Set 2 — medium

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות של שניים או שלושה שלבים: חלוקה כשהגרף חוצה את הציר, שטח בין שני גרפים, פרבולה ומשיק, שטח מתחת לנגזרת, ופרמטר בגבול האינטגרל.

לפני כל שטח: איפה החיתוכים ומי עליון. ואם יצא מספר שלילי, זה לא שטח. בדקו מה נשכח.

Exercises

Exercise 1

נתון f′(x)=2(x−2)2f'(x)=\frac{2}{(x-2)^2}, והגרף של ff עובר בנקודה (3, 1)(3,\,1). השלימו.

f(x)=−2x−2+f(x)=-\frac{2}{x-2}+ ____ ; f(4)=f(4)= ____

Show the answer and the solution

Answer: f(x)=−2x−2+f(x)=-\frac{2}{x-2}+ 3 ; f(4)=f(4)= 2

Worked solution:

f(x)=−2x−2+Cf(x)=-\frac{2}{x-2}+C

פונקציה קדומה

f(3)=−2+C=1 ⇒ C=3\begin{aligned}f(3) &= -2+C \\ &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

f(4)=−1+3=2\begin{aligned}f(4) &= -1+3 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

המינוס בקדומה הוא מה שהופך את הנגזרת לחיובית. בלעדיו C=−1C=-1, ו-f(4)=0f(4)=0.

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את ∫−12(x2−2x+3) dx\int_{-1}^{2} (x^2-2x+3)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

F(x)=x33−x2+3xF(x)=\tfrac{x^3}{3}-x^2+3x

פונקציה קדומה

F(2)=83+2=143F(−1)=−13−1−3=−133\begin{aligned}F(2) &= \tfrac{8}{3}+2 \\ &= \tfrac{14}{3} \qquad F(-1) \\ &= -\tfrac{1}{3}-1-3 \\ &= -\tfrac{13}{3}\end{aligned}

מציבים

143+133=9\tfrac{14}{3}+\tfrac{13}{3}=9

ההפרש

שלושה מחוברים ב-F(−1)F(-1), וכולם שליליים. זה המקום שבו רוב הטעויות קורות.

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=x2−4xy=x^2-4x לבין ציר ה-xx, בתחום 0≤x≤50 \leq x \leq 5.

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

x2−4x=0 ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}x^2-4x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוך בתוך התחום: x=4x=4

∫04(x2−4x) dx=643−32=−323\begin{aligned}\int_0^4 (x^2-4x)\,dx &= \tfrac{64}{3}-32 \\ &= -\tfrac{32}{3}\end{aligned}

מתחת לציר

∫45(x2−4x) dx=73\int_4^5 (x^2-4x)\,dx=\tfrac{7}{3}

מעל הציר

S=323+73=13\begin{aligned}S &= \tfrac{32}{3}+\tfrac{7}{3} \\ &= 13\end{aligned}

מחברים

בלי חלוקה מתקבל −253-\frac{25}{3}, ומי שלוקח ממנו ערך מוחלט מקבל 253\frac{25}{3}: גם זה שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו השטח המוגבל בין הגרף של y=x2−2xy=x^2-2x לבין הישר y=2xy=2x?

  1. 163\frac{16}{3}
  2. −323-\frac{32}{3}
  3. 323\frac{32}{3}
  4. 643\frac{64}{3}
Show the answer and the solution

Answer: C 323\frac{32}{3}

Worked solution:

x2−2x=2x ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}x^2-2x &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוכים

∫04(4x−x2) dx=32−643=323\begin{aligned}\int_0^4 (4x-x^2)\,dx &= 32-\tfrac{64}{3} \\ &= \tfrac{32}{3}\end{aligned}

הישר עליון

הנכונה: 323\frac{32}{3}. −323-\frac{32}{3} היא התחתון פחות העליון; שטח אינו שלילי. 643\frac{64}{3} היא ∫04x2 dx\int_0^4 x^2\,dx.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון ∫1k(2x−1) dx=6\int_1^k (2x-1)\,dx=6, כאשר k>1k>1. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

[x2−x]1k=k2−k−0\Big[x^2-x\Big]_1^k=k^2-k-0

האינטגרל כביטוי

k2−k−6=0 ⇒ k=3 k=−2\begin{aligned}k^2-k-6 &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3 \\ \ k &= -2\end{aligned}

פותרים

k=3k=3

לפי k>1k>1

בדיקה: 9−3−0=69-3-0=6 ✓. k=−2k=-2 נפסל לפי התנאי.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=12(2x+1)2y=\frac{12}{(2x+1)^2}, הצירים והישר x=1x=1.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

F(x)=−122(2x+1)=−62x+1\begin{aligned}F(x) &= -\frac{12}{2(2x+1)} \\ &= -\frac{6}{2x+1}\end{aligned}

פונקציה קדומה, a=2a=2

F(1)−F(0)=−2−(−6)=4\begin{aligned}F(1)-F(0) &= -2-(-6) \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

מי ששכח לחלק ב-a=2a=2 קיבל 88, כפול מהתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 7

רוצים לחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=3x2−3y=3x^2-3, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∫02(3x2−3) dx=[x3−3x]02\int_0^2 (3x^2-3)\,dx=\Big[x^3-3x\Big]_0^2
=8−6=2=8-6=2
S=2S=2
Show the answer and the solution

Answer: S=2S=2 → S=∣∫01∣+∫12=2+4=6S=\left|\int_0^1\right|+\int_1^2=2+4=6

Worked solution:

3x2−3=0 ⇒ x=1\begin{aligned}3x^2-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר בתוך הקטע

∫01(3x2−3) dx=−2∫12(3x2−3) dx=4\begin{aligned}\int_0^1 (3x^2-3)\,dx &= -2 \qquad \int_1^2 (3x^2-3)\,dx \\ &= 4\end{aligned}

כל חלק לחוד

שתי השורות הראשונות נכונות: האינטגרל באמת 22. השגיאה היא במסקנה S=2S=2: האינטגרל הוא לא השטח, כי הגרף חוצה את הציר ב-x=1x=1.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשיק לגרף של y=x2y=x^2 בנקודה (3, 9)(3,\,9) הוא y=6x−9y=6x-9. חשבו את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק וציר ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

x2−(6x−9)=(x−3)2≥0x^2-(6x-9)=(x-3)^2 \geq 0

הפרבולה מעל המשיק

∫03(x−3)2 dx=[(x−3)33]03=0−(−9)\begin{aligned}\int_0^3 (x-3)^2\,dx &= \Big[\tfrac{(x-3)^3}{3}\Big]_0^3 \\ &= 0-(-9)\end{aligned}

מציר ה-yy עד נקודת ההשקה

S=9S=9

השטח

החסם השלישי הוא ציר ה-yy, ולכן הגבולות 00 ו-33, בלי חלוקה. אילו היה ציר ה-xx, היה צריך לחלק בנקודה שבה המשיק חותך אותו.

Check the answer on elev

Exercise 9

כדי לחשב את השטח בין הגרף לציר ה-xx בקטע הנתון, האם צריך לחלק את הקטע?

  • צריך לחלק
  • לא צריך לחלק
  • 4−x24-x^2 בקטע [−2, 2][-2,\,2]
  • x−3x-3 בקטע [0, 2][0,\,2]
  • x2−1x^2-1 בקטע [0, 2][0,\,2]
  • x2−4xx^2-4x בקטע [1, 5][1,\,5]
  • x2+1x^2+1 בקטע [−1, 1][-1,\,1]
  • x3x^3 בקטע [−1, 1][-1,\,1]
Show the answer and the solution

Answer: x2−1x^2-1 בקטע [0, 2][0,\,2] — צריך לחלק · x3x^3 בקטע [−1, 1][-1,\,1] — צריך לחלק · x2−4xx^2-4x בקטע [1, 5][1,\,5] — צריך לחלק · x2+1x^2+1 בקטע [−1, 1][-1,\,1] — לא צריך לחלק · x−3x-3 בקטע [0, 2][0,\,2] — לא צריך לחלק · 4−x24-x^2 בקטע [−2, 2][-2,\,2] — לא צריך לחלק

Worked solution:

x2−1=0 ⇒ x=1∈(0,2)\begin{aligned}x^2-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \in (0,2)\end{aligned}

חיתוך בפנים

x−3<0 בכל [0,2]x-3<0 \ \text{בכל} \ [0,2]

שלילי בכל הקטע: הופכים סימן, אבל לא מחלקים

4−x2=0 ⇒ x=±2\begin{aligned}4-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

החיתוכים בקצוות, לא בפנים

מחלקים רק כשיש חיתוך עם הציר בתוך הקטע. חיתוך בקצה, כמו ב-4−x24-x^2, לא מחייב חלוקה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=6x+1f(x)=\frac{6}{x+1}. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=2x=2.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=−6(x+1)2<0f'(x)=-\frac{6}{(x+1)^2}<0

הגרף של f′f' מתחת לציר

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)=2−6=−4\begin{aligned}\int_0^2 f'(x)\,dx &= f(2)-f(0) \\ &= 2-6 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב-ff

S=4S=4

הערך הנגדי

אין צורך לגזור ולחפש קדומה: ff היא הקדומה של f′f'. ff יורדת, ולכן האינטגרל שלילי והשטח חיובי.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade