Standard deviation of a list

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשיעור הקודם ראינו שסכום הסטיות מהממוצע הוא תמיד 00. הסתכלו על ארבע עמודות, ועל הקו של הממוצע שלהן, כדי לראות למה.

מהן הסטיות של 4, 9, 6, 54,\ 9,\ 6,\ 5 מהממוצע 66? ומה הסכום של הריבועים שלהן?

Show the answer and the solution

הסטיות: −2, 3, 0, −1-2,\ 3,\ 0,\ -1, והסכום שלהן 00. הריבועים: 4, 9, 0, 14,\ 9,\ 0,\ 1, והסכום 1414. אחרי ההעלאה בריבוע אין מספרים שליליים, ולכן אין ביטול.

הנוסחה של סטיית התקן

S=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2nS = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}

זו הנוסחה שבנוסחאון. SS היא סטיית התקן, xˉ\bar{x} הממוצע ו-nn מספר הנתונים.

במילים: מעלים כל סטייה בריבוע, מחשבים את הממוצע של הריבועים, ומוציאים שורש. השורש מחזיר אותנו ליחידות של הנתונים: אם הנתונים במעלות, גם SS במעלות. סטיית התקן היא בערך המרחק הטיפוסי של נתון מהממוצע.

11

מחשבים את הממוצע xˉ\bar{x}

22

מחשבים לכל נתון את הסטייה x−xˉx-\bar{x}

33

מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים

44

מחלקים ב-nn ומוציאים שורש

חמישה ימים של חורף בירושלים

הטמפרטורות המקסימליות (במעלות) היו 12, 15, 14, 17, 1212,\ 15,\ 14,\ 17,\ 12. מצאו את סטיית התקן.

xˉ=12+15+14+17+125=705=14\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{12+15+14+17+12}{5} \\ &= \frac{70}{5} \\ &= 14\end{aligned}

שלב 1: הממוצע

−2, 1, 0, 3, −2-2,\ 1,\ 0,\ 3,\ -2

שלב 2: הסטיות. בדיקה: הסכום 00

4+1+0+9+4=184 + 1 + 0 + 9 + 4 = 18

שלב 3: סכום הריבועים

S=185=3.6≈1.90\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{18}{5}} \\ &= \sqrt{3.6} \approx 1.90\end{aligned}

שלב 4: חלוקה ב-55 ושורש. בערך 1.91.9 מעלות

מהי סטיית התקן של 20, 20, 20, 2020,\ 20,\ 20,\ 20? ומה אפשר לומר על קבוצה שסטיית התקן שלה 00?

Show the answer and the solution

S=0S=0: כל הסטיות הן 00. ולהפך: אם S=0S=0, כל ריבוע הוא 00, ולכן כל הנתונים שווים לממוצע. סטיית תקן אף פעם אינה שלילית.

בבחינה מותר מחשבון, אבל כתבו את השלבים: ממוצע, סטיות, סכום ריבועים, חלוקה ושורש. כשמקלידים סטייה שלילית בריבוע, שימו סוגריים: (−2)2=4(-2)^2=4. בלי סוגריים המחשבון מחשב −22=−4-2^2=-4.

שלוש הטעויות בחישוב.

S=185=3.6\begin{aligned}S &= \frac{18}{5} \\ &= 3.6\end{aligned}
S=3.6≈1.90S = \sqrt{3.6} \approx 1.90

שכחו את השורש. 3.63.6 הוא הממוצע של הריבועים, והוא ביחידות «מעלות בריבוע».

(−2+1+0+3−2)2=0(-2+1+0+3-2)^2 = 0
(−2)2+12+02+32+(−2)2=18(-2)^2+1^2+0^2+3^2+(-2)^2 = 18

מעלים בריבוע כל סטייה לבד, ורק אחר כך מחברים.

−22=−4-2^2 = -4
(−2)2=4(-2)^2 = 4

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי. במחשבון: סוגריים.

Exercises

Exercise 1

שמונה חברים רשמו כמה שעות בשבוע הם מתאמנים בחדר כושר: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 92,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9. הממוצע הוא 55. מצאו את סטיית התקן.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

−3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4-3,\ -1,\ -1,\ -1,\ 0,\ 0,\ 2,\ 4

הסטיות מ-55

9+1+1+1+0+0+4+16=329+1+1+1+0+0+4+16 = 32

סכום הריבועים

S=328=4=2\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{32}{8}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים ב-88 ומוציאים שורש

סטיית התקן 22 שעות. מחלקים ב-88, מספר החברים, ולא ב-55, מספר הערכים השונים. מי שענה 44 שכח את השורש.

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את סטיית התקן של הנתונים 6, 10, 146,\ 10,\ 14. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.27

Worked solution:

xˉ=303=10\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

הממוצע

(−4)2+02+42=32(-4)^2 + 0^2 + 4^2 = 32

סכום הריבועים

S=323≈3.27S = \sqrt{\frac{32}{3}} \approx 3.27

חלוקה ב-33 ושורש

S≈3.27S \approx 3.27. מי שכתב 32≈5.66\sqrt{32} \approx 5.66 שכח לחלק במספר הנתונים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונים: 7, 9, 11, 13, 157,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15. השלימו את שלבי החישוב. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הממוצע: ____ , סכום ריבועי הסטיות: ____ , סטיית התקן: ____

Show the answer and the solution

Answer: הממוצע: 11 , סכום ריבועי הסטיות: 40 , סטיית התקן: 2.83

Worked solution:

xˉ=555=11\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{55}{5} \\ &= 11\end{aligned}

הממוצע

16+4+0+4+16=4016 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40

הסטיות −4, −2, 0, 2, 4-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4 בריבוע

S=405=8≈2.83\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{40}{5}} \\ &= \sqrt{8} \approx 2.83\end{aligned}

חלוקה ושורש

הנתונים מרוחקים 22 זה מזה, וסטיית התקן יצאה קצת יותר מ-22. זו בדיקת היגיון טובה: SS צריכה להיות בערך המרחק הטיפוסי מהממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהי סטיית התקן של הנתונים 15, 15, 15, 15, 1515,\ 15,\ 15,\ 15,\ 15?

  1. 1515
  2. 11
  3. 00
  4. 33
Show the answer and the solution

Answer: C 00

Worked solution:

xˉ=15\bar{x} = 15

הממוצע

x−xˉ=0x - \bar{x} = 0

כל הסטיות אפס

S=0=0\begin{aligned}S &= \sqrt{0} \\ &= 0\end{aligned}

הנכונה: 00. כשכל הנתונים שווים אין פיזור בכלל. מי שענה 1515 בלבל בין הממוצע לבין סטיית התקן.

Check the answer on elev

Exercise 5

נכון או לא נכון: סטיית תקן יכולה לצאת מספר שלילי כאשר רוב הנתונים מתחת לממוצע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(x−xˉ)2≥0(x - \bar{x})^2 \geq 0

כל ריבוע אינו שלילי

S=…≥0S = \sqrt{\dots} \geq 0

שורש אינו שלילי

לא נכון. סטיית התקן היא שורש של ממוצע ריבועים, ולכן תמיד S≥0S \geq 0. אם יצא לכם מספר שלילי, יש טעות בחישוב.

Check the answer on elev

Exercise 6

אלה הטמפרטורות (במעלות) שנמדדו בתל אביב בחמישה בקרים: 20, 22, 25, 21, 2220,\ 22,\ 25,\ 21,\ 22. מצאו את סטיית התקן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.67

Worked solution:

xˉ=1105=22\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{110}{5} \\ &= 22\end{aligned}

הממוצע

−2, 0, 3, −1, 0-2,\ 0,\ 3,\ -1,\ 0

הסטיות

4+0+9+1+0=144 + 0 + 9 + 1 + 0 = 14

סכום הריבועים

S=145=2.8≈1.67\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{14}{5}} \\ &= \sqrt{2.8} \approx 1.67\end{aligned}

חלוקה ושורש

S≈1.67S \approx 1.67 מעלות. מי שענה 2.82.8 עצר לפני השורש.

Check the answer on elev

Exercise 7

רון חישב את סטיית התקן של 4, 6, 84,\ 6,\ 8. שורה אחת שגויה: מצאו אותה.

xˉ=4+6+83=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{4+6+8}{3} \\ &= 6\end{aligned}
(4−6)2+(6−6)2+(8−6)2=8(4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 = 8
S=83≈2.67S = \frac{8}{3} \approx 2.67
Show the answer and the solution

Answer: S=83≈2.67S = \frac{8}{3} \approx 2.67 → S=83≈1.63S = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63

Worked solution:

83≈2.67\frac{8}{3} \approx 2.67

זה ממוצע הריבועים

2.67≈1.63\sqrt{2.67} \approx 1.63

חסר השורש

השורה השלישית שגויה: רון שכח להוציא שורש. הממוצע וסכום הריבועים נכונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרו את שלבי החישוב של סטיית התקן.

  • מוציאים שורש
  • מחלקים במספר הנתונים
  • מחשבים את הממוצע
  • מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע
  • מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים
Show the answer and the solution

Answer: מחשבים את הממוצע · מחשבים את הסטייה של כל נתון מהממוצע · מעלים כל סטייה בריבוע ומחברים · מחלקים במספר הנתונים · מוציאים שורש

Worked solution:

xˉ→x−xˉ→(x−xˉ)2→∑n→ \bar{x} \to x-\bar{x} \to (x-\bar{x})^2 \to \frac{\sum}{n} \to \sqrt{\ }

חמשת השלבים

אי אפשר לחשב סטיות לפני שיש ממוצע, והשורש הוא תמיד השלב האחרון.

Check the answer on elev

Exercise 9

לארבע הקבוצות אותו ממוצע, 5050. לאיזו מהן סטיית התקן הגדולה ביותר? ענו בלי לחשב.

  1. 50, 50, 5050,\ 50,\ 50
  2. 45, 50, 5545,\ 50,\ 55
  3. 40, 50, 6040,\ 50,\ 60
  4. 48, 50, 5248,\ 50,\ 52
Show the answer and the solution

Answer: C 40, 50, 6040,\ 50,\ 60

Worked solution:

±10 > ±5 > ±2 > 0\pm 10 \ > \ \pm 5 \ > \ \pm 2 \ > \ 0

הסטיות בכל קבוצה

הנכונה: 40, 50, 6040,\ 50,\ 60. הנתונים שלה הכי רחוקים מהממוצע. לא צריך מחשבון כדי להשוות פיזור כשהממוצע משותף.

Check the answer on elev

Exercise 10

המשכורות של חמישה עובדים בחנות, באלפי ש״ח: 7, 8, 8, 9, 137,\ 8,\ 8,\ 9,\ 13. מצאו את סטיית התקן, באלפי ש״ח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.1

Worked solution:

xˉ=455=9\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{45}{5} \\ &= 9\end{aligned}

הממוצע

−2, −1, −1, 0, 4-2,\ -1,\ -1,\ 0,\ 4

הסטיות

4+1+1+0+16=224 + 1 + 1 + 0 + 16 = 22

סכום הריבועים

S=225=4.4≈2.10\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{22}{5}} \\ &= \sqrt{4.4} \approx 2.10\end{aligned}

חלוקה ושורש

S≈2.10S \approx 2.10 אלפי ש״ח. שימו לב: העובד שמרוויח 1313 תורם 1616 מתוך 2222. נתון רחוק מהממוצע מגדיל מאוד את סטיית התקן, כי הסטייה שלו מועלית בריבוע.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade