Ratio and proportion

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחומוסייה קטנה מכינים חומוס מגרגרים ומטחינה, שלוש כוסות גרגרים לכל כוס טחינה. ביום רגיל שמים 6 כוסות גרגרים ו-2 כוסות טחינה. ביום שישי שמים 30 כוסות גרגרים ו-10 כוסות טחינה. הכמויות שונות לגמרי, והטעם זהה. מה שנשמר הוא לא הכמות, אלא היחס: 6:26 : 2 ו-30:1030 : 10 הם שניהם 3:13 : 1.

לפי האנימציה: כמה שווה חלק אחד, ולמה מחלקים את 450 ב-9 ולא ב-4 או ב-5?

Show the answer and the solution

חלק אחד שווה 50 שקלים. הסכום כולו מורכב מ-4+5=94+5=9 חלקים שווים. נועה מקבלת 4⋅50=2004 \cdot 50=200 ואיתי 5⋅50=2505 \cdot 50=250. בדיקה: 200+250=450200+250=450 ✓

יחס הוא השוואה בחילוק

a:b=aba : b = \frac{a}{b}

היחס לא משתנה כשכופלים או מחלקים את שני האיברים באותו מספר.

לכן מצמצמים יחס כמו שמצמצמים שבר. ויש כלל אחד שאסור לשכוח: משווים רק כמויות באותן יחידות. לפני שמצמצמים ס״מ ומטרים, או דקות ושעות, ממירים ליחידה אחת.

36:48=3:436 : 48 = 3 : 4

מחלקים את שני האיברים ב-12

0.5:2=1:40.5 : 2 = 1 : 4

כופלים את שני האיברים ב-2 ומקבלים מספרים שלמים

40 ס״מ:2 מ׳=40:200=1:5\begin{aligned}40 \text{ ס״מ} : 2 \text{ מ׳} &= 40 : 200 \\ &= 1 : 5\end{aligned}

קודם ממירים את המטרים לס״מ

12:18:30=2:3:512 : 18 : 30 = 2 : 3 : 5

יחס של שלוש כמויות: מחלקים את שלושתן ב-6

צמצמו את היחס בין 45 דקות לבין שעתיים.

Show the answer and the solution

שעתיים הן 120 דקות. 45:120=3:845 : 120 = 3 : 8 (מחלקים ב-15). מי שכתב 45:245 : 2 השווה דקות לשעות.

חלוקה ביחס: שלושה צעדים

11

סופרים את מספר החלקים: מחברים את איברי היחס

22

מחלקים את הכמות במספר החלקים: זה הערך של חלק אחד

33

כופלים את הערך של חלק אחד במספר החלקים של כל אחד

פרס של שלושה

שלושה חברים זכו בפרס של 1,200 שקלים ומחלקים אותו ביחס 2:3:52 : 3 : 5. כמה מקבל כל אחד?

2+3+5=102+3+5=10

10 חלקים

1200:10=1201200 : 10 = 120

חלק אחד שווה 120 שקלים

2⋅120=2403⋅120=3605⋅120=600\begin{aligned}2 \cdot 120 &= 240 \\ \quad 3 \cdot 120 &= 360 \\ \quad 5 \cdot 120 &= 600\end{aligned}

כל אחד לפי מספר החלקים שלו

240+360+600=1200240+360+600=1200

בדיקה ✓

פרופורציה ומכפלה בהצלבה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. כשאחד מארבעת המספרים חסר, מוצאים אותו במכפלה בהצלבה. כך פותרים גם בעיות של ערך משולש: שתי כמויות שגדלות יחד באותו יחס. פי 2 מזה, פי 2 מזה.

ab=cd  ⟺  a⋅d=b⋅c\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{c}{d} \iff a \cdot d \\ &= b \cdot c\end{aligned}

דלק לאילת

מכונית צורכת 8 ליטר דלק לכל 100 ק״מ. כמה ליטר תצרוך בנסיעה של 350 ק״מ?

8100=x350\frac{8}{100}=\frac{x}{350}

ליטרים למעלה, קילומטרים למטה, בשני הצדדים

100x=8⋅350=2800\begin{aligned}100x &= 8 \cdot 350 \\ &= 2800\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

x=28x = 28

28 ליטר

מתכון לעוגה ל-4 אנשים דורש 300 גרם קמח. כמה קמח צריך ל-10 אנשים?

Show the answer and the solution

3004=x10\frac{300}{4}=\frac{x}{10}, ולכן x=750x=750 גרם. דרך אחרת: לאדם אחד 75 גרם, ול-10 אנשים 750750.

לפני שכותבים פרופורציה, בודקים שהכמויות באמת גדלות יחד. קמח ואנשים: כן. פועלים וזמן עבודה: לא, יותר פועלים מסיימים מהר יותר, וזו כבר לא פרופורציה ישרה.

שלוש הטעויות של יחס.

450:4 ו- 450:5450 : 4 \ \text{ו-} \ 450 : 5
450:(4+5)=50450 : (4+5) = 50

מחלקים את הסכום במספר החלקים כולו, לא בכל איבר לחוד.

40 ס״מ:2 מ׳=20:140 \text{ ס״מ} : 2 \text{ מ׳} = 20 : 1
40:200=1:540 : 200 = 1 : 5

השוו ס״מ למטרים. קודם ממירים ליחידה אחת.

2:3=12:x⇒x=8\begin{aligned}2 : 3 &= 12 : x \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}
x=18x = 18

הסדר הוחלף. אם 2 הם 12, כל חלק הוא 6, ו-3 חלקים הם 18.

Exercises

Exercise 1

צמצמו את היחס 36:6036 : 60.

  1. 5:35 : 3
  2. 2:32 : 3
  3. 3:53 : 5
  4. 4:54 : 5
Show the answer and the solution

Answer: C 3:53 : 5

Worked solution:

36:12=360:12=5\begin{aligned}36 : 12 &= 3 \\ \quad 60 : 12 &= 5\end{aligned}

מחלקים את שני האיברים ב-12, המחלק המשותף הגדול

הנכונה: 3:53 : 5. 5:35 : 3 הופך את הסדר: האיבר הראשון שייך לכמות הראשונה. 2:32 : 3 שווה ל-40:6040 : 60, לא ל-36:6036 : 60.

Check the answer on elev

Exercise 2

דנה ורון מחלקים 840 שקלים ביחס 3:43 : 4 (דנה : רון). כמה שקלים מקבל רון?

Show the answer and the solution

Answer: 480

Worked solution:

3+4=73+4=7

7 חלקים

840:7=120840 : 7 = 120

חלק אחד

4⋅120=4804 \cdot 120 = 480

לרון 4 חלקים

מי שחילק 840:4=210840 : 4 = 210 שכח שהסכום כולו הוא 7 חלקים, לא 4.

Check the answer on elev

Exercise 3

בחוג רובוטיקה היחס בין הבנים לבנות הוא 5:75 : 7. בחוג 15 בנים. כמה בנות בחוג?

Show the answer and the solution

Answer: 21

Worked solution:

15:5=315 : 5 = 3

חלק אחד: 3 ילדים

7⋅3=217 \cdot 3 = 21

לבנות 7 חלקים

כאן ידוע חלק מהכמות, לא הסכום. מחלקים את 15 ב-5, מספר החלקים של הבנים, ולא ב-12.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את xx: x12=1520\frac{x}{12}=\frac{15}{20}

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

20x=15⋅12=180\begin{aligned}20x &= 15 \cdot 12 \\ &= 180\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

x=9x = 9

מחלקים ב-20

אפשר גם לצמצם קודם: 1520=34\frac{15}{20}=\frac{3}{4}, ו-912=34\frac{9}{12}=\frac{3}{4} ✓. הטעות הנפוצה היא לכפול 15⋅2015 \cdot 20, כלומר בקו ישר ולא בהצלבה.

Check the answer on elev

Exercise 5

מכונית צורכת 8 ליטר דלק לכל 100 ק״מ. הנסיעה מתל אביב לקריית שמונה היא 175 ק״מ. כמה ליטר דלק תצרוך המכונית?

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

8100=x175\frac{8}{100}=\frac{x}{175}

פרופורציה: ליטרים לקילומטרים

x=8⋅175100=14\begin{aligned}x &= \frac{8 \cdot 175}{100} \\ &= 14\end{aligned}

מכפלה בהצלבה

בדיקת היגיון: 175 ק״מ הם קצת פחות מפי 2 מ-100 ק״מ, ולכן גם הדלק קצת פחות מפי 2 מ-8.

Check the answer on elev

Exercise 6

תערובת בטון מכילה מלט, חול וחצץ ביחס 2:3:52 : 3 : 5. מכינים 60 ק״ג תערובת. השלימו.

מלט: ____ ק״ג , חול: ____ ק״ג , חצץ: ____ ק״ג

Show the answer and the solution

Answer: מלט: 12 ק״ג , חול: 18 ק״ג , חצץ: 30 ק״ג

Worked solution:

2+3+5=102+3+5=10

10 חלקים

60:10=660 : 10 = 6

חלק אחד: 6 ק״ג

12+18+30=6012+18+30=60

בדיקה ✓

ביחס של שלוש כמויות סופרים את שלושת האיברים. מי שחילק ב-5 או ב-8 השמיט אחת מהכמויות.

Check the answer on elev

Exercise 7

איזה יחס שווה ליחס בין 40 ס״מ לבין 1.2 מטר?

  1. 1:31 : 3
  2. 1:301 : 30
  3. 10:310 : 3
  4. 3:13 : 1
Show the answer and the solution

Answer: A 1:31 : 3

Worked solution:

1.2 מ׳=120 ס״מ1.2 \text{ מ׳} = 120 \text{ ס״מ}

ממירים ליחידה אחת

40:120=1:340 : 120 = 1 : 3

מצמצמים ב-40

הנכונה: 1:31 : 3. 10:310 : 3 מתקבל מ-40:1240 : 12, כלומר בהמרה של 1.21.2 מטר ל-12 במקום ל-120. 3:13 : 1 הופך את הסדר.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: אם מוסיפים 2 לשני האיברים של היחס 2:32 : 3, מתקבל יחס שווה לו.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

2:3 → 4:52 : 3 \ \to \ 4 : 5

מוסיפים 2 לכל איבר

23≈0.67≠45=0.8\frac{2}{3} \approx 0.67 \neq \frac{4}{5} = 0.8

היחסים שונים

הטענה לא נכונה. יחס נשמר בכפל ובחילוק, לא בחיבור. 4:64 : 6 היה שווה ל-2:32 : 3, אבל 4:54 : 5 אינו שווה לו.

Check the answer on elev

Exercise 9

היחס בין החסכונות של מאיה לחסכונות של טל הוא 5:35 : 3. למאיה יש 240 שקלים יותר מלטל. כמה שקלים חסכה מאיה?

Show the answer and the solution

Answer: 600

Worked solution:

5−3=25-3=2

ההפרש הוא 2 חלקים

240:2=120240 : 2 = 120

חלק אחד

5⋅120=6005 \cdot 120 = 600

למאיה 5 חלקים

600−360=240600-360=240

בדיקה: לטל 360 ✓

כאן נתון ההפרש, לא הסכום. לכן מחלקים ב-5−3=25-3=2 ולא ב-5+3=85+3=8.

Check the answer on elev

Exercise 10

מכינים מיץ פטל ביחס 1:41 : 4 (תרכיז : מים). כמה מיליליטר תרכיז יש ב-2 ליטר משקה מוכן?

Show the answer and the solution

Answer: 400

Worked solution:

2 ליטר=2000 מ״ל2 \text{ ליטר} = 2000 \text{ מ״ל}

ממירים למיליליטר

1+4=51+4=5

5 חלקים במשקה

2000:5=4002000 : 5 = 400

התרכיז הוא חלק אחד

המשקה המוכן הוא תרכיז ועוד מים, 5 חלקים. מי שחילק 2000 ב-4 קיבל 500, כאילו המים לבדם הם 2 ליטר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade