Solving together

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון שאלות החדו״א בבגרות: פונקציה לפי הנגזרת ושטח, שטח בין שני גרפים, פרמטר עם שטח מתחת לנגזרת, ופרמטר שנמצא מתוך שטח. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלת שטח, לפני כל חישוב: איפה החיתוכים, ומי עליון. שני הדברים האלה קובעים את הגבולות ואת הסימן.

1 — הפונקציה לפי הנגזרת, ואחר כך שטח

למה אין צורך לחלק את הקטע [0, 2][0,\,2] בסעיף ג?

Show the answer and the solution

כי f(x)=(x+1)(x−2)2≥0f(x)=(x+1)(x-2)^2 \geq 0 בקטע: הגרף נוגע בציר ב-x=2x=2 ולא חוצה אותו. אין חלק מתחת לציר.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח בין פרבולה לישר

האם בשאלה הזו השטח מתחת לגרף של gg, בין x=1x=1 ל-x=4x=4, גדול מ-4.54.5?

Show the answer and the solution

כן. שטח הטרפז שמתחת לישר הוא (2+5)⋅32=10.5\frac{(2+5) \cdot 3}{2}=10.5, והשטח בין הגרפים הוא חלק ממנו: 10.510.5 פחות השטח שמתחת לפרבולה, 66.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — פרמטר, ושטח מתחת לגרף הנגזרת

בסעיף ב, מה היה משתנה אם ff הייתה עולה בקטע?

Show the answer and the solution

אז f′>0f'>0, הגרף של f′f' מעל הציר, והשטח היה פשוט f(4)−f(3)f(4)-f(3), בלי היפוך סימן. הסימן של f′f' הוא הכיוון של ff.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — למצוא פרמטר מתוך שטח

אם השטח היה 4.54.5 במקום 3636, מה היה kk?

Show the answer and the solution

k36=4.5\frac{k^3}{6}=4.5, ולכן k3=27k^3=27 ו-k=3k=3.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נגזרת הפונקציה ff היא f′(x)=3x2−12f'(x)=3x^2-12, והגרף של ff עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5). השלימו.

f(x)=x3−12x+f(x)=x^3-12x+ ____ ; נקודת המינימום: x=x= ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה-xx וציר ה-yy ברביע הראשון: ____

Show the answer and the solution

Answer: f(x)=x3−12x+f(x)=x^3-12x+ 16 ; נקודת המינימום: x=x= 2 ; השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה-xx וציר ה-yy ברביע הראשון: 12

Worked solution:

f(x)=x3−12x+Cf(1)=−11+C=5 ⇒ C=16\begin{aligned}f(x) &= x^3-12x+C \\ \quad f(1) &= -11+C \\ &= 5 \ \Rightarrow \ C \\ &= 16\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=3(x−2)(x+2) ⇒ min⁡(2, 0)f'(x)=3(x-2)(x+2) \ \Rightarrow \ \min (2,\,0)

מ-−- ל-++ ב-x=2x=2

∫02(x3−12x+16) dx=4−24+32=12\begin{aligned}\int_0^2 (x^3-12x+16)\,dx &= 4-24+32 \\ &= 12\end{aligned}

השטח, מ-00 עד נקודת המגע x=2x=2

שוב המינימום יושב על ציר ה-xx וקובע את הגבול. מי שחישב עד x=4x=4 או עד x=−4x=-4 לא בדק איפה הגרף פוגש את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונות f(x)=2x2−4x+1f(x)=2x^2-4x+1 ו-g(x)=2x+1g(x)=2x+1. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

2x2−4x+1=2x+1 ⇒ 2x(x−3)=0\begin{aligned}2x^2-4x+1 &= 2x+1 \ \Rightarrow \ 2x(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

חיתוכים: x=0, x=3x=0 ,\ x=3

g(1)=3>f(1)=−1\begin{aligned}g(1) &= 3>f(1) \\ &= -1\end{aligned}

הישר עליון

∫03(6x−2x2) dx=27−18=9\begin{aligned}\int_0^3 (6x-2x^2)\,dx &= 27-18 \\ &= 9\end{aligned}

השטח

שני הגרפים חותכים את ציר ה-yy באותה נקודה, (0, 1)(0,\,1): היא אחת מנקודות החיתוך. מי שחיפש חיתוך עם ציר ה-xx סטה מהשאלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=a(x+1)2f(x)=\frac{a}{(x+1)^2}. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא −3-3. השלימו.

a=a= ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3: ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx ואותם ישרים: ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= 12 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=3x=3: 2.25 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx ואותם ישרים: 3

Worked solution:

f′(x)=−2a(x+1)3 ⇒ f′(1)=−a4=−3 ⇒ a=12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-2a}{(x+1)^3} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -\frac{a}{4} \\ &= -3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

הפרמטר

∫13f′ dx=f(3)−f(1)=34−3=−2.25\begin{aligned}\int_1^3 f'\,dx &= f(3)-f(1) \\ &= \tfrac{3}{4}-3 \\ &= -2.25\end{aligned}

f′<0f'<0: השטח 2.252.25

∫1312(x+1)2 dx=[−12x+1]13=−3+6=3\begin{aligned}\int_1^3 \frac{12}{(x+1)^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{12}{x+1}\Big]_1^3 \\ &= -3+6 \\ &= 3\end{aligned}

השטח מתחת ל-ff

אותם גבולות, שתי פונקציות שונות. מתחת ל-f′f' מציבים ב-ff; מתחת ל-ff מחפשים קדומה של ff.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x2−kxf(x)=x^2-kx, כאשר k>0k>0. השטח המוגבל על ידי הגרף של ff וציר ה-xx הוא 4.54.5. השלימו.

k=k= ____ ; הערך המינימלי של ff: ____

Show the answer and the solution

Answer: k=k= 3 ; הערך המינימלי של ff: -2.25

Worked solution:

x(x−k)=0 ⇒ x=0 x=k\begin{aligned}x(x-k) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= k\end{aligned}

חיתוכים

∫0k(x2−kx) dx=−k36 ⇒ S=k36\begin{aligned}\int_0^k (x^2-kx)\,dx &= -\tfrac{k^3}{6} \ \Rightarrow \ S \\ &= \tfrac{k^3}{6}\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

k36=4.5 ⇒ k=3\begin{aligned}\tfrac{k^3}{6} &= 4.5 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

הפרמטר

f(1.5)=2.25−4.5=−2.25\begin{aligned}f(1.5) &= 2.25-4.5 \\ &= -2.25\end{aligned}

המינימום באמצע, ב-x=1.5x=1.5

כאן הפרבולה מתחת לציר, והאינטגרל שלילי. מי שהשווה את −k36-\frac{k^3}{6} ל-4.54.5 לא מצא פתרון חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x3y=x^3 לבין הישר y=xy=x.

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

x3=x ⇒ x(x−1)(x+1)=0\begin{aligned}x^3 &= x \ \Rightarrow \ x(x-1)(x+1) \\ &= 0\end{aligned}

שלוש נקודות חיתוך: −1, 0, 1-1,\ 0,\ 1

−1<x<0: x3>x0<x<1: x>x3-1<x<0: \ x^3>x \qquad 0<x<1: \ x>x^3

העליון מתחלף ב-x=0x=0

∫−10(x3−x) dx=14∫01(x−x3) dx=14\begin{aligned}\int_{-1}^{0} (x^3-x)\,dx &= \tfrac{1}{4} \qquad \int_0^1 (x-x^3)\,dx \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

כל חלק לחוד

S=14+14=0.5\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מחברים

שלוש נקודות חיתוך הן שני שטחים. ∫−11(x−x3) dx=0\int_{-1}^{1} (x-x^3)\,dx=0: בלי חלוקה, שני החלקים מבטלים זה את זה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade