Practice · Equation of a circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: משוואת המעגל, נקודה ומעגל, ישר ומעגל, משיק, מעגל המשיק לצירים, ומעגל עם משולש ומרובע. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

מהו הרדיוס של המעגל $(x-7)^2+(y+1)^2=64$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}R^2 &= 64 \ \Rightarrow \ R \\ &= 8\end{aligned}

באגף ימין ריבוע הרדיוס

מי שענה $64$ שכח את השורש.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי משוואת המעגל שמרכזו $(0,\,-3)$ ורדיוסו $4$ ?

$(x-3)^2+y^2=16$
$x^2+(y+3)^2=4$
$x^2+(y+3)^2=16$
$x^2+(y-3)^2=16$

Show the answer and the solution

Answer: C $x^2+(y+3)^2=16$

Worked solution:

(x-0)^2+(y-(-3))^2=4^2

מציבים $a=0$ , $b=-3$ , $R=4$

הנכונה: $x^2+(y+3)^2=16$ . $b=-3$ נותן $y+3$ בסוגריים.

Check the answer on elev

Exercise 3

הנקודה $(4,\,4)$ נמצאת בתוך המעגל $x^2+y^2=36$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

4^2+4^2=32<36

מציבים ומשווים ל- $R^2$

הטענה נכונה. המרחק מהמרכז הוא $\sqrt{32}\approx 5.66$ , קטן מהרדיוס $6$ .

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל $x^2+y^2+6x-2y-15=0$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ -3 $,$ 1 $)$ , $R=$ 5

Worked solution:

(x+3)^2-9+(y-1)^2-1=15

השלמה לריבוע

(x+3)^2+(y-1)^2=25

$15+9+1=25$

המרכז: חצי מהמקדם בסימן הפוך, $6 \to -3$ ו- $-2 \to 1$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הנקודה $A(4,\,-3)$ נמצאת על המעגל $x^2+y^2=25$ . המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ . מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.25

Worked solution:

\begin{aligned}m_{OA} &= -\frac{3}{4} \ \Rightarrow \ m \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y+3=\frac{4}{3}(x-4)

דרך $A$

\begin{aligned}3 &= \frac{4}{3}(x-4) \ \Rightarrow \ x \\ &= 4+\frac{9}{4} \\ &= 6.25\end{aligned}

מציבים $y=0$

בדיקה בפיתגורס: $OA^2+AB^2=25+\left(2.25^2+3^2\right)=25+14.0625=39.0625=6.25^2$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

המעגל $(x-3)^2+(y-2)^2=13$ עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את נקודת החיתוך הנוספת שלו עם כל אחד מהצירים.

על ציר ה- $x$ : $x=$ ____ , על ציר ה- $y$ : $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: על ציר ה- $x$ : $x=$ 6 , על ציר ה- $y$ : $y=$ 4

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 0: \ (x-3)^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0: \ (y-2)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \\ \ y &= 4\end{aligned}

ציר ה- $y$

בכל ציר אחד הפתרונות הוא $0$ : זו הראשית. ואם הזווית בראשית ישרה, הקטע בין $(6,0)$ ל- $(0,4)$ הוא קוטר, ואמצעו $(3,2)$ הוא אכן המרכז.

Check the answer on elev

Exercise 7

מרכז המעגל הוא $(-2,\,-5)$ , והמעגל משיק לציר ה- $y$ . מהי משוואתו?

$(x+2)^2+(y+5)^2=4$
$(x+2)^2+(y+5)^2=2$
$(x+2)^2+(y+5)^2=25$
$(x-2)^2+(y-5)^2=4$

Show the answer and the solution

Answer: A $(x+2)^2+(y+5)^2=4$

Worked solution:

\begin{aligned}R &= |a| \\ &= 2\end{aligned}

משיק לציר ה- $y$

(x+2)^2+(y+5)^2=4

מציבים

הנכונה: $(x+2)^2+(y+5)^2=4$ . $R^2=25$ שייך למעגל המשיק לציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

מעגל עובר דרך $O(0,\,0)$ , $A(6,\,0)$ ו- $B(0,\,-8)$ . $M$ מרכז המעגל. מהו שטח המשולש $MOA$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\angle AOB=90^\circ \ \Rightarrow \ AB \ \text{קוטר}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

M=(3,\,-4)

אמצע $AB$

\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot |y_M|}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

בסיס $OA$ על ציר ה- $x$ , והגובה הוא המרחק של $M$ מהציר

המרכז אינו «באמצע המשולש». הוא באמצע היתר $AB$ , ולכן $MO=MA=MB=5$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מעגל עובר דרך $O(0,\,0)$ ודרך $B(4,\,0)$ , ומרכזו על הישר $y=x+2$ . מצאו את המרכז ואת $R^2$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R^2=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 2 $,$ 4 $)$ , $R^2=$ 20

Worked solution:

x=2

האנך האמצעי של $OB$ : כל נקודה עליו במרחקים שווים מ- $O$ ומ- $B$

\begin{aligned}y &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

המרכז על הישר $y=x+2$

\begin{aligned}R^2 &= 2^2+4^2 \\ &= 20\end{aligned}

נוסחת המרחק

האנך האמצעי של קטע אופקי הוא ישר אנכי דרך האמצע. מי שחיפש שיפוע «הופכי ונגדי» ל- $0$ נתקע.

Check the answer on elev

Exercise 10

$A(3,\,4)$ , $B(-3,\,4)$ ו- $C(0,\,5)$ נמצאות על המעגל $x^2+y^2=25$ , שמרכזו $O$ . המרובע $OACB$ הוא דלתון. מהו שטחו?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= 5 \\ \quad CA &= CB \\ &= \sqrt{10}\end{aligned}

רדיוסים, ונוסחת המרחק

\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad OC &= 5\end{aligned}

האלכסונים: $AB$ אופקי, $OC$ על ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15\end{aligned}

שטח דלתון: חצי מכפלת האלכסונים המאונכים

האלכסון $OC$ הוא רדיוס, $5$ , ולא $4$ : הוא מגיע עד $C$ שעל המעגל.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev