Set 2 — medium · Polygons on the grid · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות: כל אחת משלבת שניים או שלושה כלים. קודקוד כנקודת חיתוך, גובה ועקבו, סוג המרובע עם כל הבדיקות, נקודה לפי שטח, זווית ושטח של מרובע.

לפני שמחשבים שטח, חפשו צלע או אלכסון מקבילים לציר. ובכל «איזה מרובע», עלו בסולם עד הסוף: מקבילית, ואז מלבן, מעוין, ריבוע.

Exercises

Exercise 1

$ABCD$ מלבן. $A(-3,\,2)$ , $B(1,\,4)$ , והקודקוד $C$ נמצא על ציר ה- $x$ . מצאו את $C$ ואת $D$ .

$C($ ____ $,0)$ , $D($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C($ 3 $,0)$ , $D($ -1 $,$ -2 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{BC} \\ &= -2\end{aligned}

$BC \perp AB$

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 6\end{aligned}

הישר $BC$

y = 0 \ \Rightarrow \ C(3,\,0)

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}D &= A + C - B \\ &= (-1,\,-2)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית

$C(3,\,0)$ ו- $D(-1,\,-2)$ . בדיקה: $m_{AD} = \frac{-2-2}{-1+3} = -2$ , ולכן גם $AD \perp AB$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(0,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . מצאו את $H$ .

$H($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $H($ 2 $,$ 2 $)$

Worked solution:

AB: \ y = \frac{1}{2}x + 1

שיפוע $\frac{1}{2}$ דרך $A$

CH: \ y = -2x + 6

מאונך, דרך $C$

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 1 &= -2x + 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ y &= 2\end{aligned}

חיתוך

$H(2,\,2)$ . כאן עקב הגובה יצא גם אמצע $AB$ , כי המשולש שווה שוקיים: $CA = 5$ ו- $CB = \sqrt{16 + 9} = 5$ . במשולש כללי העקב אינו האמצע, ולכן מוצאים אותו כחיתוך של שני ישרים.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,1)$ , $B(4,\,3)$ , $C(0,\,6)$ . $CH$ הוא הגובה לצלע $AB$ . $H(2,\,2)$ . חשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{16 + 4} \\ &= 2\sqrt{5} \\ \quad CH &= \sqrt{4 + 16} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

בסיס וגובה

\begin{aligned}S &= \frac{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}AC &= 5 \\ \ h_B &= 4 \ \Rightarrow \ S \\ &= \frac{5 \cdot 4}{2} \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה עם הבסיס האנכי $AC$ ✓

השטח $10$ . הצלע $AC$ על ציר ה- $y$ , ולכן הדרך השנייה קצרה בהרבה. כדאי לחפש אותה לפני שמתחילים.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ , עם $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(4,\,3)$ , $D(1,\,3)$ , הוא טרפז שווה שוקיים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= 0\end{aligned}

טרפז: בסיסים אופקיים

\begin{aligned}AD &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

שוק אחת

\begin{aligned}BC &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13}\end{aligned}

שוק שנייה

הטענה שגויה. זה טרפז, אבל השוקיים שונות. בשרטוט ההבדל כמעט לא נראה, ולכן מחשבים.

Check the answer on elev

Exercise 5

$A(2,\,4)$ , $B(2,\,-2)$ . הנקודה $K$ על ציר ה- $x$ , ושטח המשולש $ABK$ הוא $15$ . ל- $K$ שתי אפשרויות. מצאו את שיעור ה- $x$ השלילי.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

AB = 6

$AB$ אנכית: הבסיס

\begin{aligned}K(t,\,0) \\ \quad h &= |t - 2|\end{aligned}

הגובה אופקי: מרחק מהישר $x = 2$

\begin{aligned}\frac{6 \cdot |t - 2|}{2} &= 15 \ \Rightarrow \ |t - 2| \\ &= 5\end{aligned}

משוואת השטח

\begin{aligned}t &= 7 \ \text{או} \ t \\ &= -3\end{aligned}

שני צדדים

$K(-3,\,0)$ , והאפשרות השנייה $K(7,\,0)$ . כאן הבסיס הוא $AB$ האנכית, ו- $K$ קובע את הגובה, לא את הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון המרובע $ABCD$ : $A(1,\,0)$ , $B(5,\,2)$ , $C(3,\,6)$ , $D(-1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

מעוין שאינו ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
ריבוע

Show the answer and the solution

Answer: D ריבוע

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AC} &= (2,\,3) \\ &= M_{BD}\end{aligned}

מקבילית

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

מלבן

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

מעוין

הנכונה: ריבוע, כי הוא גם מלבן וגם מעוין. מי שעצר אחרי בדיקה אחת ענה «מלבן» או «מעוין». צריך את שתיהן.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה $P$ נמצאת על הישר $y = x + 1$ , במרחקים שווים מ- $A(1,\,4)$ ומ- $B(7,\,2)$ . מצאו את $P$ .

$P($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $P($ 5 $,$ 6 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AB} &= (4,\,3) \\ \quad m_{AB} &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

אמצע ושיפוע

\begin{aligned}y - 3 &= 3(x - 4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x - 9\end{aligned}

האנך האמצעי של $AB$

\begin{aligned}3x - 9 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ y &= 6\end{aligned}

חיתוך עם הישר הנתון

\begin{aligned}PA^2 &= 16 + 4 \\ &= 20 \\ &= 4 + 16 \\ &= PB^2\end{aligned}

בדיקה ✓

$P(5,\,6)$ . כל הנקודות במרחקים שווים מ- $A$ ומ- $B$ נמצאות על האנך האמצעי. מתוכן, רק אחת נמצאת גם על הישר הנתון.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(2,\,3)$ . חשבו את הזווית $\angle CAB$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 56.31

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{3}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

שיפוע $AC$

\tan\alpha = 1.5 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 56.31^\circ

$AB$ על הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

$\angle CAB \approx 56.31^\circ$ . מי שקיבל $33.69^\circ$ חישב $\tan\alpha = \frac{2}{3}$ : הפך מונה ומכנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-2,\,2)$ , $B(1,\,6)$ , $C(6,\,2)$ , $D(3,\,-3)$ . חשבו את שטח המרובע.

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 6 - (-2) \\ &= 8\end{aligned}

האלכסון $AC$ אופקי

\begin{aligned}h_B &= 6 - 2 \\ &= 4 \\ \quad h_D &= 2 - (-3) \\ &= 5\end{aligned}

גבהים ל- $AC$

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 4}{2} + \frac{8 \cdot 5}{2} \\ &= 16 + 20 \\ &= 36\end{aligned}

שני משולשים

השטח $36$ . $h_D = 5$ ולא $3$ : מודדים מהישר $y = 2$ של האלכסון, לא מציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

$ABCD$ טרפז שבו $AB \parallel DC$ . $A(0,\,0)$ , $B(6,\,3)$ , $D(0,\,5)$ , והקודקוד $C$ נמצא על הישר $x = 4$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של $C$ .

$C(4,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C(4,$ 7 $)$

Worked solution:

m_{AB} = \frac{1}{2}

שיפוע הבסיס

DC: \ y = \frac{1}{2}x + 5

מקביל ל- $AB$ , דרך $D$

\begin{aligned}x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 7\end{aligned}

$C(4,\,7)$

$C(4,\,7)$ . ועוד פרט: $m_{BC} = \frac{7-3}{4-6} = -2$ , ו- $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$ . הטרפז ישר זווית ב- $B$ וב- $C$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev