Standard deviation from a frequency table · Standard deviation · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרים תלמידים בשכבת יא ספרו כמה ספרים קראו בחופש הגדול. במקום רשימה של עשרים מספרים, התוצאות מסוכמות בדיאגרמה: מעל כל מספר ספרים, כמה תלמידים קראו בדיוק כך.

העמודה מעל

3

בגובה

9

: תשעה תלמידים קראו שלושה ספרים. רוב העמודות הגבוהות צמודות ל-

3

, ולכן הפיזור כאן קטן.

כמה תלמידים יש בסך הכול? ומהו מספר הספרים הממוצע?

Show the answer and the solution

$1+5+9+3+2=20$ תלמידים. הממוצע המשוקלל: $\frac{1 \cdot 1+2 \cdot 5+3 \cdot 9+4 \cdot 3+5 \cdot 2}{20}=\frac{60}{20}=3$ ספרים.

הנוסחה עם שכיחויות

בטבלת שכיחויות, כל ערך $x$ מופיע $f$ פעמים (השכיחות). לכן גם ריבוע הסטייה שלו נספר $f$ פעמים: מכפילים אותו בשכיחות. ומחלקים ב- $n$ , מספר כל הנתונים, שהוא סכום השכיחויות.

S = \sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{n}}

גם זו בנוסחאון. $k$ הוא מספר הערכים השונים, ו- $n=f_1+f_2+\dots+f_k$ .

הדרך הבטוחה היא להוסיף לטבלה שורות: סטייה, ריבוע הסטייה, ושכיחות כפול ריבוע. בסוף מחברים את השורה האחרונה.

טבלת העבודה, עם

\bar{x}=3

מספר ספרים $x$	1	2	3	4	5	סכום
שכיחות $f$	1	5	9	3	2	20
$x-\bar{x}$	-2	-1	0	1	2
$(x-\bar{x})^2$	4	1	0	1	4
$f \cdot (x-\bar{x})^2$	4	5	0	3	8	20

סטיית התקן של הספרים

ממשיכים מטבלת העבודה.

1 \cdot 4 + 5 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 20

סכום השורה האחרונה

\frac{20}{20} = 1

מחלקים ב- $n=20$ , מספר התלמידים

\begin{aligned}S &= \sqrt{1} \\ &= 1\end{aligned}

סטיית התקן: ספר אחד

למה מחלקים ב- $20$ ולא ב- $5$ , מספר העמודות?

Show the answer and the solution

כי יש עשרים נתונים, תלמיד אחד לכל נתון. חמש העמודות הן רק דרך קצרה לכתוב אותם. חלוקה ב- $5$ הייתה נותנת $\sqrt{4}=2$ : פיזור כפול מהאמיתי.

שתי בדיקות מהירות: סכום השכיחויות שווה ל- $n$ , וסכום שכיחות כפול סטייה הוא $0$ . כאן $1 \cdot (-2)+5 \cdot (-1)+0+3 \cdot 1+2 \cdot 2=0$ . אם לא יצא $0$ , הממוצע שגוי.

שלוש טעויות בטבלה.

S = \sqrt{\frac{4+1+0+1+4}{5}}

S = \sqrt{\frac{1 \cdot 4+5 \cdot 1+9 \cdot 0+3 \cdot 1+2 \cdot 4}{20}}

שכחו את השכיחויות: כל תלמיד נספר פעם אחת בלבד, במקום לפי מספר התלמידים.

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{20}} \\ &= 1\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים, לא במספר העמודות.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1+2+3+4+5}{5} \\ &= 3\end{aligned}

\bar{x} = \frac{1 \cdot 1+2 \cdot 5+3 \cdot 9+4 \cdot 3+5 \cdot 2}{20}

כאן יצא אותו מספר במקרה. בטבלה אחרת הממוצע בלי משקלות שגוי, וכל סטיית התקן נבנית עליו.

Exercises

Exercise 1

שערים במשחק

מספר שערים	0	1	2	3	4
מספר משחקים	3	5	6	4	2

בטבלה: מספר השערים שהבקיעה קבוצת כדורגל בכל משחק במשך עונה. מהו מספר השערים הממוצע למשחק?

Show the answer and the solution

Answer: 1.85

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 3+5+6+4+2 \\ &= 20\end{aligned}

מספר המשחקים

0 \cdot 3+1 \cdot 5+2 \cdot 6+3 \cdot 4+4 \cdot 2 = 37

סכום כל השערים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{37}{20} \\ &= 1.85\end{aligned}

הממוצע

הממוצע $1.85$ שערים. מי שחילק ב- $5$ חילק במספר הערכים ולא במספר המשחקים.

Check the answer on elev

Exercise 2

ילדים במשפחה

מספר ילדים	1	2	3	4	5
מספר משפחות	2	3	9	5	1

בטבלה: מספר הילדים ב-20 משפחות בשכונה. הממוצע הוא $3$ ילדים. מצאו את סטיית התקן.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x-\bar{x}:\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2

הסטיות

2 \cdot 4+3 \cdot 1+9 \cdot 0+5 \cdot 1+1 \cdot 4 = 20

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{20}{20}} \\ &= 1\end{aligned}

חלוקה ב- $20$ ושורש

סטיית התקן $1$ ילד. מי שחילק ב- $5$ קיבל $2$ : פיזור כפול מהאמיתי.

Check the answer on elev

Exercise 3

שעות לימוד ביום

מספר שעות	1	2	3	4
מספר תלמידים	4	6	6	4

בטבלה: מספר שעות הלימוד ביום של 20 תלמידים לפני בחינה. מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן, וכתבו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.02

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1 \cdot 4+2 \cdot 6+3 \cdot 6+4 \cdot 4}{20} \\ &= \frac{50}{20} \\ &= 2.5\end{aligned}

הממוצע

4 \cdot 2.25+6 \cdot 0.25+6 \cdot 0.25+4 \cdot 2.25 = 21

הסטיות $\pm 1.5$ ו- $\pm 0.5$ , בריבוע, כפול השכיחות

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{21}{20}} \\ &= \sqrt{1.05} \approx 1.02\end{aligned}

חלוקה ושורש

$S \approx 1.02$ שעות. ממוצע לא שלם לא מפריע: הסטיות יוצאות עשרוניות, והשיטה זהה.

Check the answer on elev

Exercise 4

בטבלת שכיחויות יש $6$ ערכים שונים, וסכום השכיחויות הוא $30$ . כשכופלים כל סטייה בחזקת 2 בשכיחות שלה ומחברים, מקבלים $120$ . מהי סטיית התקן?

$4$
$\sqrt{20}$
$2$
$20$

Show the answer and the solution

Answer: C $2$

Worked solution:

n = 30

מספר הנתונים הוא סכום השכיחויות

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{120}{30}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

הנכונה: $2$ . $\sqrt{20}$ מתקבל מחלוקה ב- $6$ , מספר הערכים. $4$ הוא הממוצע של הריבועים, לפני השורש.

Check the answer on elev

Exercise 5

ביקורים בבריכה בשבוע

מספר ביקורים	1	2	3	4
מספר חברים	3	$x$	5	2

בטבלה: מספר הפעמים שחברי חוג הלכו לבריכה בשבוע. אחת השכיחויות חסרה, והממוצע הוא $2.5$ . מצאו את השכיחות החסרה ואת סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

השכיחות החסרה: ____ , סטיית התקן: ____

Show the answer and the solution

Answer: השכיחות החסרה: 2 , סטיית התקן: 1.04

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{1 \cdot 3+2x+3 \cdot 5+4 \cdot 2}{3+x+5+2} &= \frac{26+2x}{10+x} \\ &= 2.5\end{aligned}

הממוצע, עם הנעלם במונה ובמכנה

\begin{aligned}26+2x &= 25+2.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

כופלים במכנה

3 \cdot 2.25+2 \cdot 0.25+5 \cdot 0.25+2 \cdot 2.25 = 13

שכיחות כפול ריבוע הסטייה, $n=12$

S = \sqrt{\frac{13}{12}} \approx 1.04

חלוקה ושורש

הנעלם נמצא גם במכנה: מספר החברים תלוי בו. מי שכתב $\frac{26+2x}{10}$ קיבל תשובה שגויה.

Check the answer on elev

Exercise 6

בדיאגרמה: מספר הקילומטרים שרצו 20 משתתפים במרוץ עממי. הממוצע הוא $6$ ק״מ. מצאו את סטיית התקן.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x-\bar{x}:\ -4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4

הסטיות

1 \cdot 16+5 \cdot 4+9 \cdot 0+3 \cdot 4+2 \cdot 16 = 80

שכיחות כפול ריבוע הסטייה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{80}{20}} \\ &= 2\end{aligned}

חלוקה ושורש

סטיית התקן $2$ ק״מ. קוראים מהדיאגרמה את השכיחויות: גובה כל עמודה. אלה בדיוק הערכים של השיעור, כפול $2$ , ולכן גם סטיית התקן כפולה.

Check the answer on elev

Exercise 7

נכון או לא נכון: בטבלת שכיחויות שבה רק לערך אחד יש שכיחות שאינה $0$ , סטיית התקן היא $0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\bar{x} = x_1

כל הנתונים שווים לערך הזה

\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{f_1 \cdot 0^2}{f_1}} \\ &= 0\end{aligned}

נכון. כל הנתונים שווים, ולכן כולם שווים לממוצע ואין פיזור.

Check the answer on elev

Exercise 8

בנוסחה של סטיית התקן מטבלה: התאימו לכל סימן את משמעותו.

$f$
$n$
$x-\bar{x}$
$S$

הסטייה של ערך מהממוצע
כמה פעמים הופיע הערך
מספר כל הנתונים
סטיית התקן

Show the answer and the solution

Answer: $f$ — כמה פעמים הופיע הערך · $n$ — מספר כל הנתונים · $x-\bar{x}$ — הסטייה של ערך מהממוצע · $S$ — סטיית התקן

Worked solution:

n = f_1 + f_2 + \dots + f_k

הקשר בין $n$ לשכיחויות

הבלבול הנפוץ הוא בין $n$ לבין מספר הערכים השונים. $n$ סופר נתונים, לא ערכים.

Check the answer on elev

Exercise 9

בטבלה: הציונים (מתוך 10) של 10 תלמידים בבוחן, $5,\ 6,\ 7,\ 8$ עם השכיחויות $2,\ 4,\ 3,\ 1$ . מיכל חישבה את סטיית התקן. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{5 \cdot 2+6 \cdot 4+7 \cdot 3+8 \cdot 1}{10} \\ &= 6.3\end{aligned}

2 \cdot 1.69+4 \cdot 0.09+3 \cdot 0.49+1 \cdot 2.89 = 8.1

S = \sqrt{\frac{8.1}{4}} \approx 1.42

Show the answer and the solution

Answer: $S = \sqrt{\frac{8.1}{4}} \approx 1.42$ → $S = \sqrt{\frac{8.1}{10}} = 0.9$

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 2+4+3+1 \\ &= 10\end{aligned}

מספר התלמידים

\sqrt{0.81} = 0.9

סטיית התקן הנכונה

השורה השלישית שגויה: מיכל חילקה ב- $4$ , מספר הציונים השונים, ולא ב- $10$ , מספר התלמידים.

Check the answer on elev

הנוסחה עם שכיחויות

Exercises

Keep practising on elev