The probability tree

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

נועה נוסעת לבית הספר באוטובוס. מניסיון, האוטובוס מאחר ביום אחד מתוך ארבעה. מה יכול לקרות ביומיים ברצף? ארבעה סיפורים: איחר-איחר, איחר-בזמן, בזמן-איחר, בזמן-בזמן. עץ מסדר את ארבעתם, וכל סיפור הוא מסלול אחד מהשורש עד הקצה.

לפי העץ: מה ההסתברות שהאוטובוס יאחר בשני הימים?

Show the answer and the solution

מסלול אחד: איחר ואז איחר. 14⋅14=116\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}. שתי דרישות יחד, ולכן הסיכוי קטן מכל אחת מהן.

ארבעה כללים לבניית עץ

11

כל שלב בניסוי הוא קומה בעץ.

22

על כל ענף כותבים את ההסתברות שלו. שני ענפים שיוצאים מאותה נקודה — סכומם 1.

×\times

לאורך מסלול כופלים: זו ההסתברות שכל השלבים של המסלול יקרו.

++

כשמאורע מתקיים בכמה מסלולים — מחברים את המסלולים.

מאורעות בלתי תלויים

האוטובוס של היום לא «זוכר» מה קרה אתמול: ההסתברות לאיחור היא 14\frac{1}{4} בשני הימים. מאורעות כאלה נקראים בלתי תלויים: התוצאה של השלב הראשון לא משנה את ההסתברויות בשלב השני. עבורם הנוסחה מדף הנוסחאות היא:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

A∩BA \cap B פירושו «AA וגם BB»: שני המאורעות קרו.

שני מבחנים, שתי הסתברויות

ההסתברות שדנה תעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.8, וההסתברות שתעבור את המבחן באנגלית היא 0.9. ההצלחות בלתי תלויות. מה ההסתברות שתעבור בדיוק מבחן אחד?

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

מסלול 1: עברה מתמטיקה ונכשלה באנגלית. 1−0.9=0.11-0.9=0.1

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

מסלול 2: נכשלה במתמטיקה ועברה אנגלית. 1−0.8=0.21-0.8=0.2

0.08+0.18=0.260.08 + 0.18 = 0.26

«בדיוק אחד» מתקיים בשני מסלולים, ולכן מחברים

באותו עץ: מה ההסתברות שדנה תעבור את שני המבחנים, ומה ההסתברות שלא תעבור אף אחד? בדקו שסכום ארבעת הקצוות הוא 1.

Show the answer and the solution

שניהם: 0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72. אף אחד: 0.2⋅0.1=0.020.2 \cdot 0.1 = 0.02. הסכום: 0.72+0.08+0.18+0.02=10.72 + 0.08 + 0.18 + 0.02 = 1 ✓. העץ מכסה את כל האפשרויות.

בסוף כל עץ מחברים את כל הקצוות. אם הסכום אינו 1, יש ענף עם הסתברות שגויה.

שתי הטעויות של העץ.

0.8+0.9=1.70.8 + 0.9 = 1.7
0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

«וגם» לאורך מסלול — כופלים. הסתברות גדולה מ-1 היא סימן אזהרה מיידי.

P=0.08P = 0.08
P=0.08+0.18=0.26\begin{aligned}P &= 0.08 + 0.18 \\ &= 0.26\end{aligned}

«בדיוק אחד» לא אומר איזה מהשניים. שני מסלולים, ולכן שני מכפלות ואז חיבור.

Exercises

Exercise 1

האוטובוס מאחר בהסתברות 14\frac{1}{4} בכל יום, ללא תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שהוא יאחר ביומיים ברצף?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 116\frac{1}{16}
  3. 18\frac{1}{8}
  4. 14\frac{1}{4}
Show the answer and the solution

Answer: B 116\frac{1}{16}

Worked solution:

14⋅14=116\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}

לאורך מסלול כופלים

הנכונה: 116\frac{1}{16}. 12\frac{1}{2} היא חיבור של שני הענפים במקום כפל. 18\frac{1}{8} מכפילה את המכנה ב-2 במקום לכפול את השברים.

Check the answer on elev

Exercise 2

באותו אוטובוס: מה ההסתברות שהוא יגיע בזמן בשני הימים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5625

Worked solution:

1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

ההסתברות להגיע בזמן ביום אחד

34⋅34=916≈0.56\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.56

מסלול אחד: בזמן ואז בזמן

קודם מחשבים את ההסתברות של הענף «בזמן» (34\frac{3}{4}), ורק אז כופלים. הטעות: 1−1161 - \frac{1}{16}, שהיא «לא איחר פעמיים», ולא «בזמן פעמיים».

Check the answer on elev

Exercise 3

דנה עוברת מבחן במתמטיקה בהסתברות 0.8, ומבחן באנגלית בהסתברות 0.9, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות שתעבור את שניהם?

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

«וגם» לאורך מסלול אחד

כופלים, לא מחברים: 0.8+0.9=1.70.8 + 0.9 = 1.7 גדול מ-1 ואינו הסתברות.

Check the answer on elev

Exercise 4

באותם נתונים: מה ההסתברות שדנה לא תעבור אף מבחן?

Show the answer and the solution

Answer: 0.02

Worked solution:

1−0.8=0.21−0.9=0.1\begin{aligned}1 - 0.8 &= 0.2 \\ \quad 1 - 0.9 &= 0.1\end{aligned}

ההסתברויות להיכשל

0.2⋅0.1=0.020.2 \cdot 0.1 = 0.02

מסלול אחד: נכשלה ואז נכשלה

הטעות הנפוצה: 1−0.72=0.281 - 0.72 = 0.28. זו ההסתברות שלא עברה את שניהם, כלומר נכשלה בלפחות אחד — מאורע אחר.

Check the answer on elev

Exercise 5

באותם נתונים: מה ההסתברות שדנה תעבור בדיוק מבחן אחד?

Show the answer and the solution

Answer: 0.26

Worked solution:

0.8⋅0.1=0.080.8 \cdot 0.1 = 0.08

עברה מתמטיקה בלבד

0.2⋅0.9=0.180.2 \cdot 0.9 = 0.18

עברה אנגלית בלבד

0.08+0.18=0.260.08 + 0.18 = 0.26

שני מסלולים — מחברים

מי שענה 0.08 או 0.18 חישב רק מסלול אחד. בדיקה: 0.72+0.02+0.26=10.72 + 0.02 + 0.26 = 1 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

בכל עץ הסתברויות, סכום ההסתברויות של כל הקצוות שווה ל-1.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0.72+0.08+0.18+0.02=10.72 + 0.08 + 0.18 + 0.02 = 1

למשל בעץ של שני המבחנים

נכון. הקצוות הם כל הסיפורים האפשריים, ושניים מהם לא קורים יחד. סכום שאינו 1 מגלה ענף שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 7

בשלב הראשון P(A)=0.6P(A)=0.6. בשלב השני P(B)=0.3P(B)=0.3, ללא תלות בשלב הראשון. השלימו את העץ.

P(Aˉ)=P(\bar{A})= ____ , P(Bˉ)=P(\bar{B})= ____ , P(A∩B)=P(A \cap B)= ____

Show the answer and the solution

Answer: P(Aˉ)=P(\bar{A})= 0.4 , P(Bˉ)=P(\bar{B})= 0.7 , P(A∩B)=P(A \cap B)= 0.18

Worked solution:

P(Aˉ)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(\bar{A}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

שני ענפים מאותה נקודה — סכומם 1

P(Bˉ)=1−0.3=0.7\begin{aligned}P(\bar{B}) &= 1 - 0.3 \\ &= 0.7\end{aligned}

כנ״ל בשלב השני

P(A∩B)=0.6⋅0.3=0.18\begin{aligned}P(A \cap B) &= 0.6 \cdot 0.3 \\ &= 0.18\end{aligned}

מאורעות בלתי תלויים — כופלים

Aˉ\bar{A} הוא המשלים של AA: «AA לא קרה». הענף שלו הוא מה שחסר עד 1.

Check the answer on elev

Exercise 8

מטילים מטבע הוגן וקובייה הוגנת. מה ההסתברות לקבל «עץ» במטבע וגם 6 בקובייה?

  1. 18\frac{1}{8}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 112\frac{1}{12}
  4. 23\frac{2}{3}
Show the answer and the solution

Answer: C 112\frac{1}{12}

Worked solution:

12⋅16=112\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

המטבע והקובייה בלתי תלויים

הנכונה: 112\frac{1}{12}. 23\frac{2}{3} היא 12+16\frac{1}{2}+\frac{1}{6}: חיבור במקום כפל. 18\frac{1}{8} מחברת את המכנים.

Check the answer on elev

Exercise 9

ברמזור הראשון בדרך ההסתברות לאור ירוק היא 0.5, וברמזור השני 0.4. הרמזורים פועלים באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות לירוק ברמזור הראשון ולאדום ברמזור השני?

Show the answer and the solution

Answer: 0.3

Worked solution:

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

ההסתברות לאדום ברמזור השני

0.5⋅0.6=0.30.5 \cdot 0.6 = 0.3

מסלול אחד: ירוק ואז אדום

המאורע נדרש בסדר מסוים: ירוק ואז אדום. זה מסלול אחד בלבד, בלי חיבור.

Check the answer on elev

Exercise 10

שני הרמזורים מהשאלה הקודמת. כמה מסלולים בעץ מתאימים לכל מאורע?

  • מסלול אחד
  • שני מסלולים
  • בדיוק רמזור אחד ירוק
  • שני הרמזורים אדומים
  • שני הרמזורים באותו צבע
  • שני הרמזורים ירוקים
Show the answer and the solution

Answer: שני הרמזורים ירוקים — מסלול אחד · בדיוק רמזור אחד ירוק — שני מסלולים · שני הרמזורים אדומים — מסלול אחד · שני הרמזורים באותו צבע — שני מסלולים

Worked solution:

0.5⋅0.4=0.20.5 \cdot 0.4 = 0.2

ירוק-ירוק: מסלול יחיד

0.5⋅0.6+0.5⋅0.4=0.50.5 \cdot 0.6 + 0.5 \cdot 0.4 = 0.5

«בדיוק אחד ירוק»: ירוק-אדום ואדום-ירוק, שני מסלולים

«באותו צבע» נשמע כמו מאורע אחד, אבל הוא שני מסלולים: ירוק-ירוק או אדום-אדום.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade