Set 3 — towards the bagrut · Integral calculus · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פולינום עם קיצון ומשיק, פונקציה עם ריבוע במכנה, פרמטר שנמצא משטח, ושטח מתחת לגרף הנגזרת.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שמתחילים סעיף, חפשו מה כבר מצאתם שהוא צריך: נקודת חיתוך, משוואת משיק, ביטוי ב- $k$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . א. מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

מקסימום: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: $($ 1 $,$ 4 $)$ ; מינימום: $($ 3 $,$ 0 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-12x+9 \\ &= 3(x-1)(x-3)\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(0) &= 9>0 \quad f'(2) \\ &= -3<0 \quad f'(4) \\ &= 9>0\end{aligned}

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(1) &= 4 \qquad f(3) \\ &= 0\end{aligned}

מקסימום $(1,\,4)$ , מינימום $(3,\,0)$

המינימום נמצא על ציר ה- $x$ : $f(x)=x(x-3)^2$ . זה ישמש בסעיף ג.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . ב. דרך נקודת המקסימום של $f$ העבירו משיק לגרף. המשיק חותך את הגרף בנקודה נוספת. מצאו את שיעור ה- $x$ שלה.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 4\end{aligned}

משיק אופקי בנקודת המקסימום

\begin{aligned}x^3-6x^2+9x &= 4 \ \Rightarrow \ (x-1)^2(x-4) \\ &= 0\end{aligned}

$x=1$ פתרון כפול, כי שם המשיק נוגע

x=4

הנקודה הנוספת $(4,\,4)$

שיפוע המשיק בנקודת קיצון הוא $0$ , ולכן המשיק הוא $y=4$ . את $x=1$ כבר יודעים; לכן אפשר לחלק את הפולינום ב- $(x-1)^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-6x^2+9x$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ והמשיק מסעיף ב.

Show the answer and the solution

Answer: 6.75

Worked solution:

\begin{aligned}4-f(x) &= -(x-1)^2(x-4) \geq 0 \\ \quad 1 \leq x \leq 4\end{aligned}

המשיק מעל הגרף

\int_1^4 (4-x^3+6x^2-9x)\,dx=\Big[4x-\tfrac{x^4}{4}+2x^3-\tfrac{9x^2}{2}\Big]_1^4

העליון פחות התחתון

\begin{aligned}8-\tfrac{5}{4} &= \tfrac{27}{4} \\ &= 6.75\end{aligned}

השטח

הגבולות הם שתי נקודות החיתוך של הגרף והמשיק, $x=1$ ו- $x=4$ , שנמצאו בסעיף ב. אין להם קשר לחיתוך עם ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . א. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה- $y$ .

שיפוע המשיק: ____ ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: שיפוע המשיק: -2 ; המשיק חותך את ציר ה- $y$ ב- $y=$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-16}{(x+2)^3} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y=-2x+2

משוואת המשיק

גזירה עם כלל השרשרת: $8(x+2)^{-2}$ נותן $-16(x+2)^{-3}$ . מי שקיבל $-8$ שכח להכפיל בחזקה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק מסעיף א והישר $x=2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^2 \frac{8}{(x+2)^2}\,dx &= \Big[-\tfrac{8}{x+2}\Big]_0^2 \\ &= -2+4 \\ &= 2\end{aligned}

מתחת לגרף

\begin{aligned}\int_0^2 (-2x+2)\,dx &= \Big[-x^2+2x\Big]_0^2 \\ &= 0\end{aligned}

מתחת למשיק (חלק מעל הציר וחלק מתחתיו)

\begin{aligned}S &= 2-0 \\ &= 2\end{aligned}

הגרף עליון: הפרש האינטגרלים

המשיק יורד מתחת לציר ה- $x$ אחרי $x=1$ , ובכל זאת לא מחלקים: שטח בין שני גרפים הוא הפרש, ולא משנה איפה הציר.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{(x+2)^2}$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , הצירים והישר $x=6$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\Big[-\tfrac{8}{x+2}\Big]_0^6=-1-(-4)

הגרף מעל הציר

S=3

השטח

הגבולות: ציר ה- $y$ נותן $x=0$ , הישר נותן $x=6$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+2kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר. א. מהם שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ ? הביעו באמצעות $k$ .

$x=\pm\sqrt{2k}$
$x=0$ ו- $x=2k$
$x=0$ ו- $x=k$
$x=0$ ו- $x=-2k$

Show the answer and the solution

Answer: B $x=0$ ו- $x=2k$

Worked solution:

\begin{aligned}-x^2+2kx &= -x(x-2k) \\ &= 0\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2k\end{aligned}

שני פתרונות

הנכונה: $x=0$ ו- $x=2k$ . $x=k$ הוא שיעור הקדקוד, באמצע בין שני החיתוכים.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^2+2kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר. ב. השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ הוא $36$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\int_0^{2k} (-x^2+2kx)\,dx=\Big[-\tfrac{x^3}{3}+kx^2\Big]_0^{2k}

בין החיתוכים מסעיף א

=-\tfrac{8k^3}{3}+4k^3=\tfrac{4k^3}{3}

השטח כביטוי ב- $k$

\begin{aligned}\tfrac{4k^3}{3} &= 36 \ \Rightarrow \ k^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

הגבול העליון הוא $2k$ , ולכן $x^3$ הופך ל- $8k^3$ . מי שהציב $k$ במקום $2k$ קיבל $\frac{2k^3}{3}=36$ , כלומר $k^3=54$ , ומספר שאינו שלם הוא סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . א. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}>0

הגרף של $f'$ מעל הציר

\begin{aligned}S &= \int_0^4 f'(x)\,dx \\ &= f(4)-f(0)\end{aligned}

הקדומה של $f'$ היא $f$

\begin{aligned}\sqrt{16}-\sqrt{4} &= 4-2 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

לא צריך למצוא קדומה של $\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}$ : היא כבר נתונה, זו $f$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{3x+4}$ . ב. נתונה $g(x)=f'(x)+3$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

g(x)>0

הגרף של $g$ מעל הציר

\int_0^4 g(x)\,dx=\int_0^4 f'(x)\,dx+\int_0^4 3\,dx

מפרקים

=2+12=14

השטח מסעיף א, ועוד מלבן $4 \cdot 3$

ההזזה למעלה ב- $3$ מוסיפה $3$ כפול רוחב הקטע, $4$ . מי שעונה $5$ הוסיף רק $3$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev