אחרי תקינה נשארו 5 תקינות מתוך 7

הטעות: 68⋅68≈0.56\frac{6}{8} \cdot \frac{6}{8} \approx 0.56 — חישוב עם החזרה.

Check the answer on elev

Exercise 7

באיזה מצב שני המאורעות תלויים?

  1. מוציאים שני קלפים מחפיסה, בלי להחזיר את הראשון
  2. מטילים מטבע ואחר כך קובייה
  3. מטילים קובייה פעמיים
  4. מוציאים גולה, מחזירים אותה ומוציאים שוב
Show the answer and the solution

Answer: A מוציאים שני קלפים מחפיסה, בלי להחזיר את הראשון

Worked solution:

52→5152 \to 51

בלי החזרה, מספר הקלפים בחפיסה ובכל סוג משתנה

הנכונה: שני קלפים בלי החזרה. בשלושת המצבים האחרים השלב השני מתחיל בדיוק כמו הראשון: קובייה ומטבע לא «זוכרים», והחזרה מחזירה את השקית למצבה.

Check the answer on elev

Exercise 8

בכיתה 25 תלמידים: 10 בנים ו-15 בנות. מגרילים שני תלמידים שונים לוועדת הטיול. מה ההסתברות ששניהם בנים?

Show the answer and the solution

Answer: 0.15

Worked solution:

1025⋅924=90600=0.15\begin{aligned}\frac{10}{25} \cdot \frac{9}{24} &= \frac{90}{600} \\ &= 0.15\end{aligned}

אחרי בן נשארו 9 בנים מתוך 24

«שני תלמידים שונים» פירושו בלי החזרה. עם החזרה היינו מקבלים 0.160.16.

Check the answer on elev

Exercise 9

בשקית 3 גולות אדומות ו-2 כחולות. מוציאים שתי גולות בלי החזרה ומחשבים את ההסתברות לשתי אדומות. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

P1=35P_1 = \frac{3}{5}
P2=24P_2 = \frac{2}{4}
P=35⋅24=59\begin{aligned}P &= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: P=35⋅24=59P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{9} → P=35⋅24=620=310P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

Worked solution:

35⋅24=3⋅25⋅4\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 4}

בכפל שברים כופלים מונה במונה ומכנה במכנה

בשורה האחרונה חיברו מונים ומכנים (3+25+4\frac{3+2}{5+4}). שתי השורות הראשונות נכונות: אחרי אדומה נשארו 2 אדומות מתוך 4.

Check the answer on elev

Exercise 10

לדני 5 מפתחות, ורק אחד מהם פותח את הדלת. הוא מנסה מפתחות באקראי, ומפתח שלא הצליח הוא מניח בצד. מה ההסתברות שהדלת תיפתח בדיוק בניסיון השני?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

45\frac{4}{5}

הניסיון הראשון נכשל: 4 מפתחות לא מתאימים מתוך 5

14\frac{1}{4}

נשארו 4 מפתחות, ואחד מהם מתאים

45⋅14=15=0.2\begin{aligned}\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} &= \frac{1}{5} \\ &= 0.2\end{aligned}

מסלול אחד: נכשל ואז הצליח

«בדיוק בניסיון השני» דורש גם כישלון בראשון. מי שענה 14\frac{1}{4} שכח את הענף הראשון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade