Set 3 — towards the bagrut · Equation of a circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת המעגל בבגרות, וכל אחת מחולקת לסעיפים. בכל סעיף חוזר אותו נתון, כמו בבחינה: מה שמצאתם בסעיף א משמש בסעיף ב.

כתבו כמו בבחינה: משפט לכל צעד. «המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה», «זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה», «מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר». בודק הבחינה מחפש את המשפט, לא רק את המספר.

Exercises

Exercise 1

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . א. מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל.

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 6 $,$ -2 $)$ , $R=$ 10

Worked solution:

(x-6)^2-36+(y+2)^2-4=60

השלמה לריבוע

(x-6)^2+(y+2)^2=100

$60+36+4=100$

המרכז הוא חצי המקדם בסימן הפוך. $R=10$ , לא $100$ ולא $60$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ב. מצאו את $A$ ואת $B$ .

$A(0,$ ____ $)$ , $B(0,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $A(0,$ 6 $)$ , $B(0,$ -10 $)$

Worked solution:

36+(y+2)^2=100

על ציר ה- $y$ מציבים $x=0$

\begin{aligned}(y+2)^2 &= 64 \ \Rightarrow \ y \\ &= 6 \\ \ y &= -10\end{aligned}

$y+2=\pm 8$

בדיקה: אמצע $AB$ הוא $(0,-2)$ , בגובה של המרכז. האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ג. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ ?

$y=-\frac{4}{3}x+6$
$y=\frac{3}{4}x-2$
$y=\frac{3}{4}x+6$
$y=\frac{4}{3}x+6$

Show the answer and the solution

Answer: C $y=\frac{3}{4}x+6$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{6-(-2)}{0-6} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m=\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y-6 &= \frac{3}{4}(x-0) \ \Rightarrow \ y \\ &= \frac{3}{4}x+6\end{aligned}

דרך $A(0,6)$

הנכונה: $y=\frac{3}{4}x+6$ . $-\frac{4}{3}$ הוא הישר $MA$ עצמו. ו- $y=\frac{3}{4}x-2$ עובר בגובה של המרכז, לא דרך $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון המעגל $x^2+y^2-12x+4y-60=0$ , שמרכזו $M$ . המעגל חותך את ציר ה- $y$ בנקודות $A$ ו- $B$ ( $y_A>y_B$ ). המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $C$ . ד. מצאו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

0=\frac{3}{4}x+6 \ \Rightarrow \ C(-8,\,0)

חיתוך המשיק עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}AB &= 6-(-10) \\ &= 16\end{aligned}

הבסיס על ציר ה- $y$

\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 8}{2} \\ &= 64\end{aligned}

הגובה הוא המרחק של $C$ מציר ה- $y$ : $8$

הגובה לבסיס שעל ציר ה- $y$ הוא $|x_C|$ . מי שלקח $AC$ כגובה שכח שהגובה חייב להיות מאונך לבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 5

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. א. מצאו את $M$ ואת הרדיוס.

$M($ ____ $,\,0)$ , $R=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 1 $,\,0)$ , $R=$ 10

Worked solution:

(a+5)^2+64=(a-9)^2+36

$MA^2=MB^2$ עם $M(a,0)$

\begin{aligned}10a+89 &= -18a+117 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ה- $a^2$ מצטמצם

\begin{aligned}R &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $B$ : $8^2+6^2=100$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. ב. מצאו את $C$ .

$C($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $C($ 7 $,$ -8 $)$

Worked solution:

\frac{A+C}{2}=M

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר

\begin{aligned}C &= (2 \cdot 1+5,\ 2 \cdot 0-8) \\ &= (7,\,-8)\end{aligned}

נוסחת האמצע בכיוון ההפוך

בדיקה: $(7-1)^2+(-8)^2=100$ ✓. שיקוף של $A$ ביחס לראשית, $(5,-8)$ , אינו על המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 7

מרכז המעגל $M$ נמצא על ציר ה- $x$ , והמעגל עובר דרך $A(-5,\,8)$ ו- $B(9,\,6)$ . $AC$ קוטר במעגל. ג. הראו שהזווית $ABC$ ישרה, ומצאו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

\angle ABC=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AC$

\begin{aligned}m_{AB} &= -\frac{1}{7} \\ \quad m_{BC} &= 7\end{aligned}

בדיקה בשיפועים: מכפלה $-1$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{196+4} \\ &= \sqrt{200} \\ \quad BC &= \sqrt{4+196} \\ &= \sqrt{200}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}}{2} \\ &= 100\end{aligned}

הניצבים הם בסיס וגובה

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים. מי שכתב $\frac{AC \cdot AB}{2}$ השתמש ביתר כגובה.

Check the answer on elev

Exercise 8

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. א. מצאו את משוואת המעגל ואת $T$ .

$(x-5)^2+(y-4)^2=$ ____ , $T($ ____ $,\,0)$

Show the answer and the solution

Answer: $(x-5)^2+(y-4)^2=$ 16 , $T($ 5 $,\,0)$

Worked solution:

\begin{aligned}R &= |b| \\ &= 4\end{aligned}

מעגל משיק לציר ה- $x$

T=(5,\,0)

נקודת ההשקה ישירות מתחת למרכז

באגף ימין $R^2=16$ . הרדיוס $MT$ מאונך לציר ה- $x$ , המשיק.

Check the answer on elev

Exercise 9

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. ב. מצאו את $P$ ואת $Q$ .

$P($ ____ $,\,4)$ , $Q($ ____ $,\,4)$

Show the answer and the solution

Answer: $P($ 1 $,\,4)$ , $Q($ 9 $,\,4)$

Worked solution:

(x-5)^2+0=16

מציבים $y=4$

\begin{aligned}x-5 &= \pm 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

שני פתרונות

הישר $y=4$ עובר דרך המרכז, ולכן $PQ$ קוטר שאורכו $2R=8$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

מרכז המעגל הוא $M(5,\,4)$ , והמעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $T$ . הישר $y=4$ חותך את המעגל בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $x_P<x_Q$ ). $K$ היא הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל. ג. קבעו את סוג המרובע $PTQK$ ומצאו את שטחו.

ריבוע, $S=64$
מלבן שאינו ריבוע, $S=32$
ריבוע, $S=32$
מעוין שאינו ריבוע, $S=16$

Show the answer and the solution

Answer: C ריבוע, $S=32$

Worked solution:

\begin{aligned}K(5,\,8) \\ \quad TK: \ x &= 5\end{aligned}

$K$ ישירות מעל המרכז, ולכן $TK$ קוטר אנכי

\begin{aligned}PQ &= TK \\ &= 8 \\ \quad PQ \perp TK\end{aligned}

שני קטרים: האלכסונים שווים, חוצים זה את זה ומאונכים

PTQK \ \text{ריבוע}

מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 8}{2} \\ &= 32\end{aligned}

שטח לפי האלכסונים המאונכים

הנכונה: ריבוע, $S=32$ . מי שענה $64$ חישב $8 \cdot 8$ כאילו $8$ היא הצלע, אבל $8$ הוא אורך האלכסון. הצלע היא $4\sqrt{2}$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev