Set 3 — towards the bagrut · Polygons on the grid · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת המצולע בבגרות, מפורקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה, וכל סעיף נותן לכם את התוצאות של הסעיפים שלפניו. כך אפשר להמשיך גם אחרי טעות.

כתבו כמו בבחינה: בכל שורה נימוק («במלבן $AD \perp AB$ », « $M$ אמצע $BD$ »), ובסוף כל סעיף בדיקה קצרה עם נקודה או שיפוע.

Exercises

שאלה 1 — מלבן שקודקוד שלו על ציר

Exercise 1

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . א. מצאו את משוואת הישר $AD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -3 $x +$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1-(-1)}{7-1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הצלע הנתונה

m_{AD} = -3

במלבן $AD \perp AB$

\begin{aligned}y + 1 &= -3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 2\end{aligned}

דרך $A$

$y = -3x + 2$ . הנתון «מלבן» הוא שנותן את הזווית הישרה ב- $A$ , ומכאן השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . משוואת $AD$ היא $y = -3x + 2$ . ב. מצאו את $D$ .

$D(0,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $D(0,$ 2 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 2\end{aligned}

$D$ על ציר ה- $y$

$D(0,\,2)$ : נקודת החיתוך של $AD$ עם ציר ה- $y$ היא בדיוק המספר החופשי במשוואה.

Check the answer on elev

Exercise 3

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . $D(0,\,2)$ . ג. מצאו את $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C($ 6 $,$ 4 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}C &= B + D - A \\ &= (7 + 0 - 1,\ 1 + 2 + 1)\end{aligned}

מלבן הוא מקבילית, ו- $C$ מול $A$

C = (6,\,4)

התוצאה

\begin{aligned}m_{DC} &= \frac{4-2}{6-0} \\ &= \frac{1}{3} \\ &= m_{AB}\end{aligned}

בדיקה ✓

$C(6,\,4)$ . הסימן של $-A$ חשוב: $1 - (-1) + 2 = 4$ . מי שקיבל $2$ לא הפך את הסימן של $-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

$ABCD$ מלבן. $A(1,\,-1)$ , $B(7,\,1)$ , והקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $y$ . $D(0,\,2)$ , $C(6,\,4)$ . ד. חשבו את שטח המלבן.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 4} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}

אורך

\begin{aligned}AD &= \sqrt{1 + 9} \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

רוחב

\begin{aligned}S &= \sqrt{40} \cdot \sqrt{10} \\ &= \sqrt{400} \\ &= 20\end{aligned}

אורך כפול רוחב

השטח $20$ . במלבן אין צורך בגובה נפרד: הצלע הסמוכה היא הגובה, כי הזווית ישרה.

Check the answer on elev

שאלה 2 — משולש שווה שוקיים

Exercise 5

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) נתון: $B(0,\,0)$ , $C(6,\,2)$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . א. $AM$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . מצאו את משוואת $AM$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -3 $x +$ 10

Worked solution:

M_{BC} = (3,\,1)

בשווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{2}{6} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ m_{AM} \\ &= -3\end{aligned}

מאונך לבסיס

\begin{aligned}y - 1 &= -3(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 10\end{aligned}

דרך $M$

$y = -3x + 10$ , ולכן $A(0,\,10)$ . הגובה עובר דרך האמצע של $BC$ , כי $AB = AC$ : הוא האנך האמצעי של הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) נתון: $B(0,\,0)$ , $C(6,\,2)$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . $A(0,\,10)$ . ב. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

AB = 10

$AB$ על ציר ה- $y$

\begin{aligned}h_C &= x_C \\ &= 6\end{aligned}

הגובה מ- $C$ לציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 6}{2} \\ &= 30\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח $30$ . בדיקה בדרך הארוכה: $BC = \sqrt{40}$ , $AM = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$ , ו- $\frac{\sqrt{3600}}{2} = 30$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) נתון: $B(0,\,0)$ , $C(6,\,2)$ . הקודקוד $A$ נמצא על ציר ה- $y$ . $A(0,\,10)$ . ג. חשבו את הזווית $\angle ABC$ , במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 71.57

Worked solution:

\begin{aligned}\tan\beta &= m_{BC} \\ &= \frac{1}{3} \ \Rightarrow \ \beta \approx 18.43^\circ\end{aligned}

הזווית של $BC$ עם ציר ה- $x$

\angle(BA,\ x) = 90^\circ

$BA$ על ציר ה- $y$ , ולכן מאונכת לציר ה- $x$

\begin{aligned}\angle ABC &= 90^\circ - 18.43^\circ \\ &= 71.57^\circ\end{aligned}

ההפרש בין שתי הזוויות

$\angle ABC \approx 71.57^\circ$ . מי שענה $18.43^\circ$ מצא את הזווית בין $BC$ לציר ה- $x$ , אבל $BA$ היא ציר ה- $y$ .

Check the answer on elev

שאלה 3 — טרפז ישר זווית

Exercise 8

$ABCD$ טרפז ישר זווית שבו $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = 90^\circ$ . $A(0,\,2)$ , $B(8,\,6)$ . הקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 7$ . א. מצאו את $D$ .

$D($ ____ $,0)$

Show the answer and the solution

Answer: $D($ 1 $,0)$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{AD} \\ &= -2\end{aligned}

$\angle A = 90^\circ$

AD: \ y = -2x + 2

דרך $A$

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

$D(1,\,0)$

$D(1,\,0)$ . הזווית הישרה ב- $A$ נותנת את הכיוון של $AD$ , וציר ה- $x$ עוצר אותו.

Check the answer on elev

Exercise 9

$ABCD$ טרפז ישר זווית שבו $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = 90^\circ$ . $A(0,\,2)$ , $B(8,\,6)$ . הקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 7$ . $D(1,\,0)$ . ב. מצאו את $C$ .

$C(7,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C(7,$ 3 $)$

Worked solution:

DC: \ y = \frac{1}{2}(x - 1)

$DC \parallel AB$ , דרך $D$

\begin{aligned}x &= 7 \ \Rightarrow \ y \\ &= 3\end{aligned}

$C(7,\,3)$

$C(7,\,3)$ . בטרפז הבסיס השני מקביל לראשון. מי שהעביר את $DC$ בשיפוע $-2$ בנה עוד שוק, ולא בסיס.

Check the answer on elev

Exercise 10

$ABCD$ טרפז ישר זווית שבו $AB \parallel DC$ ו- $\angle A = 90^\circ$ . $A(0,\,2)$ , $B(8,\,6)$ . הקודקוד $D$ נמצא על ציר ה- $x$ , והקודקוד $C$ על הישר $x = 7$ . $D(1,\,0)$ , $C(7,\,3)$ . ג. חשבו את שטח הטרפז.

Show the answer and the solution

Answer: 17.5

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{64 + 16} \\ &= 4\sqrt{5} \\ \quad DC &= \sqrt{36 + 9} \\ &= 3\sqrt{5}\end{aligned}

שני הבסיסים

\begin{aligned}h &= AD \\ &= \sqrt{1 + 4} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

$AD \perp AB$ : השוק היא הגובה

\begin{aligned}S &= \frac{(4\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{7 \cdot 5}{2} \\ &= 17.5\end{aligned}

שטח טרפז

השטח $17.5$ . בטרפז ישר זווית השוק המאונכת היא הגובה. אין צורך לחפש אנך נוסף.

Check the answer on elev

Exercises

שאלה 1 — מלבן שקודקוד שלו על ציר

שאלה 2 — משולש שווה שוקיים

שאלה 3 — טרפז ישר זווית

Keep practising on elev