Spread: why the mean is not enough

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

דנה ויואב נוסעים כל בוקר לעבודה באוטובוס: דנה בקו 5 ויואב בקו 18. במשך שבוע שניהם רשמו כמה דקות נמשכה הנסיעה. אצל שניהם יצא אותו ממוצע, 3030 דקות. האם שני הקווים אמינים באותה מידה? הסתכלו על הנקודות לפני שעונים.

זמן הנסיעה בשבעה ימים (דקות)
ממוצע1520253035404503דקות
  • קו 5
  • קו 18
בשני הקווים הממוצע 3030 דקות. בקו 5 כל הנסיעות נמשכו בין 2828 ל-3232 דקות. בקו 18 הן נמשכו בין 1818 ל-4242 דקות.

יש לכם ראיון עבודה בשעה 9:00 בדיוק. באיזה קו כדאי לנסוע? ומהי הנסיעה הארוכה ביותר בכל קו?

Show the answer and the solution

בקו 5. הנסיעה הארוכה בו נמשכה 3232 דקות, ובקו 18 היא נמשכה 4242 דקות. הממוצע שווה, אבל בקו 18 אי אפשר לדעת מתי תגיעו.

מדד מרכז ומדד פיזור

מדד מרכז (ממוצע, חציון, שכיח) אומר איפה הנתונים נמצאים. מדד פיזור אומר כמה הם מתרחקים זה מזה ומהממוצע. קבוצה שהנתונים שלה קרובים זה לזה נקראת הומוגנית (אחידה). קבוצה שהנתונים שלה מפוזרים נקראת הטרוגנית. קו 5 הומוגני, קו 18 הטרוגני.

המדד הפשוט ביותר: הטווח

טווח=הגדול−הקטן\text{טווח} = \text{הגדול} - \text{הקטן}

הטווח של שני הקווים

מחשבים את הטווח של זמני הנסיעה בכל קו.

32−28=432 - 28 = 4

קו 5: טווח של 44 דקות

42−18=2442 - 18 = 24

קו 18: טווח של 2424 דקות

24>424 > 4

הפיזור בקו 18 גדול יותר

הטווח קל לחישוב, אבל הוא משתמש רק בשני נתונים: הגדול והקטן. כל מה שבאמצע לא משפיע עליו.

השוו בין הקבוצה 10, 10, 10, 10, 5010,\ 10,\ 10,\ 10,\ 50 לבין הקבוצה 10, 20, 30, 40, 5010,\ 20,\ 30,\ 40,\ 50. מה הטווח של כל אחת? האם הפיזור שלהן דומה?

Show the answer and the solution

לשתיהן טווח 4040. אבל בראשונה ארבעה נתונים שווים ורק אחד רחוק, ובשנייה הנתונים פרוסים באופן שווה. הטווח לא מבחין ביניהן, כי הוא לא רואה את האמצע. צריך מדד שמשתמש בכל הנתונים.

הסטייה מהממוצע

מדד שמשתמש בכל הנתונים מתחיל מהסטייה של כל נתון: x−xˉx - \bar{x}, ההפרש בין הנתון לממוצע. נתון מעל הממוצע מקבל סטייה חיובית, ונתון מתחת לממוצע מקבל סטייה שלילית.

−2, −1, 0, 0, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 1,\ 2

הסטיות בקו 5: כולן קטנות

−12, −8, −4, 0, 4, 8, 12-12,\ -8,\ -4,\ 0,\ 4,\ 8,\ 12

הסטיות בקו 18: חלקן גדולות

חברו את הסטיות בכל קו: יוצא 00. זה נכון תמיד, בכל קבוצת נתונים: מה שמעל הממוצע מאזן בדיוק את מה שמתחתיו. לכן אי אפשר למדוד פיזור בממוצע של הסטיות. בשיעור הבא נעלה כל סטייה בריבוע, ואז אין ביטול.

שתי טעויות של השיעור.

טווח=42\text{טווח} = 42
טווח=42−18=24\begin{aligned}\text{טווח} &= 42 - 18 \\ &= 24\end{aligned}

הטווח הוא הפרש בין הגדול לקטן, ולא הנתון הגדול עצמו.

xˉ1=xˉ2 ⇒ דומות\bar{x}_1 = \bar{x}_2 \ \Rightarrow \ \text{דומות}
xˉ1=xˉ2  4≠24\begin{aligned}\bar{x}_1 &= \bar{x}_2 \\ \ \ 4 \neq 24\end{aligned}

ממוצע שווה לא אומר שהקבוצות דומות. קו 5 וקו 18 הם בדיוק הדוגמה: אותו ממוצע, פיזור אחר לגמרי.

Exercises

Exercise 1

שתי קבוצות של שבעה חיילים רשמו כמה שעות ישנו בלילה. קבוצה א: 7, 7, 8, 8, 8, 9, 97,\ 7,\ 8,\ 8,\ 8,\ 9,\ 9. קבוצה ב: 5, 6, 8, 8, 8, 10, 115,\ 6,\ 8,\ 8,\ 8,\ 10,\ 11. לשתיהן ממוצע 88 שעות. איזו קבוצה הומוגנית יותר?

  1. שתיהן באותה מידה, כי הממוצע שווה
  2. אי אפשר לדעת בלי החציון
  3. קבוצה א
  4. קבוצה ב
Show the answer and the solution

Answer: C קבוצה א

Worked solution:

9−7=29 - 7 = 2

הטווח בקבוצה א

11−5=611 - 5 = 6

הטווח בקבוצה ב

הנכונה: קבוצה א. כל הנתונים שלה בין 77 ל-99, קרובים לממוצע. מי שבחר «באותה מידה» הסתכל רק על מדד המרכז. גם החציון שווה כאן (88), ולכן הוא לא עוזר.

Check the answer on elev

Exercise 2

אלה הטמפרטורות המקסימליות באילת (במעלות) בשבוע אחד של יוני: 31, 34, 36, 33, 38, 35, 3231,\ 34,\ 36,\ 33,\ 38,\ 35,\ 32. מהו הטווח?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

3838

הגדול ביותר

3131

הקטן ביותר

38−31=738 - 31 = 7

הטווח

הטווח הוא 77 מעלות. לא צריך לסדר את כל הנתונים: מספיק למצוא את הגדול ואת הקטן. מי שענה 3838 נתן את הנתון הגדול ולא את ההפרש.

Check the answer on elev

Exercise 3

בכיתה ממוצע הציונים במבחן הוא 7575. נועה קיבלה 6868. מהי הסטייה של הציון של נועה מהממוצע?

Show the answer and the solution

Answer: -7

Worked solution:

x−xˉ=68−75x - \bar{x} = 68 - 75

הנתון פחות הממוצע

=−7= -7

סטייה שלילית: מתחת לממוצע

הסטייה היא −7-7. הסימן חשוב: מינוס אומר «מתחת לממוצע». מי שכתב 77 חישב 75−6875-68, בסדר הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 4

נכון או לא נכון: בכל קבוצת נתונים, סכום הסטיות מהממוצע הוא 00.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∑(x−xˉ)=∑x−n⋅xˉ\sum (x - \bar{x}) = \sum x - n \cdot \bar{x}

מפרקים את הסכום

n⋅xˉ=∑x ⇒ ∑(x−xˉ)=0\begin{aligned}n \cdot \bar{x} &= \sum x \ \Rightarrow \ \sum (x - \bar{x}) \\ &= 0\end{aligned}

הממוצע כפול מספר הנתונים הוא הסכום

נכון. זו הסיבה שממוצע הסטיות אינו מדד פיזור: הוא תמיד 00, גם בקבוצה מפוזרת מאוד.

Check the answer on elev

Exercise 5

בקבוצה של חמישה נתונים, הסטיות של ארבעה מהם מהממוצע הן −3, 1, 4, −5-3,\ 1,\ 4,\ -5. מהי הסטייה של הנתון החמישי?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

−3+1+4−5=−3-3 + 1 + 4 - 5 = -3

סכום ארבע הסטיות הידועות

−3+d=0 ⇒ d=3\begin{aligned}-3 + d &= 0 \ \Rightarrow \ d \\ &= 3\end{aligned}

סכום כל הסטיות הוא 00

הסטייה החמישית היא 33. מי שענה −3-3 העתיק את הסכום במקום להשלים אותו ל-00.

Check the answer on elev

Exercise 6

מיינו: אילו מדדים אומרים איפה הנתונים נמצאים, ואילו אומרים כמה הם מפוזרים?

  • מדד מרכז
  • מדד פיזור
  • חציון
  • טווח
  • ממוצע
  • סטיית תקן
  • שכיח
Show the answer and the solution

Answer: ממוצע — מדד מרכז · חציון — מדד מרכז · שכיח — מדד מרכז · טווח — מדד פיזור · סטיית תקן — מדד פיזור

Worked solution:

xˉ, Me, Mo\bar{x},\ Me,\ Mo

מרכז: ערך אחד שמייצג את הקבוצה

טווח, S\text{טווח},\ S

פיזור: כמה הנתונים רחוקים זה מזה

מדד מרכז עונה על «איפה», מדד פיזור עונה על «כמה מפוזר». סטיית התקן היא מדד פיזור, לא ממוצע נוסף.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונות שתי קבוצות: 10, 10, 10, 10, 5010,\ 10,\ 10,\ 10,\ 50 ו-10, 20, 30, 40, 5010,\ 20,\ 30,\ 40,\ 50. מה נכון?

  1. הטווח של השנייה גדול יותר
  2. לשתיהן אותו טווח, 4040
  3. הטווח של הראשונה הוא 00, כי רוב הנתונים שווים
  4. הטווח של הראשונה הוא 5050
Show the answer and the solution

Answer: B לשתיהן אותו טווח, 4040

Worked solution:

50−10=4050 - 10 = 40

הקבוצה הראשונה

50−10=4050 - 10 = 40

הקבוצה השנייה

הנכונה: אותו טווח. הטווח רואה רק את הגדול ואת הקטן. הקבוצות שונות מאוד באמצע, והטווח לא מרגיש בזה.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשכורות החודשיות במשרד קטן נעות בין 8,5008{,}500 ש״ח לבין סכום גבוה יותר. הטווח של המשכורות הוא 6,0006{,}000 ש״ח. מהי המשכורת הגבוהה ביותר, בש״ח?

Show the answer and the solution

Answer: 14500

Worked solution:

הגדול−8500=6000\text{הגדול} - 8500 = 6000

הגדרת הטווח

הגדול=14500\text{הגדול} = 14500

מוסיפים

המשכורת הגבוהה היא 14,50014{,}500 ש״ח. מי שענה 2,5002{,}500 חיסר במקום לחבר.

Check the answer on elev

Exercise 9

זמני הנסיעה בקו 18 הם 18, 22, 26, 30, 34, 38, 4218,\ 22,\ 26,\ 30,\ 34,\ 38,\ 42 דקות, והממוצע 3030. השלימו את הסטיות.

הסטייה של 2222: ____ , הסטייה של 3838: ____ , סכום כל שבע הסטיות: ____

Show the answer and the solution

Answer: הסטייה של 2222: -8 , הסטייה של 3838: 8 , סכום כל שבע הסטיות: 0

Worked solution:

22−30=−822 - 30 = -8

מתחת לממוצע

38−30=838 - 30 = 8

מעל לממוצע

−12−8−4+0+4+8+12=0-12 - 8 - 4 + 0 + 4 + 8 + 12 = 0

הסכום

הנתונים של קו 18 סימטריים סביב 3030, ולכן כל סטייה חיובית מתבטלת מול סטייה שלילית. בכל קבוצה הסכום 00, גם כשאין סימטריה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade