Solving together · The circle · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלת הגאומטריה של הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: זווית על קוטר, מרובע חסום, משיק ורדיוס, ומיתר עם האנך מהמרכז. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בבגרות כל שורה בהוכחה היא טענה ונימוק. הנימוק הוא שם של משפט, לא «רואים בשרטוט». לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזה משפט אתם הייתם כותבים.

משפטי המעגל, לניסוח הנימוקים. הקלידו היקפית, משיק או מיתר, והרשימה תצטמצם. חלק מהמשפטים ברשימה אינם בחומר של 4 יח״ל השנה, למשל שני משיקים מנקודה אחת.

1 — זווית על קוטר, פיתגורס ושטח

Interactive activity

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 6$ . א. הוכיחו ש- $\angle ACB = 90^\circ$ . ב. חשבו את $BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ ואת הגובה $CD$ לצלע $AB$ .

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 5 \\ &= 10 \\ \quad AC &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המילה קוטר בשאלה היא הרמז הראשון: היא מבטיחה זווית ישרה.

א. זווית

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.

ב. פיתגורס

\begin{aligned}BC &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

הקוטר $AB = 10$ הוא היתר של המשולש $ABC$ .

ג. שטח

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

במשולש ישר זווית, שני הניצבים הם בסיס וגובה.

ג. גובה

\begin{aligned}\frac{10 \cdot CD}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ CD \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח, והפעם הבסיס הוא $AB$ .

הקוטר הפך שאלה על מעגל לשאלה על משולש ישר זווית. מכאן והלאה זה פיתגורס ושטח, כמו בכיתה י.

Do the activity on elev

היכן נמצאת הנקודה $D$ : בין $A$ ל- $O$ , או בין $O$ ל- $B$ ?

Show the answer and the solution

בין $A$ ל- $O$ . במשולש $ACD$ : $AD = \sqrt{6^2 - 4.8^2} = 3.6$ , וזה פחות מהרדיוס $5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מרובע חסום עם קוטר

Interactive activity

מרובע חסום, ואלכסון שהוא קוטר

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ הוא קוטר. $\angle BAC = 35^\circ$ ו- $\angle DAC = 20^\circ$ . חשבו את $\angle BCD$ .

$125^\circ$

$55^\circ$

$145^\circ$

$90^\circ$

מה ידוע על $\angle ABC$ ?

$\angle ABC = 90^\circ$ : זווית היקפית על הקוטר $AC$

Show the answer and the solution

$AC$ קוטר, ו- $B$ על המעגל.

$\angle ABC = 70^\circ$ : פי שניים מ- $35^\circ$

Show the answer and the solution

הכפלה מתאימה לזווית מרכזית, ו- $B$ אינה במרכז.

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

מהי הדרך הקצרה אל $\angle BCD$ ?

דרך הזווית הנגדית לה, $\angle BAD$

Show the answer and the solution

במרובע חסום במעגל זוויות נגדיות משלימות ל- $180^\circ$ .

מחברים $35^\circ + 20^\circ$ , וזו התשובה

Show the answer and the solution

הסכום הזה הוא $\angle BAD$ , לא $\angle BCD$ .

\begin{aligned}\angle BAD &= 35^\circ + 20^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $A$ מורכבת משני חלקים

כמה מעלות בזווית $\angle BCD$ ?

$180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

Show the answer and the solution

זוויות נגדיות במרובע חסום.

$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$

Show the answer and the solution

זו רק $\angle ACB$ , חלק אחד של $\angle BCD$ .

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

משלימה ל- $180^\circ$

Show the answer and the solution

$\angle BCD = 125^\circ$ . בדיקה: $\angle ACB = 55^\circ$ ו- $\angle ACD = 70^\circ$ , ויחד $125^\circ$ . התשובה $55^\circ$ היא רק $\angle ACB$ .

Do the activity on elev

חשבו את $\angle ACD$ בדרך אחרת: דרך המשולש $ACD$ .

Show the answer and the solution

$70^\circ$ . גם $\angle ADC = 90^\circ$ , כי היא נשענת על הקוטר, ולכן $\angle ACD = 90^\circ - 20^\circ$ . ו- $55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$ , כמו קודם.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משיק, רדיוס ומשוואה

Interactive activity

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $B$ , הנמצאת בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 8$ . א. מצאו את רדיוס המעגל. ב. חשבו את שטח המשולש $OAP$ .

\begin{aligned}PA &= 12 \\ \quad PB &= 8 \\ \quad OA &= OB \\ &= r\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרדיוס לא ידוע, ולכן מסמנים אותו $r$ ובונים משוואה.

זווית ישרה

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

היתר

\begin{aligned}OP &= OB + BP \\ &= r + 8\end{aligned}

$OB$ רדיוס, ו- $B$ בין $P$ ל- $O$ .

פיתגורס

(r + 8)^2 = r^2 + 12^2

במשולש $OAP$ היתר הוא $OP$ .

א. פותרים

\begin{aligned}16r + 64 &= 144 \ \Rightarrow \ r \\ &= 5\end{aligned}

$r^2$ מופיע בשני האגפים ומתבטל.

ב. שטח

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

הניצבים הם $OA$ ו- $PA$ .

שאלת משיק כמעט תמיד נגמרת בפיתגורס במשולש $OAP$ . הזווית הישרה היא ב- $A$ , לא ב- $O$ .

Do the activity on elev

מהו האורך $OP$ , ואיך בודקים את התשובה?

Show the answer and the solution

$OP = 5 + 8 = 13$ . בדיקה: $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ ✓

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מיתר, האנך מהמרכז ושוויון קטעים

Interactive activity

במעגל שמרכזו $O$ , המיתר $AB$ שאורכו $16$ נמצא במרחק $6$ מהמרכז. $M$ היא אמצע $AB$ . ממשיכים את $OM$ עד שהוא פוגש את המעגל בנקודה $D$ , על הקשת הקטנה $AB$ . א. מצאו את רדיוס המעגל. ב. הוכיחו ש- $AD = BD$ . ג. חשבו את $AD$ .

\begin{aligned}AB &= 16 \\ \quad OM &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $M$ אמצע המיתר, ולכן הקטע $OM$ מאונך למיתר.

א. אנך

\begin{aligned}OM \perp AB \\ \quad AM &= 8\end{aligned}

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר.

א. רדיוס

\begin{aligned}r &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$ .

ב. אנך אמצעי

\begin{aligned}DM \perp AB \\ \quad AM &= MB\end{aligned}

הישר $DM$ מאונך ל- $AB$ ועובר דרך האמצע שלו: זה האנך האמצעי.

ב. מסקנה

AD = BD

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.

ג. הקטע MD

\begin{aligned}MD &= OD - OM \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OD$ הוא רדיוס.

ג. פיתגורס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMD$ ; תשובה מדויקת.

בשאלה אחת פעלו שלושה משפטים: האנך מהמרכז, פיתגורס, והאנך האמצעי. בכל שלב שם המשפט נכתב ליד הטענה.

Do the activity on elev

למה אי אפשר לענות $AD = 10$ ?

Show the answer and the solution

כי $AD$ אינו רדיוס. $A$ ו- $D$ שתיהן על המעגל, ולכן $AD$ הוא מיתר. רק קטע שיוצא מ- $O$ הוא רדיוס.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מסכמת: משולש ישר זווית בתוך מעגל, ושטח העיגול.

Exercises

Exercise 1

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $13$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 10$ . חשבו את $BC$ ואת שטח המשולש $ABC$ .

$BC =$ ____ , $S_{ABC} =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $BC =$ 24 , $S_{ABC} =$ 120

Worked solution:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}BC &= \sqrt{26^2 - 10^2} \\ &= 24\end{aligned}

פיתגורס; הקוטר $AB = 26$ הוא היתר

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מכפלת הניצבים חלקי $2$

המלכודת: להציב את הרדיוס $13$ כיתר. היתר הוא הקוטר, $26$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ הוא קוטר. $\angle BAC = 40^\circ$ ו- $\angle DAC = 25^\circ$ . חשבו את $\angle BCD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 115

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAD &= 40^\circ + 25^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $A$ מורכבת משני חלקים

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

בדיקה: $\angle ACB = 50^\circ$ ו- $\angle ACD = 65^\circ$ , יחד $115^\circ$ . המלכודת: לעצור ב- $\angle ACB$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $B$ , הנמצאת בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 15$ ו- $PB = 9$ . מצאו את רדיוס המעגל.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

(r + 9)^2 = r^2 + 15^2

פיתגורס במשולש $OAP$ , ו- $OP = r + 9$

\begin{aligned}18r + 81 &= 225 \ \Rightarrow \ r \\ &= 8\end{aligned}

$r^2$ מתבטל

בדיקה: $OP = 17$ , ו- $8^2 + 15^2 = 289 = 17^2$ ✓. המלכודת: $OP = 9$ . הקטע $PB$ הוא רק החלק שמחוץ למעגל.

Check the answer on elev

Exercise 4

במעגל שמרכזו $O$ , המיתר $AB$ שאורכו $24$ נמצא במרחק $5$ מהמרכז. $M$ אמצע $AB$ , וההמשך של $OM$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה $AB$ . מהו אורך $AD$ ?

$6\sqrt{13}$
$8$
$13$
$4\sqrt{13}$

Show the answer and the solution

Answer: D $4\sqrt{13}$

Worked solution:

\begin{aligned}r &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את המיתר; פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}MD &= 13 - 5 \\ &= 8\end{aligned}

$OD$ רדיוס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{12^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{208} \\ &= 4\sqrt{13}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMD$

הנכונה: $4\sqrt{13}$ . $6\sqrt{13}$ מתקבל כשמחברים $MD = 13 + 5$ ; $13$ הוא הרדיוס; $8$ הוא $MD$ עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 5

משולש ישר זווית, שאורכי הניצבים שלו $5$ ו- $12$ , חסום במעגל. שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 42.25

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס: היתר

\begin{aligned}R &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר: היתר הוא קוטר

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 6.5^2 \\ &= 42.25\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $169\pi$ , כשמציבים את הקוטר במקום הרדיוס.

Check the answer on elev

1 — זווית על קוטר, פיתגורס ושטח

2 — מרובע חסום עם קוטר

3 — משיק, רדיוס ומשוואה

4 — מיתר, האנך מהמרכז ושוויון קטעים

Exercises

Keep practising on elev