Height, area and a point fixed by an area · Polygons on the grid · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלה על מצולע במערכת צירים יש כמעט תמיד סעיף של שטח. הבחירה של הבסיס קובעת כמה עבודה תהיה. הסתכלו על המשולש שבשרטוט: הצלע $AB$ אופקית, ולכן הגובה אליה אנכי, ואורכו נקרא בלי שום נוסחה.

A(-2,\,1)

B(6,\,1)

C(3,\,6)

AB = 6 - (-2) = 8

, והגובה

CH = 6 - 1 = 5

. לכן

S = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20

ומה היה השטח אילו $C$ היה $(10,\,6)$ ?

Show the answer and the solution

עדיין $20$ . הגובה ל- $AB$ הוא ההפרש בשיעורי ה- $y$ , $6 - 1 = 5$ , גם כשהעקב נופל מחוץ לקטע $AB$ . בסיס שווה וגובה שווה נותנים שטח שווה.

צלע משופעת: הגובה בשלושה צעדים

m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}}

1. שיפוע הגובה: הופכי ונגדי לשיפוע הבסיס

H = AB \cap CH

2. עקב הגובה: נקודת החיתוך של שני הישרים

h = CH

3. אורך הגובה: נוסחת המרחק

גובה לצלע משופעת, ושטח

נתון המשולש $ABC$ : $A(1,\,1)$ , $B(7,\,4)$ , $C(1,\,6)$ . מצאו את עקב הגובה $H$ מ- $C$ לצלע $AB$ , ואת שטח המשולש.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-1}{7-1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ AB: \ y \\ &= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\end{aligned}

הישר של הבסיס

\begin{aligned}m_{CH} &= -2 \ \Rightarrow \ y - 6 \\ &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 8\end{aligned}

הגובה מאונך ל- $AB$ ועובר דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} &= -2x + 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ y &= 2\end{aligned}

$H(3,\,2)$

\begin{aligned}CH &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= 2\sqrt{5} \\ \quad AB &= \sqrt{6^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

אורכי הגובה והבסיס

\begin{aligned}S &= \frac{3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{30}{2} \\ &= 15\end{aligned}

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

הגובה

CH

יורד מ-

C

אל הצלע המשופעת

AB

בזווית ישרה, ופוגש אותה ב-

H(3,\,2)

יש דרך קצרה יותר לבדוק את השטח $15$ . איזו צלע של המשולש נוחה יותר כבסיס?

Show the answer and the solution

הצלע $AC$ : ל- $A$ ול- $C$ אותו שיעור $x = 1$ , ולכן היא אנכית ואורכה $5$ . הגובה אליה אופקי: $7 - 1 = 6$ . $S = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15$ ✓. לפני שבוחרים בסיס, מחפשים צלע מקבילה לציר.

נקודה לפי שטח: בדרך כלל שתי תשובות

«מצאו נקודה $K$ על ציר ה- $x$ כך ששטח המשולש $ABK$ יהיה $18$ ». מסמנים $K(t,\,0)$ , מבטאים את השטח באמצעות $t$ ומשווים. כשהבסיס $AK$ על ציר ה- $x$ , אורכו $|t - x_A|$ : ערך מוחלט, ולכן יש שני פתרונות, אחד מכל צד של $A$ .

נקודה על ציר ה-x לפי שטח

$A(2,\,0)$ , $B(5,\,6)$ . מצאו את הנקודות $K$ על ציר ה- $x$ שעבורן שטח המשולש $ABK$ הוא $18$ .

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad AK &= |t - 2|\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $x$

\begin{aligned}h &= y_B \\ &= 6\end{aligned}

הגובה מ- $B$ לציר ה- $x$

\begin{aligned}\frac{|t - 2| \cdot 6}{2} &= 18 \ \Rightarrow \ |t - 2| \\ &= 6\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או} \ t \\ &= -4\end{aligned}

$K(8,\,0)$ או $K(-4,\,0)$

קטע אמצעים ושטחים

D ו-E הן נקודות האמצע. הקטע הכחול נתון, האדום מבוקש.

$D$ ו- $E$ הם אמצעי הצלעות $AB$ ו- $AC$ , ו- $BC = 12$ ס״מ. לפי משפט קטע האמצעים, $DE \parallel BC$ ו- $DE = 6$ ס״מ. המשולש $ADE$ דומה למשולש $ABC$ ביחס $1:2$ , ולכן יחס השטחים הוא $1:4$ . שטח $ADE$ הוא רבע משטח $ABC$ , והטרפז $DBCE$ הוא שלושה רבעים. במערכת צירים זה חוסך חישוב: מוצאים את שטח $ABC$ ומחלקים.

מה היחס בין שטח המשולש $ADE$ לשטח הטרפז $DBCE$ ?

Show the answer and the solution

$1:3$ . המשולש הוא רבע, הטרפז שלושה רבעים. מי שעונה $1:4$ השווה את המשולש הקטן לכל המשולש, ולא לטרפז.

מרובע: חותכים למשולשים

את שטח המרובע $ABCD$ מחשבים כסכום של שני משולשים, לאורך אלכסון. כשאלכסון $AC$ מקביל לציר, הגבהים מ- $B$ ומ- $D$ נקראים ישירות: $S = \frac{AC \cdot (h_B + h_D)}{2}$ . ובמעוין ובדלתון, שבהם האלכסונים מאונכים: $S = \frac{AC \cdot BD}{2}$ .

שלוש הטעויות של שטח במערכת צירים.

S = \frac{AB \cdot AC}{2}

S = \frac{AB \cdot h}{2}

צלע שנייה אינה גובה, אלא אם הזווית בין שתי הצלעות ישרה. הגובה מאונך לבסיס.

\begin{aligned}|t - 2| &= 6 \ \Rightarrow \ t \\ &= 8\end{aligned}

\begin{aligned}t &= 8 \ \text{או} \ t \\ &= -4\end{aligned}

הנקודה יכולה להיות משני צדי $A$ . מי ששוכח את הפתרון השני מאבד את חצי הסעיף.

h = y_C

h = |y_C - y_A|

הגובה לצלע אופקית הוא הפרש שיעורי ה- $y$ . הוא שווה ל- $y_C$ רק כשהבסיס על ציר ה- $x$ .

Exercises

Exercise 1

נתון המשולש $ABC$ : $A(-3,\,2)$ , $B(5,\,2)$ , $C(1,\,8)$ . חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

צלע אופקית

\begin{aligned}h &= 8 - 2 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה אנכי: הפרש שיעורי ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $24$ . מי שלקח $h = 8$ שכח שהבסיס בגובה $y = 2$ , ולא על ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,-1)$ , $B(2,\,5)$ , $C(7,\,3)$ . חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 5 - (-1) \\ &= 6\end{aligned}

$AB$ אנכית: ל- $A$ ול- $B$ אותו $x$

\begin{aligned}h &= 7 - 2 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה אליה אופקי

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $15$ . צלע אנכית נוחה בדיוק כמו צלע אופקית: הגובה אליה הוא הפרש שיעורי ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ , $C(2,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . מצאו את עקב הגובה $H$ .

$H($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $H($ 4 $,$ 2 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ AB: \ y \\ &= \frac{1}{2}x\end{aligned}

הישר של הבסיס

\begin{aligned}y - 6 &= -2(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 10\end{aligned}

הגובה: הופכי ונגדי, דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x &= -2x + 10 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

$H(4,\,2)$ . הוא במקרה גם אמצע $AB$ : המשולש שווה שוקיים, $CA = CB$ . מי שהתחיל מהאמצע בלי לבדוק, קיבל את התשובה במזל.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ , $C(2,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . עקב הגובה הוא $H(4,\,2)$ . מהו אורך הגובה $CH$ ?

$4$
$2\sqrt{5}$
$2\sqrt{10}$
$6$

Show the answer and the solution

Answer: B $2\sqrt{5}$

Worked solution:

\begin{aligned}CH &= \sqrt{(4-2)^2 + (2-6)^2} \\ &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\sqrt{20} &= \sqrt{4 \cdot 5} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

מוציאים גורם מהשורש

הנכונה: $2\sqrt{5}$ . $2\sqrt{10}$ הוא $CA$ , צלע ולא גובה. $6$ הוא $y_C$ : הגובה אנכי רק כשהבסיס אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,4)$ , $C(2,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . $H(4,\,2)$ ו- $CH = 2\sqrt{5}$ . חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

אורך הבסיס

\begin{aligned}S &= \frac{4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

השטח $20$ . מי שקיבל $\sqrt{5}$ בתשובה שכח ש- $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ . שטח של משולש עם קודקודים שלמים הוא תמיד שלם או חצי שלם.

Check the answer on elev

Exercise 6

$A(1,\,0)$ , $B(3,\,4)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $x$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $12$ . מצאו את שני הערכים האפשריים של שיעור ה- $x$ של $K$ .

הגדול: ____ , הקטן: ____

Show the answer and the solution

Answer: הגדול: 7 , הקטן: -5

Worked solution:

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad AK &= |t - 1| \\ \quad h &= 4\end{aligned}

בסיס על ציר ה- $x$ , גובה $y_B$

\begin{aligned}\frac{|t-1| \cdot 4}{2} &= 12 \ \Rightarrow \ |t - 1| \\ &= 6\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 7 \ \text{או} \ t \\ &= -5\end{aligned}

שני הצדדים של $A$

$K(7,\,0)$ או $K(-5,\,0)$ . ערך מוחלט נותן שני פתרונות, וכאן שניהם מתאימים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,3)$ , $B(4,\,7)$ , $C(8,\,3)$ , $D(3,\,0)$ . חשבו את שטח המרובע.

Show the answer and the solution

Answer: 28

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 8 - 0 \\ &= 8\end{aligned}

האלכסון $AC$ אופקי

\begin{aligned}h_B &= 7 - 3 \\ &= 4 \\ \quad h_D &= 3 - 0 \\ &= 3\end{aligned}

הגבהים של שני המשולשים ל- $AC$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 4}{2} + \frac{8 \cdot 3}{2} \\ &= 16 + 12 \\ &= 28\end{aligned}

$S_{ABC} + S_{ACD}$

השטח $28$ . חותכים לאורך האלכסון האופקי, ולא לאורך $BD$ , שהוא משופע.

Check the answer on elev

Exercise 8

$ABCD$ מעוין: $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(6,\,6)$ , $D(2,\,4)$ . חשבו את שטח המעוין.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{36 + 36} \\ &= 6\sqrt{2} \\ \quad BD &= \sqrt{4 + 4} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

אורכי האלכסונים

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים

השטח $12$ . הנוסחה $\frac{AC \cdot BD}{2}$ נכונה כי האלכסונים מאונכים. במקבילית רגילה היא לא נכונה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,6)$ , $B(-4,\,0)$ , $C(8,\,0)$ . $D$ ו- $E$ הם אמצעי הצלעות $AB$ ו- $AC$ . מהו שטח המרובע $DBCE$ ?

$18$
$27$
$24$
$9$

Show the answer and the solution

Answer: B $27$

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{12 \cdot 6}{2} \\ &= 36\end{aligned}

$BC$ על ציר ה- $x$

\begin{aligned}S_{ADE} &= \frac{1}{4} \cdot 36 \\ &= 9\end{aligned}

קטע אמצעים: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ביחס $1:2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

המשולש הגדול פחות הקטן

הנכונה: $27$ . $18$ מניח שקטע האמצעים חוצה את השטח. אבל יחס הדמיון $1:2$ נותן יחס שטחים $1:4$ . $9$ הוא שטח המשולש $ADE$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

$A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $y$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $10$ . ל- $K$ שתי אפשרויות. מצאו את שיעור ה- $y$ החיובי.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}K(0,\,t) \\ \quad AK &= |t - 1|\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $y$

\begin{aligned}h &= x_B \\ &= 4\end{aligned}

הגובה אופקי: המרחק של $B$ מציר ה- $y$

\begin{aligned}\frac{|t - 1| \cdot 4}{2} &= 10 \ \Rightarrow \ |t - 1| \\ &= 5\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 6 \ \text{או} \ t \\ &= -4\end{aligned}

שני הפתרונות

$K(0,\,6)$ , והפתרון השני $K(0,\,-4)$ . כשהבסיס על ציר ה- $y$ , הגובה הוא שיעור ה- $x$ של הקודקוד השלישי.

Check the answer on elev

צלע משופעת: הגובה בשלושה צעדים

נקודה לפי שטח: בדרך כלל שתי תשובות

קטע אמצעים ושטחים

מרובע: חותכים למשולשים

Exercises

Keep practising on elev