Proving the type of a quadrilateral · Polygons on the grid · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

«הוכיחו כי $ABCD$ מקבילית». «האם המרובע הוא מעוין? נמקו». בשאלות כאלה החישוב קצר, והשאלה האמיתית היא מה לחשב. הסתכלו על האלכסונים: הם מזהים את המרובע כמעט לבדם.

באיזה מרובע האלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה, אבל אינם מאונכים?

Show the answer and the solution

במלבן שאינו ריבוע. חוצים זה את זה: מקבילית. שווים: מלבן. אילו היו גם מאונכים, זה היה ריבוע.

הסולם: קודם מקבילית, ואחר כך מה שמעליה

M_{AC} = M_{BD}

מקבילית. הדרך הקצרה: שני אמצעים. דרך אחרת: שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות, כלומר ארבעה שיפועים

\text{מקבילית} + m_{AB} \cdot m_{BC} = -1

מלבן: זווית ישרה אחת מספיקה. או: אלכסונים שווים, $AC = BD$

\text{מקבילית} + AB = BC

מעוין: שתי צלעות סמוכות שוות. או: אלכסונים מאונכים

\text{מלבן} + \text{מעוין}

ריבוע

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות. חובה לבדוק גם את הזוג השני, ולהראות שהוא לא מקביל

\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. או: $AC$ הוא האנך האמצעי של $BD$

הוכחה שמרובע הוא מעוין

נתון המרובע $ABCD$ : $A(1,\,2)$ , $B(4,\,6)$ , $C(9,\,6)$ , $D(6,\,2)$ . הוכיחו ש- $ABCD$ מעוין.

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{1+9}{2},\ \frac{2+6}{2}\right) \\ &= (5,\,4) \\ \quad M_{BD} &= \left(\frac{4+6}{2},\ \frac{6+2}{2}\right) \\ &= (5,\,4)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $ABCD$ מקבילית

\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5 \\ \quad BC &= 9 - 4 \\ &= 5\end{aligned}

$BC$ אופקית. שתי צלעות סמוכות שוות

\text{מקבילית} + AB = BC \ \Rightarrow \ \text{מעוין}

מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BD} &= \frac{2-6}{6-4} \\ &= -2 \\ \quad \frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1\end{aligned}

בדיקה: האלכסונים מאונכים, כמו בכל מעוין

המעוין

ABCD

ואלכסוניו.

BC

ו-

AD

אופקיות, ולכן אורכן נקרא ישירות:

5

האם $ABCD$ ריבוע?

Show the answer and the solution

לא. $m_{AB} = \frac{4}{3}$ ו- $m_{BC} = 0$ , והמכפלה $0 \neq -1$ : אין זווית ישרה. ואפשר גם כך: $AC = \sqrt{80}$ ו- $BD = \sqrt{20}$ , האלכסונים אינם שווים.

כתבו בכל שורה נימוק, כמו בהוכחה בגאומטריה: «האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן מקבילית». החישוב לבדו אינו הוכחה, כי הבודק צריך לראות איזו תכונה הוא מוכיח.

טרפז: להוכיח גם מה לא מקביל

טרפז ישר זווית

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,2)$ , $B(4,\,4)$ , $C(7,\,3)$ , $D(1,\,0)$ . הוכיחו ש- $ABCD$ טרפז ישר זווית.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{4-0} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{DC} &= \frac{3-0}{7-1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{0-2}{1-0} \\ &= -2 \\ \quad m_{BC} &= \frac{3-4}{7-4} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

$AD$ ו- $BC$ אינן מקבילות: טרפז, ולא מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{AD} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

$AD \perp AB$ : זווית ישרה ב- $A$ , ולכן גם ב- $D$

הבסיסים

AB

ו-

DC

מקבילים, והשוק

AD

מאונכת לשניהם. השוק

BC

משופעת.

זווית מתוך השיפוע

\tan\alpha = m

$\alpha$ היא הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . זווית של מצולע מקבלים מהזוויות של הצלעות: אם צלע אחת אופקית, הזווית היא $\alpha$ של הצלע השנייה (או $180^\circ - \alpha$ ). בטרפז שלמעלה $m_{AD} = -2$ , ולכן $\tan\alpha = -2$ ו- $\alpha \approx 116.57^\circ$ : הישר $AD$ יורד. הזווית החדה בינו לבין ציר ה- $x$ היא $180^\circ - 116.57^\circ = 63.43^\circ$ .

במשולש $ABC$ הצלע $AB$ על ציר ה- $x$ , $A(0,\,0)$ , ו- $C(3,\,3)$ . מהי הזווית $\angle CAB$ ?

Show the answer and the solution

$m_{AC} = \frac{3}{3} = 1$ , ולכן $\tan\alpha = 1$ ו- $\alpha = 45^\circ$ . הצלע $AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ , ולכן $\angle CAB = 45^\circ$ .

שלוש מסקנות שנראות נכונות, ואינן.

AC \perp BD \ \Rightarrow \ \text{מעוין}

M_{AC} = M_{BD} \ \text{וגם} \ AC \perp BD

גם בדלתון האלכסונים מאונכים. אלכסונים מאונכים הופכים מקבילית למעוין, לא כל מרובע.

m_{AB} = m_{DC} \ \Rightarrow \ \text{טרפז}

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ \ m_{AD} \neq m_{BC}\end{aligned}

בטרפז יש זוג מקביל אחד בלבד. בלי בדיקת הזוג השני, ייתכן שזו מקבילית.

AC = BD \ \Rightarrow \ \text{מלבן}

\begin{aligned}M_{AC} &= M_{BD} \ \text{וגם} \ AC \\ &= BD\end{aligned}

גם בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים. אלכסונים שווים הופכים מקבילית למלבן.

Exercises

Exercise 1

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,2)$ , $C(6,\,6)$ , $D(2,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מעוין שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מעוין
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע

Show the answer and the solution

Answer: A מעוין שאינו ריבוע

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= (3,\,3) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= \sqrt{20} \\ \quad BC &= \sqrt{4 + 16} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלעות סמוכות שוות: מעוין

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot 2 \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה: לא ריבוע

הנכונה: מעוין שאינו ריבוע. השיפועים $\frac{1}{2}$ ו- $2$ נראים «הופכיים», אבל למאונכות צריך גם סימן הפוך: $-\frac{1}{2}$ ו- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(1,\,1)$ , $B(7,\,3)$ , $C(6,\,6)$ , $D(0,\,4)$ , הוא מלבן.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= (3.5,\,3.5) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{BC} &= \frac{6-3}{6-7} \\ &= -3\end{aligned}

שיפועי שתי צלעות סמוכות

\frac{1}{3} \cdot (-3) = -1

$AB \perp BC$ : מקבילית עם זווית ישרה

הטענה נכונה. מקבילית עם זווית ישרה אחת היא מלבן. אין צורך לבדוק את ארבע הזוויות: במקבילית, זווית ישרה אחת גוררת את כולן.

Check the answer on elev

Exercise 3

מיינו: אילו נתונים על מרובע $ABCD$ מספיקים כדי להוכיח שהוא מעוין?

מספיק
לא מספיק

ארבע הצלעות שוות
האלכסונים מאונכים
מקבילית שאלכסוניה מאונכים
מקבילית שאלכסוניה שווים
מקבילית, ושתי צלעות סמוכות שוות
שתי צלעות נגדיות שוות

Show the answer and the solution

Answer: מקבילית, ושתי צלעות סמוכות שוות — מספיק · מקבילית שאלכסוניה מאונכים — מספיק · ארבע הצלעות שוות — מספיק · האלכסונים מאונכים — לא מספיק · שתי צלעות נגדיות שוות — לא מספיק · מקבילית שאלכסוניה שווים — לא מספיק

Worked solution:

AC \perp BD

נכון גם בדלתון

AB = CD

נכון בכל מקבילית

AC = BD

במקבילית: מלבן

מאונכות האלכסונים מספיקה רק כשכבר ידוע שזו מקבילית. אלכסונים שווים במקבילית נותנים מלבן, לא מעוין.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(6,\,3)$ , $D(2,\,3)$ . איזה מרובע הוא?

מקבילית
טרפז ישר זווית
טרפז שווה שוקיים
מלבן

Show the answer and the solution

Answer: C טרפז שווה שוקיים

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

שני הבסיסים אופקיים

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{3}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3}{6-8} \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

השוקיים אינן מקבילות: טרפז

\begin{aligned}AD &= \sqrt{4+9} \\ &= \sqrt{13} \\ \quad BC &= \sqrt{4+9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

שוקיים שוות

הנכונה: טרפז שווה שוקיים. לא ישר זווית: אף שוק אינה אנכית. השיפועים $\frac{3}{2}$ ו- $-\frac{3}{2}$ שונים, ולכן זו אינה מקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-2,\,-1)$ , $B(3,\,0)$ , $C(5,\,4)$ , $D(0,\,3)$ . חשבו את אמצעי האלכסונים, והסיקו שהמרובע מקבילית.

$M_{AC}($ ____ $,$ ____ $)$ , $M_{BD}($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $M_{AC}($ 1.5 $,$ 1.5 $)$ , $M_{BD}($ 1.5 $,$ 1.5 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{-2+5}{2},\ \frac{-1+4}{2}\right) \\ &= (1.5,\,1.5)\end{aligned}

אמצע $AC$

\begin{aligned}M_{BD} &= \left(\frac{3+0}{2},\ \frac{0+3}{2}\right) \\ &= (1.5,\,1.5)\end{aligned}

אמצע $BD$

M_{AC} = M_{BD}

האלכסונים חוצים זה את זה: מקבילית

שני חישובי אמצע מחליפים ארבעה חישובי שיפוע. הנימוק במשפט: «מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית».

Check the answer on elev

Exercise 6

$ABCD$ מקבילית. $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $D(2,\,4)$ . חשבו את הזווית $\angle DAB$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 63.43

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{4-0}{2-0} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע הצלע $AD$

\tan\alpha = 2 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 63.43^\circ

הזווית עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

\angle DAB = \alpha \approx 63.43^\circ

$AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

$\angle DAB \approx 63.43^\circ$ . מי שחישב $\tan\alpha = \frac{2}{4}$ הפך את היחס: השיפוע הוא הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,1)$ , $C(6,\,6)$ , $D(1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מקבילית
טרפז
מעוין
דלתון

Show the answer and the solution

Answer: D דלתון

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= AD \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}

זוג צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}CB &= CD \\ &= \sqrt{4 + 25} \\ &= \sqrt{29}\end{aligned}

זוג שני של צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}M_{AC} &= (3,\,3) \neq M_{BD} \\ &= (2.5,\,2.5)\end{aligned}

האלכסונים לא חוצים זה את זה: לא מקבילית

הנכונה: דלתון. האלכסונים מאונכים ( $m_{AC} = 1$ , $m_{BD} = -1$ ), ולכן מי שבדק רק אותם עלול לענות «מעוין». מעוין הוא קודם כול מקבילית, וכאן האמצעים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(4,\,1)$ , $C(5,\,5)$ , $D(1,\,4)$ , הוא ריבוע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= (2.5,\,2.5) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}AB &= \sqrt{17} \\ &= BC\end{aligned}

צלעות סמוכות שוות: מעוין

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{4} \cdot 4 \\ &= 1 \neq -1\end{aligned}

אין זווית ישרה

הטענה שגויה. זה מעוין שאינו ריבוע. בשרטוט הוא נראה כמעט ריבוע, ולכן מחשבים ולא מסתכלים. לריבוע צריך גם זווית ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון הטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ): $A(0,\,0)$ , $B(6,\,3)$ , $C(5,\,5)$ , $D(1,\,3)$ . באילו קודקודים הזווית ישרה?

ב- $A$ וב- $D$
ב- $B$ וב- $C$
אין זווית ישרה
ב- $A$ וב- $B$

Show the answer and the solution

Answer: B ב- $B$ וב- $C$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הבסיסים

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{5-3}{5-6} \\ &= -2 \\ \quad \frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1\end{aligned}

$BC \perp AB$ וגם $BC \perp DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= 3 \\ \quad \frac{1}{2} \cdot 3 \neq -1\end{aligned}

$AD$ אינה מאונכת

הנכונה: ב- $B$ וב- $C$ . שוק שמאונכת לבסיס אחד מאונכת גם לשני, כי הבסיסים מקבילים. לכן הזוויות הישרות באות בזוגות, בשני קצות אותה שוק.

Check the answer on elev

Exercise 10

סדרו את שלבי ההוכחה ש- $ABCD$ מלבן.

$m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ , ולכן $\angle B = 90^\circ$
$M_{AC} = M_{BD}$ , ולכן $ABCD$ מקבילית
מחשבים את $m_{AB}$ ואת $m_{BC}$
מחשבים את $M_{AC}$ ואת $M_{BD}$
מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

Show the answer and the solution

Answer: מחשבים את $M_{AC}$ ואת $M_{BD}$ · $M_{AC} = M_{BD}$ , ולכן $ABCD$ מקבילית · מחשבים את $m_{AB}$ ואת $m_{BC}$ · $m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ , ולכן $\angle B = 90^\circ$ · מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

Worked solution:

M_{AC} = M_{BD}

שלב ראשון: מקבילית

m_{AB} \cdot m_{BC} = -1

שלב שני: זווית ישרה

הסולם עולה שלב אחרי שלב: קודם מקבילית, ורק אחר כך התכונה הנוספת. זווית ישרה במרובע כלשהו אינה עושה אותו מלבן.

Check the answer on elev

הסולם: קודם מקבילית, ואחר כך מה שמעליה

טרפז: להוכיח גם מה לא מקביל

זווית מתוך השיפוע

Exercises

Keep practising on elev