Set 2 — medium · Equation of a circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות שמערבבות את כל הפרק: משוואה כללית, ישר ומעגל, אורך מיתר, משיק, מעגל המשיק לציר, מרכז על ציר, זווית היקפית ושטח. כל שאלה דורשת שניים או שלושה צעדים.

כתבו לפני הכול את המרכז והרדיוס. כמעט כל סעיף משתמש בהם: הצבה, מרחק מהמרכז, או שיפוע של רדיוס.

Exercises

Exercise 1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של המעגל $x^2+y^2-10x+8y+16=0$ .

$M($ ____ $,$ ____ $)$ , $R=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 5 $,$ -4 $)$ , $R=$ 5

Worked solution:

(x-5)^2-25+(y+4)^2-16+16=0

השלמה לריבוע

(x-5)^2+(y+4)^2=25

מעבירים אגף

המרכז הוא חצי מהמקדם, בסימן הפוך: $-10 \to 5$ , $8 \to -4$ . והמעגל משיק לציר ה- $y$ , כי $|a|=5=R$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מצאו את נקודות החיתוך של הישר $y=2x-7$ עם המעגל $x^2+y^2-2x-24=0$ ( $x_A>x_B$ ).

$A($ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $A($ 5 $,$ 3 $)$ , $B($ 1 $,$ -5 $)$

Worked solution:

(x-1)^2+y^2=25

השלמה לריבוע

\begin{aligned}(x-1)^2+(2x-7)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ 5x^2-30x+25 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את הישר

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= 1\end{aligned}

מחלקים ב- $5$

A(5,\,3) ,\quad B(1,\,-5)

מציבים בישר

בדיקה: $(5-1)^2+3^2=25$ ✓ ו- $0+25=25$ ✓. מותר להציב גם במשוואה הכללית, אבל בצורה הקנונית החשבון קצר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 3

הישר $x=-1$ חותך את המעגל $(x-4)^2+(y-2)^2=169$ . מהו אורך המיתר?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}d &= |-1-4| \\ &= 5\end{aligned}

מרחק המרכז $(4,2)$ מהישר האנכי

\sqrt{13^2-5^2}=12

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו; משפט פיתגורס

2 \cdot 12=24

המיתר כולו

בדיקה: $25+(y-2)^2=169$ נותן $y=14$ ו- $y=-10$ , והמרחק ביניהם $24$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הנקודה $A(3,\,-1)$ נמצאת על המעגל $(x+1)^2+(y-1)^2=20$ . מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

$y=$ ____ $x+$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y=$ 2 $x+$ -7

Worked solution:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{-1-1}{3+1} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז $(-1,1)$

m=2

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y+1 &= 2(x-3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x-7\end{aligned}

דרך $A$

בדיקה: $A$ על המשיק, $2 \cdot 3-7=-1$ ✓. מי שקיבל $y=2x+3$ העביר את הישר דרך המרכז.

Check the answer on elev

Exercise 5

מעגל משיק לציר ה- $x$ בנקודה $(-3,\,0)$ ועובר דרך $(1,\,2)$ . מהי משוואתו?

$(x+3)^2+(y-2)^2=4$
$(x+3)^2+(y-5)^2=25$
$(x-3)^2+(y-5)^2=25$
$(x+3)^2+(y-4)^2=16$

Show the answer and the solution

Answer: B $(x+3)^2+(y-5)^2=25$

Worked solution:

\begin{aligned}M(-3,\,b) \\ \quad R &= |b|\end{aligned}

המרכז ישירות מעל נקודת ההשקה, והרדיוס הוא הגובה

(1+3)^2+(2-b)^2=b^2

הנקודה $(1,2)$ על המעגל

\begin{aligned}16+4-4b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 5\end{aligned}

ה- $b^2$ מצטמצם

הנכונה: $(x+3)^2+(y-5)^2=25$ . בדיקה: $16+9=25$ ✓. $(x+3)^2+(y-4)^2=16$ משיק לציר, אבל לא עובר דרך $(1,2)$ : $16+4=20 \neq 16$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מעגל עובר דרך $A(1,\,4)$ ו- $B(5,\,0)$ , ומרכזו על ציר ה- $x$ . מצאו את המרכז ואת הרדיוס.

$M($ ____ $,\,0)$ , $R=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $M($ 1 $,\,0)$ , $R=$ 4

Worked solution:

(a-1)^2+16=(a-5)^2

$MA^2=MB^2$ עם $M(a,0)$

\begin{aligned}-2a+17 &= -10a+25 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

ה- $a^2$ מצטמצם

\begin{aligned}R &= MB \\ &= |5-1| \\ &= 4\end{aligned}

נוסחת המרחק

בדיקה עם $A$ : $(1-1)^2+4^2=16$ ✓. הזווית $AMB$ ישרה: $MA$ אנכי ו- $MB$ אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודות $A(-2,\,0)$ , $B(6,\,6)$ ו- $C(5,\,-1)$ נמצאות על המעגל $(x-2)^2+(y-3)^2=25$ . הזווית $ACB$ ישרה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{A+B}{2} &= (2,\,3) \\ &= M\end{aligned}

אמצע $AB$ הוא המרכז, ולכן $AB$ קוטר

\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}m_{AC} \cdot m_{BC} &= -\frac{1}{7} \cdot 7 \\ &= -1\end{aligned}

בדיקה בשיפועים

הטענה נכונה. המפתח הוא לבדוק אם $AB$ עובר דרך המרכז: אז אין צורך לחשב אף שיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

מהו שטח המשולש $ABC$ מהשאלה הקודמת: $A(-2,\,0)$ , $B(6,\,6)$ , $C(5,\,-1)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{7^2+1^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{1^2+7^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BC}{2} \\ &= \frac{50}{2} \\ &= 25\end{aligned}

הזווית ב- $C$ ישרה, ולכן $AC$ ו- $BC$ ניצבים

מי שחישב $\frac{AB \cdot BC}{2}$ לקח את היתר כגובה. במשולש ישר זווית, הבסיס והגובה הם שני הניצבים.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה נקודות משותפות יש לישר $y=-3x+11$ ולמעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=10$ ?

Show the answer and the solution

Answer: A $1$

Worked solution:

(x-1)^2+(-3x+13)^2=10

מציבים $y+2=-3x+13$

\begin{aligned}10x^2-80x+170 &= 10 \ \Rightarrow \ x^2-8x+16 \\ &= 0\end{aligned}

מסדרים ומחלקים ב- $10$

\begin{aligned}(x-4)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

פתרון יחיד: הישר משיק

הנכונה: $1$ . נקודת ההשקה $(4,\,-1)$ . ובדיקה בשיפועים: $m_{MT}=\frac{-1+2}{4-1}=\frac{1}{3}$ , ו- $\frac{1}{3} \cdot (-3)=-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

מעגל משיק לשני הצירים, מרכזו ברביע הראשון, והמרכז נמצא על הישר $y=-2x+9$ . השלימו את משוואתו.

$(x-$ ____ $)^2+(y-$ ____ $)^2=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $(x-$ 3 $)^2+(y-$ 3 $)^2=$ 9

Worked solution:

\begin{aligned}M(r,\,r) \\ \quad R &= r\end{aligned}

משיק לשני הצירים ברביע הראשון

\begin{aligned}r &= -2r+9 \ \Rightarrow \ r \\ &= 3\end{aligned}

המרכז על הישר

(x-3)^2+(y-3)^2=9

מציבים

התנאי «ברביע הראשון» חשוב: ברביע הרביעי המרכז הוא $(r,-r)$ , ואז $-r=-2r+9$ נותן מעגל אחר, $(x-9)^2+(y+9)^2=81$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev