Area and volume at scale

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בתוכנית של דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, הסלון הוא 6 ס״מ על 4 ס״מ: 24 סמ״ר על הנייר. האם גם במציאות שטחו פי 100, כלומר 2,400 סמ״ר? זה פחות מרבע מ״ר, שטח של שולחן קטן. במציאות הסלון 6 מטר על 4 מטר, כלומר 24 מ״ר, ושטח זה גדול פי 10,000 מהשטח בתוכנית.

ABCDEF
תוכנית של דירה בצורת האות L. בכל פינה זווית ישרה, ולכן חותכים אותה לשני מלבנים ומחברים את השטחים.

אם כל הצלעות גדלות פי 3, פי כמה גדל השטח? ופי כמה גדל הנפח של גוף?

Show the answer and the solution

השטח גדל פי 32=93^2 = 9: שטח הוא אורך כפול אורך. הנפח גדל פי 33=273^3 = 27: שלושה כיוונים.

הכלל: אורך פי k, שטח פי k², נפח פי k³

L′=k⋅LS′=k2⋅SV′=k3⋅V\begin{aligned}L' &= k \cdot L \qquad S' \\ &= k^2 \cdot S \qquad V' \\ &= k^3 \cdot V\end{aligned}

L,S,VL, S, V הם אורך, שטח ונפח בשרטוט, והמסומנים בגרש הם במציאות. בקנה מידה 1:n1 : n, היחס הוא k=nk = n.

במפות גדולות k2k^2 הוא מספר עצום, ולכן יש דרך נוחה יותר: ממירים קודם ס״מ אחד של המפה למטרים, ורק אז מעלים בריבוע.

אגם במפה

במפה בקנה מידה 1:25,0001 : 25{,}000 שטחו של אגם הוא 8 סמ״ר. מהו שטחו במציאות, בדונם?

1 ס״מ→25,000 ס״מ=250 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 25{,}000 \text{ ס״מ} = 250 \text{ מ׳}

ס״מ אחד במפה

1 סמ״ר→2502=62,500 מ״ר1 \text{ סמ״ר} \to 250^2 = 62{,}500 \text{ מ״ר}

ריבוע של 1 ס״מ על 1 ס״מ הוא ריבוע של 250 מ׳ על 250 מ׳

8⋅62,500=500,000 מ״ר8 \cdot 62{,}500 = 500{,}000 \text{ מ״ר}

שמונה ריבועים כאלה

500,000:1000=500 דונם500{,}000 : 1000 = 500 \text{ דונם}

בדונם 1000 מ״ר

במפה בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000: כמה מ״ר במציאות מייצג סמ״ר אחד במפה?

Show the answer and the solution

ס״מ אחד הוא 10,00010{,}000 ס״מ, כלומר 100 מטר. סמ״ר אחד הוא 1002=10,000100^2 = 10{,}000 מ״ר, 10 דונם.

מהשטחים אל קנה המידה

מהו קנה המידה?

שטח חדר במציאות הוא 20 מ״ר, ובתוכנית הוא 20 סמ״ר. מהו קנה המידה של התוכנית?

20 מ״ר=200,000 סמ״ר20 \text{ מ״ר} = 200{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

k2=200,000:20=10,000\begin{aligned}k^2 &= 200{,}000 : 20 \\ &= 10{,}000\end{aligned}

יחס השטחים הוא k2k^2

k=10,000=100\begin{aligned}k &= \sqrt{10{,}000} \\ &= 100\end{aligned}

מוציאים שורש

1:1001 : 100

קנה המידה

יחס השטחים הוא לא קנה המידה. אחרי החילוק תמיד מוציאים שורש. בדיקה מהירה: k2k^2 יוצא ריבוע של מספר שלם כמו 100100, 400400 או 10,00010{,}000.

דגמים ונפחים

דגם של מכולה

דגם של מכולת מים בקנה מידה 1:201 : 20 מחזיק חצי ליטר. כמה מים מחזיקה המכולה האמיתית?

k3=203=8000\begin{aligned}k^3 &= 20^3 \\ &= 8000\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3

0.5⋅8000=4000 ליטר0.5 \cdot 8000 = 4000 \text{ ליטר}

הנפח במציאות

4000 ליטר=4 מ״ק4000 \text{ ליטר} = 4 \text{ מ״ק}

במ״ק 1000 ליטר

שלוש הטעויות של שטח ונפח בקנה מידה.

S′=100⋅SS' = 100 \cdot S
S′=1002⋅SS' = 100^2 \cdot S

בקנה מידה 1:1001 : 100 השטח גדל פי 10,000. פי 100 נכון רק לאורכים.

k=200,000:20=10,000\begin{aligned}k &= 200{,}000 : 20 \\ &= 10{,}000\end{aligned}
k=10,000=100\begin{aligned}k &= \sqrt{10{,}000} \\ &= 100\end{aligned}

יחס השטחים הוא k2k^2. שכחו להוציא שורש.

V′=202⋅VV' = 20^2 \cdot V
V′=203⋅VV' = 20^3 \cdot V

לנפח שלושה כיוונים, ולכן החזקה היא 3.

Exercises

Exercise 1

ABCD
חדר העבודה ABCD בתוכנית

בתוכנית של דירה בקנה מידה 1:1001 : 100, חדר העבודה ABCD הוא 5 ס״מ על 3 ס״מ. מהו שטחו במציאות, במ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

5 ס״מ→5 מ׳,3 ס״מ→3 מ׳5 \text{ ס״מ} \to 5 \text{ מ׳} ,\quad 3 \text{ ס״מ} \to 3 \text{ מ׳}

בקנה מידה 1:1001 : 100, ס״מ אחד הוא מטר אחד

5⋅3=155 \cdot 3 = 15

שטח המלבן, במ״ר

ממירים את הצלעות לפני הכפל, וכך אין צורך לזכור פי כמה גדל השטח. מי שכפל 15⋅10015 \cdot 100 קיבל 15001500 סמ״ר, פחות ממ״ר אחד.

Check the answer on elev

Exercise 2

במפה בקנה מידה 1:50,0001 : 50{,}000: כמה מ״ר במציאות מייצג סמ״ר אחד במפה?

Show the answer and the solution

Answer: 250000

Worked solution:

1 ס״מ→50,000 ס״מ=500 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 50{,}000 \text{ ס״מ} = 500 \text{ מ׳}

אורך

5002=250,000500^2 = 250{,}000

שטח: היחס בריבוע

250,000250{,}000 מ״ר הם 250 דונם. מי שענה 500 שכח שסמ״ר הוא ריבוע, ולא קטע.

Check the answer on elev

Exercise 3

מגדילים שרטוט כך שכל אורך גדל פי 3. פי כמה גדל שטח של כל צורה בשרטוט?

  1. 33
  2. 99
  3. 66
  4. 2727
Show the answer and the solution

Answer: B 99

Worked solution:

k=3k = 3

יחס האורכים

k2=9k^2 = 9

יחס השטחים

הנכונה: 9. 6=2⋅36 = 2 \cdot 3 מכפיל ב-2 במקום להעלות בריבוע. 27=3327 = 3^3 הוא יחס הנפחים.

Check the answer on elev

Exercise 4

במפה בקנה מידה 1:20,0001 : 20{,}000 שטחו של פארק הוא 6 סמ״ר. מהו שטח הפארק במציאות, בדונם?

Show the answer and the solution

Answer: 240

Worked solution:

1 ס״מ→200 מ׳1 \text{ ס״מ} \to 200 \text{ מ׳}

ס״מ אחד במפה

1 סמ״ר→2002=40,000 מ״ר1 \text{ סמ״ר} \to 200^2 = 40{,}000 \text{ מ״ר}

סמ״ר אחד במפה

6⋅40,000=240,000 מ״ר=240 דונם\begin{aligned}6 \cdot 40{,}000 &= 240{,}000 \text{ מ״ר} \\ &= 240 \text{ דונם}\end{aligned}

שישה סמ״ר, ואז לדונם

הטעות הנפוצה: 6⋅200=12006 \cdot 200 = 1200 מ״ר. זה כופל שטח ביחס האורך.

Check the answer on elev

Exercise 5

שטח מרפסת במציאות הוא 48 מ״ר, ובתוכנית הוא 12 סמ״ר. קנה המידה של התוכנית הוא 1:n1 : n. מצאו את nn.

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

48 מ״ר=480,000 סמ״ר48 \text{ מ״ר} = 480{,}000 \text{ סמ״ר}

אותן יחידות

k2=480,000:12=40,000\begin{aligned}k^2 &= 480{,}000 : 12 \\ &= 40{,}000\end{aligned}

יחס השטחים

k=40,000=200\begin{aligned}k &= \sqrt{40{,}000} \\ &= 200\end{aligned}

שורש

מי שענה 40,000 עצר ביחס השטחים. קנה המידה הוא יחס של אורכים, ולכן מוציאים שורש.

Check the answer on elev

Exercise 6

דגם של מיכל דלק בקנה מידה 1:501 : 50. נפח הדגם 60 סמ״ק. מה נפח המיכל האמיתי, בליטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 7500

Worked solution:

k3=503=125,000\begin{aligned}k^3 &= 50^3 \\ &= 125{,}000\end{aligned}

נפח: היחס בחזקת 3

60⋅125,000=7,500,000 סמ״ק60 \cdot 125{,}000 = 7{,}500{,}000 \text{ סמ״ק}

הנפח האמיתי

7,500,000:1000=75007{,}500{,}000 : 1000 = 7500

בליטר 1000 סמ״ק

מי שכפל ב-50250^2 קיבל 150 ליטר, כאילו לנפח שני כיוונים בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: בתוכנית בקנה מידה 1:1001 : 100, שטח של חדר במציאות גדול פי 100 משטחו בתוכנית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

k=100k = 100

יחס האורכים

k2=10,000k^2 = 10{,}000

יחס השטחים

הטענה לא נכונה. השטח גדל פי 10,000. פי 100 נכון רק לאורך, לרוחב ולהיקף.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDEF

בתוכנית בקנה מידה 1:2001 : 200 מופיעה דירה ABCDEF, וכל זוויותיה ישרות (ראו שרטוט). בתוכנית: AB = 6 ס״מ, BC = 3 ס״מ, EF = 4 ס״מ, AF = 5 ס״מ. מהו שטח הדירה במציאות, במ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 104

Worked solution:

CD=6−4=2DE=5−3=2\begin{aligned}CD &= 6 - 4 \\ &= 2 \\ \quad DE &= 5 - 3 \\ &= 2\end{aligned}

צלעות נגדיות במלבן שוות

6⋅3+4⋅2=26 סמ״ר6 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 26 \text{ סמ״ר}

השטח בתוכנית: שני מלבנים

1 ס״מ→2 מ׳ ⇒ 1 סמ״ר→4 מ״ר1 \text{ ס״מ} \to 2 \text{ מ׳} \ \Rightarrow \ 1 \text{ סמ״ר} \to 4 \text{ מ״ר}

ס״מ אחד הוא 200 ס״מ

26⋅4=10426 \cdot 4 = 104

השטח במציאות

מי שכפל 26⋅2=5226 \cdot 2 = 52 השתמש ביחס האורך. הדרך הבטוחה: ממירים כל צלע למטרים (12, 6, 8, 10) ומחשבים 12⋅6+8⋅4=10412 \cdot 6 + 8 \cdot 4 = 104.

Check the answer on elev

Exercise 9

בתוכנית בקנה מידה 1:501 : 50 שטח מטבח הוא 30 סמ״ר. תלמידה חישבה את שטחו במציאות. שורה אחת שגויה, מצאו אותה.

k=50k = 50
S′=30⋅50=1500 סמ״ר\begin{aligned}S' &= 30 \cdot 50 \\ &= 1500 \text{ סמ״ר}\end{aligned}
1500 סמ״ר=0.15 מ״ר1500 \text{ סמ״ר} = 0.15 \text{ מ״ר}
Show the answer and the solution

Answer: S′=30⋅50=1500 סמ״רS' = 30 \cdot 50 = 1500 \text{ סמ״ר} → S′=30⋅502=75,000 סמ״רS' = 30 \cdot 50^2 = 75{,}000 \text{ סמ״ר}

Worked solution:

S′=30⋅2500=75,000 סמ״ר\begin{aligned}S' &= 30 \cdot 2500 \\ &= 75{,}000 \text{ סמ״ר}\end{aligned}

שטח: היחס בריבוע

75,000:10,000=7.5 מ״ר75{,}000 : 10{,}000 = 7.5 \text{ מ״ר}

המרה למ״ר

המטבח 7.57.5 מ״ר. מטבח של 0.150.15 מ״ר הוא בגודל של מגש: בדיקת היגיון תופסת את הטעות כבר בשורה השנייה.

Check the answer on elev

Exercise 10

במפה בקנה מידה 1:10,0001 : 10{,}000 שטחה של חורשה הוא 18 סמ״ר. מה יהיה שטחה, בסמ״ר, במפה בקנה מידה 1:30,0001 : 30{,}000?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

30,000:10,000=330{,}000 : 10{,}000 = 3

המפה השנייה מוקטנת פי 3 באורך

32=93^2 = 9

ולכן פי 9 בשטח

18:9=218 : 9 = 2

השטח במפה השנייה

מי שחילק ב-3 קיבל 6 סמ״ר. בין שתי מפות, כמו בין מפה למציאות, השטח משתנה ביחס בריבוע.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade