Practice · Integral calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים, $\frac{c}{(ax+b)^2}$ , שטח בין גרף לציר, שטח בין שני גרפים, משיק ופרמטר. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

מהו $\int (x^2+4x)\,dx$ ?

$\frac{x^3}{3}+2x^2+C$
$x^3+2x^2+C$
$\frac{x^3}{3}+4x^2+C$
$2x+4+C$

Show the answer and the solution

Answer: A $\frac{x^3}{3}+2x^2+C$

Worked solution:

\begin{aligned}\int x^2\,dx &= \tfrac{x^3}{3} \qquad \int 4x\,dx \\ &= 2x^2\end{aligned}

כל מחובר לחוד

הנכונה: $\frac{x^3}{3}+2x^2+C$ . $2x+4$ היא נגזרת; $4x^2$ שוכח לחלק ב- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את $\int_0^3 (2x+1)\,dx$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\Big[x^2+x\Big]_0^3=9+3

עליון פחות תחתון

=12

התוצאה

$F(0)=0$ , ולכן מספיק לחשב את $F(3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון $f'(x)=6x^2$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $(1,\,4)$ . חשבו את $f(2)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

f(x)=2x^3+C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}2+C &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה

\begin{aligned}f(2) &= 16+2 \\ &= 18\end{aligned}

מציבים

בלי $C$ התשובה $16$ .

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

חשבו את $\int_0^3 \frac{4}{(x+1)^2}\,dx$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\Big[-\tfrac{4}{x+1}\Big]_0^3=-1-(-4)

פונקציה קדומה

=3

התוצאה

שני מינוסים בשורה: $-1-(-4)=3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=x^2-x-2$ וציר ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4.5

Worked solution:

\begin{aligned}(x-2)(x+1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

\int_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx=-4.5

הגרף מתחת לציר

S=4.5

הערך הנגדי

פרבולה «מחייכת» נמצאת מתחת לציר בין השורשים שלה.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של $y=3x^2$ לבין הישר $y=6x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}3x^2 &= 6x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

חיתוכים

\begin{aligned}\int_0^2 (6x-3x^2)\,dx &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

הישר עליון

הגבולות באים מהחיתוך בין הגרפים.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $y=x^3-x$ לבין ציר ה- $x$ , בתחום $0 \leq x \leq 2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

\begin{aligned}x^3-x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{בתחום}\end{aligned}

חיתוך בפנים

\begin{aligned}\int_0^1 (x^3-x)\,dx &= -\tfrac{1}{4} \qquad \int_1^2 (x^3-x)\,dx \\ &= \tfrac{9}{4}\end{aligned}

כל חלק לחוד

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה מתקבל $2$ , תשובה שגויה.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

נתון $k>0$ . השטח המוגבל בין הגרף של $y=x^2$ לבין הישר $y=k$ הוא $\frac{32}{3}$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 &= k \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{k}\end{aligned}

חיתוכים

\begin{aligned}\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k-x^2)\,dx &= 2\Big(k\sqrt{k}-\tfrac{k\sqrt{k}}{3}\Big) \\ &= \tfrac{4}{3}k\sqrt{k}\end{aligned}

סימטריה: פעמיים החצי הימני

\begin{aligned}\tfrac{4}{3}k\sqrt{k} &= \tfrac{32}{3} \ \Rightarrow \ k\sqrt{k} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

$4 \cdot 2=8$

בדיקה: $\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}$ ✓. הגבולות $\pm\sqrt{k}$ , לא $\pm k$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=x^2$ , המשיק לגרף בנקודה שבה $x=6$ , וציר ה- $x$ .

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

\begin{aligned}y-36 &= 12(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= 12x-36\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}12x-36 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

חיתוך המשיק עם הציר

\int_0^6 x^2\,dx=72

מתחת לפרבולה

\tfrac{(6-3) \cdot 36}{2}=54

המשולש שמתחת למשיק

\begin{aligned}S &= 72-54 \\ &= 18\end{aligned}

מחסרים

המשולש מתחיל ב- $x=3$ , לא ב- $x=0$ . מי שלקח רוחב $6$ חיסר $108$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=\frac{8}{x^2}$ . מצאו את $a>1$ שעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=1$ ו- $x=a$ הוא $6$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\Big[-\tfrac{8}{x}\Big]_1^a=8-\tfrac{8}{a}

השטח כביטוי ב- $a$

\begin{aligned}8-\tfrac{8}{a} &= 6 \ \Rightarrow \ \tfrac{8}{a} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

שימו לב: גם עם $a$ גדול מאוד השטח לא עובר את $8$ . לכן שטח $6$ אפשרי, ושטח $10$ לא.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev