What similarity is

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בחנות צילום בחיפה מגדילים תמונה של 1010 על 1515 ס״מ. בהגדלה אחת יוצאת תמונה של 2020 על 3030 ס״מ, והפנים נראים בדיוק אותו דבר. בהגדלה אחרת יוצאת תמונה של 2020 על 2020 ס״מ, והפנים נראים מתוחים לרוחב. מה ההבדל בין שתי ההגדלות? הסתכלו על שני המשולשים שלמטה לפני כל הגדרה.

ABCDEF
המשולש DEFDEF הוא הגדלה של המשולש ABCABC: כל צלע ארוכה פי 22.

מה נשאר זהה בין שני המשולשים, ומה השתנה?

Show the answer and the solution

הזוויות נשארו אותן זוויות בדיוק: הצורה לא נמתחה. האורכים השתנו, וכולם באותו יחס: כל צלע ארוכה פי 22. בתמונה של 2020 על 2020 הרוחב גדל פי 22 והגובה רק פי 43\frac{4}{3}, ולכן הצורה התעוותה.

משולשים דומים

שני משולשים הם דומים אם אחד מהם הוא הגדלה או הקטנה של השני. במילים של גאומטריה, שני תנאים: הזוויות המתאימות שוות, וכל צלע במשולש אחד שווה לצלע המתאימה במשולש השני כפול אותו מספר. המספר הזה הוא יחס הדמיון kk.

△ABC∼△DEF⇒DEAB=EFBC=DFAC=k\begin{aligned}\triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \Rightarrow \quad \frac{DE}{AB} &= \frac{EF}{BC} \\ &= \frac{DF}{AC} \\ &= k\end{aligned}
k>1k>1

הגדלה: המשולש השני גדול יותר.

k<1k<1

הקטנה: המשולש השני קטן יותר, כמו בשרטוט של מפה.

k=1k=1

חפיפה: אותה צורה ואותו גודל.

צלעות משולש אחד הן 33, 44 ו-55, וצלעות משולש שני הן 66, 88 ו-1010. האם המשולשים דומים, ומהו יחס הדמיון?

Show the answer and the solution

כן. 63=84=105=2\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2. שלושה יחסים שווים, ולכן k=2k=2.

מי מתאים למי

הסימון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF אומר גם מי מתאים למי: AA ל-DD, BB ל-EE ו-CC ל-FF. לכן ABAB מתאימה ל-DEDE, ו-∠C=∠F\angle C = \angle F. כשאין סימון, מתאימים לפי הגודל: הצלע הקצרה לקצרה, הארוכה לארוכה.

צלעות של משולש מוגדל

צלעות משולש הן 44, 66 ו-88 ס״מ. משולש דומה לו מוגדל, והצלע הקצרה בו היא 66 ס״מ. מצאו את שתי הצלעות האחרות.

k=64=1.5\begin{aligned}k &= \frac{6}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

הקצרה מול הקצרה: יחס הדמיון

6⋅1.5=96 \cdot 1.5 = 9

הצלע האמצעית

8⋅1.5=128 \cdot 1.5 = 12

הצלע הארוכה

64=96=128=1.5 ✓\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: שלושה יחסים שווים

שתי הטעויות של ההגדלה.

3, 4, 5 → 5, 6, 73,\ 4,\ 5 \ \to \ 5,\ 6,\ 7
3, 4, 5 → 6, 8, 103,\ 4,\ 5 \ \to \ 6,\ 8,\ 10

בהגדלה כופלים כל צלע באותו מספר. הוספת 22 לכל צלע משנה את הצורה: 53≠75\frac{5}{3} \neq \frac{7}{5}.

△ABC∼△DEF ⇒ DEAC\triangle ABC \sim \triangle DEF \ \Rightarrow \ \frac{DE}{AC}
DEAB\frac{DE}{AB}

לפי הסדר, DEDE מתאימה ל-ABAB. מתאימים לפי סדר האותיות, לא לפי המקום בשרטוט.

לפני כל חישוב כתבו את הדמיון בסדר הנכון. כל יחס שתכתבו אחר כך נקרא ישר מתוך הסימון.

Exercises

Exercise 1

ABCDEF

צלעות המשולש ABCABC הן 33, 55 ו-66 ס״מ. מגדילים אותו פי 33 ומקבלים את המשולש DEFDEF. מהן צלעות המשולש DEFDEF?

  1. 99, 1515 ו-1818 ס״מ
  2. 66, 88 ו-99 ס״מ
  3. 99, 1515 ו-66 ס״מ
  4. 11, 53\frac{5}{3} ו-22 ס״מ
Show the answer and the solution

Answer: A 99, 1515 ו-1818 ס״מ

Worked solution:

3⋅3=95⋅3=156⋅3=18\begin{aligned}3 \cdot 3 &= 9 \\ \quad 5 \cdot 3 &= 15 \\ \quad 6 \cdot 3 &= 18\end{aligned}

כל צלע כפול 33

הנכונה: 99, 1515 ו-1818. «66, 88 ו-99» מוסיפה 33 במקום לכפול. «11, 53\frac{5}{3}, 22» מחלקת: זו הקטנה.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. AB=4AB = 4 ס״מ ו-DE=10DE = 10 ס״מ. מהו יחס הדמיון של המשולש DEFDEF למשולש ABCABC? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

k=DEAB=104=2.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

צלע במשולש השני חלקי הצלע המתאימה במשולש הראשון

k=2.5k = 2.5. המשולש DEFDEF גדול יותר, ולכן k>1k > 1. מי שכתב 410\frac{4}{10} הפך את הכיוון.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCDEF

צלעות משולש אחד הן 22, 33 ו-44, וצלעות משולש שני הן 44, 55 ו-66. המשולשים דומים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

42=253≈1.6764=1.5\begin{aligned}\frac{4}{2} &= 2 \\ \quad \frac{5}{3} \approx 1.67 \\ \quad \frac{6}{4} &= 1.5\end{aligned}

שלושה יחסים שונים

לא נכון. כל צלע גדלה ב-22, אבל לא פי אותו מספר. הוספה של מספר קבוע אינה הגדלה.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCDEF

צלעות משולש אחד הן 55, 77 ו-99, וצלעות משולש שני הן 1515, 2121 ו-2727. המשולשים דומים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

155=217=279=3\begin{aligned}\frac{15}{5} &= \frac{21}{7} \\ &= \frac{27}{9} \\ &= 3\end{aligned}

שלושה יחסים שווים

נכון, ויחס הדמיון 33. מתאימים קצרה לקצרה וארוכה לארוכה, ורק אז מחלקים.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ∠A=50∘\angle A = 50^\circ ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מהי הזווית ∠F\angle F, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

∠C=180∘−50∘−70∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠F=∠C=60∘\begin{aligned}\angle F &= \angle C \\ &= 60^\circ\end{aligned}

לפי הסדר, CC מתאימה ל-FF, וזוויות מתאימות שוות

∠F=60∘\angle F = 60^\circ. בדמיון הזוויות לא גדלות: רק האורכים מוכפלים ב-kk.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. AB=6AB = 6, BC=9BC = 9 ו-DE=4DE = 4 ס״מ. מצאו את EFEF, בס״מ.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

k=DEAB=46=23\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון מזוג צלעות ידוע

EF=BC⋅k=9⋅23=6\begin{aligned}EF &= BC \cdot k \\ &= 9 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 6\end{aligned}

EFEF מתאימה ל-BCBC

EF=6EF = 6 ס״מ. כאן k<1k<1: המשולש DEFDEF הוא הקטנה, ולכן כל צלע בו קטנה מהמתאימה לה.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, ויחס הדמיון של DEFDEF ל-ABCABC הוא 33. AB=2AB = 2, BC=5BC = 5 ו-AC=4AC = 4 ס״מ. השלימו.

DE=DE = ____ ס״מ , EF=EF = ____ ס״מ , DF=DF = ____ ס״מ

Show the answer and the solution

Answer: DE=DE = 6 ס״מ , EF=EF = 15 ס״מ , DF=DF = 12 ס״מ

Worked solution:

DE=3⋅AB=6\begin{aligned}DE &= 3 \cdot AB \\ &= 6\end{aligned}
EF=3⋅BC=15\begin{aligned}EF &= 3 \cdot BC \\ &= 15\end{aligned}
DF=3⋅AC=12\begin{aligned}DF &= 3 \cdot AC \\ &= 12\end{aligned}

כל צלע כפול 33. היזהרו: DFDF מתאימה ל-ACAC, לא ל-BCBC.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDEF

איזו טענה נכונה?

  1. כל שני משולשים שווי צלעות דומים
  2. כל שני משולשים ישרי זווית דומים
  3. שני משולשים שיש להם זווית אחת שווה דומים
  4. כל שני משולשים שווי שוקיים דומים
Show the answer and the solution

Answer: A כל שני משולשים שווי צלעות דומים

Worked solution:

60∘, 60∘, 60∘60^\circ ,\ 60^\circ ,\ 60^\circ

בכל משולש שווה צלעות כל הזוויות 60∘60^\circ, והצלעות ביחס 1:1:11:1:1

הנכונה: שווי צלעות. בשווי שוקיים ובישרי זווית הזוויות יכולות להיות שונות: למשל 40∘,40∘,100∘40^\circ, 40^\circ, 100^\circ מול 70∘,70∘,40∘70^\circ, 70^\circ, 40^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDEF

מיינו את זוגות המשולשים לפי אורכי הצלעות: דומים או לא דומים?

  • דומים
  • לא דומים
  • 1,1,11,1,1 ו-7,7,77,7,7
  • 2,2,32,2,3 ו-4,4,64,4,6
  • 2,3,42,3,4 ו-3,4,53,4,5
  • 3,4,53,4,5 ו-6,8,106,8,10
  • 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12
Show the answer and the solution

Answer: 3,4,53,4,5 ו-6,8,106,8,10 — דומים · 2,2,32,2,3 ו-4,4,64,4,6 — דומים · 1,1,11,1,1 ו-7,7,77,7,7 — דומים · 2,3,42,3,4 ו-3,4,53,4,5 — לא דומים · 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12 — לא דומים

Worked solution:

63=84=10542=42=6371=71=71\begin{aligned}\frac{6}{3} &= \frac{8}{4} \\ &= \frac{10}{5} \\ \quad \frac{4}{2} &= \frac{4}{2} \\ &= \frac{6}{3} \\ \quad \frac{7}{1} &= \frac{7}{1} \\ &= \frac{7}{1}\end{aligned}

יחס אחד לכל הצלעות

32≠43,105≠128\frac{3}{2} \neq \frac{4}{3} ,\qquad \frac{10}{5} \neq \frac{12}{8}

יחסים שונים

בודקים שלושה יחסים, קצרה מול קצרה. בזוג 5,5,85,5,8 ו-10,10,1210,10,12 השוקיים גדלו פי 22 והבסיס רק פי 1.51.5: המלכודת היא לבדוק רק זוג צלעות אחד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade