The bell curve

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מודדים את הגובה של אלפי חיילים. רוב הגבהים קרובים לממוצע, ויש פחות ופחות ככל שמתרחקים ממנו.

הצורה סימטרית, והעקומה החלקה היא עקומת הפעמון: העקומה של ההתפלגות הנורמלית. בנוסחאון היא מחולקת לרצועות של חצי סטיית תקן:

לפי הרצועות: איזה אחוז מהחיילים נמוכים מ-163163 ס״מ?

Show the answer and the solution

163=172−1.5⋅6163=172-1.5 \cdot 6, כלומר z=−1.5z=-1.5. מתחת: 4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=6.68%4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=6.68\%.

התכונות של העקומה הנורמלית

P(X<μ)=P(X>μ)=50%\begin{aligned}P(X<\mu) &= P(X>\mu) \\ &= 50\%\end{aligned}

העקומה סימטרית סביב הממוצע

μ\mu

הממוצע, החציון והשכיח שווים: שלושתם באמצע, בנקודה הגבוהה

100%100\%

השטח מתחת לכל העקומה. שטח בין שני ערכים הוא אחוז התצפיות ביניהם

P(X=a)=0P(X=a)=0

לערך בודד אין שטח, ולכן P(X<a)=P(X≤a)P(X<a)=P(X \leq a)

כלל 68–95–99.7

μ±σ: 68.26%\mu \pm \sigma:\ 68.26\%

פעמיים 34.13%34.13\%

μ±2σ: 95.44%\mu \pm 2\sigma:\ 95.44\%

פעמיים 34.13%+13.59%34.13\%+13.59\%

μ±3σ: 99.74%\mu \pm 3\sigma:\ 99.74\%

כמעט הכול

המספרים 6868, 9595 ו-99.799.7 הם עיגול שקל לזכור, ונותן הערכה מהירה. בחישוב עצמו משתמשים באחוזים המדויקים של הנוסחאון, או בטבלה של השיעור הבא.

אחוז בין שני ערכים

הגובה של חיילים מתפלג נורמלית עם ממוצע 172172 ס״מ וסטיית תקן 66 ס״מ. איזה אחוז מהחיילים גובהם בין 166166 ל-181181 ס״מ?

z1=166−1726=−1z2=181−1726=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{166-172}{6} \\ &= -1 \qquad z_2 \\ &= \frac{181-172}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

מתרגמים את שני הערכים ל-zz

19.15%+14.98%=34.13%19.15\%+14.98\%=34.13\%

משמאל לממוצע: סטיית תקן אחת

19.15%+14.98%+9.19%=43.32%19.15\%+14.98\%+9.19\%=43.32\%

מימין לממוצע: שלושה חצאים

34.13%+43.32%=77.45%34.13\%+43.32\%=77.45\%

מחברים את שני הצדדים

מאחוז לכמות. אם בקבוצה nn תצפיות, מספר התצפיות בתחום הוא nn כפול האחוז. התוצאה לא תמיד מספר שלם, ומעגלים אותה.

באותה קבוצה יש 2,0002{,}000 חיילים. כמה מהם גבוהים מ-184184 ס״מ?

Show the answer and the solution

184=172+2⋅6184=172+2 \cdot 6, כלומר z=2z=2. מעל z=2z=2: 1.66%+0.49%+0.13%=2.28%1.66\%+0.49\%+0.13\%=2.28\%. 2000⋅0.0228=45.62000 \cdot 0.0228=45.6, כלומר בערך 4646 חיילים.

מה קובעת סטיית התקן

באיזו מהקבוצות אחוז גדול יותר של התצפיות נמצא בין 4545 ל-5555?

Show the answer and the solution

בקבוצה עם σ=5\sigma=5 התחום הוא μ±σ\mu \pm \sigma: 68.26%68.26\%. בקבוצה עם σ=10\sigma=10 הוא רק μ±0.5σ\mu \pm 0.5\sigma: 2⋅19.15%=38.3%2 \cdot 19.15\%=38.3\%. הפעמון הצר מרוכז יותר סביב הממוצע.

לפני כל חישוב, שרטטו פעמון קטן, סמנו את μ\mu ואת הערכים, והחליטו אם התשובה גדולה או קטנה מ-50%50\%. זו בדיקה של שנייה אחת שתופסת את רוב הטעויות.

שתי טעויות באחוזים של הפעמון.

P(μ<X<μ+2σ)=2⋅34.13%P(\mu<X<\mu+2\sigma)=2 \cdot 34.13\%
P(μ<X<μ+2σ)=34.13%+13.59%=47.72%\begin{aligned}P(\mu<X<\mu+2\sigma) &= 34.13\%+13.59\% \\ &= 47.72\%\end{aligned}

האחוזים אינם שווים בכל סטיית תקן. הרצועה השנייה דקה הרבה יותר מהראשונה.

P(X>μ+σ)=100%−68.26%P(X>\mu+\sigma)=100\%-68.26\%
P(X>μ+σ)=100%−68.26%2=15.87%\begin{aligned}P(X>\mu+\sigma) &= \frac{100\%-68.26\%}{2} \\ &= 15.87\%\end{aligned}

מה שמחוץ ל-μ±σ\mu \pm \sigma מתחלק לשני זנבות, ורק אחד מהם מעל μ+σ\mu+\sigma.

Exercises

Exercise 1

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. איזה אחוז מהשיחות נמשכות בין 66 ל-7.27.2 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 34.13

Worked solution:

z=7.2−61.2=1\begin{aligned}z &= \frac{7.2-6}{1.2} \\ &= 1\end{aligned}

7.27.2 הוא μ+σ\mu+\sigma

19.15%+14.98%=34.13%19.15\%+14.98\%=34.13\%

שני החצאים הראשונים

מי שענה 68.26%68.26\% לקח את שני הצדדים של הממוצע, אבל התחום מתחיל בממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 2

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. איזה אחוז מהשיחות נמשכות בין 3.63.6 ל-7.27.2 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 81.85

Worked solution:

z1=3.6−61.2=−2z2=1\begin{aligned}z_1 &= \frac{3.6-6}{1.2} \\ &= -2 \qquad z_2 \\ &= 1\end{aligned}

שני ציוני התקן

34.13%+13.59%=47.72%34.13\%+13.59\%=47.72\%

משמאל לממוצע, עד 22 סטיות תקן

47.72%+34.13%=81.85%47.72\%+34.13\%=81.85\%

ועוד הצד הימני

התחום לא סימטרי: שתי סטיות תקן משמאל ואחת מימין. מחשבים כל צד לחוד.

Check the answer on elev

Exercise 3

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. איזה אחוז מהשיחות נמשכות יותר מ-8.48.4 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.28

Worked solution:

z=8.4−61.2=2\begin{aligned}z &= \frac{8.4-6}{1.2} \\ &= 2\end{aligned}

8.48.4 הוא μ+2σ\mu+2\sigma

1.66%+0.49%+0.13%=2.28%1.66\%+0.49\%+0.13\%=2.28\%

הזנב הימני מעבר ל-22

מי שענה 4.56%4.56\% לקח את שני הזנבות. «יותר מ-» הוא זנב אחד בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 4

משך שיחה במוקד שירות מתפלג נורמלית עם ממוצע 66 דקות וסטיית תקן 1.21.2 דקות. ביום מסוים היו 2,5002{,}500 שיחות. כמה מהן נמשכו פחות מ-4.24.2 דקות? עגלו למספר שלם.

Show the answer and the solution

Answer: 167

Worked solution:

z=4.2−61.2=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{4.2-6}{1.2} \\ &= -1.5\end{aligned}

ציון התקן

4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=6.68%4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=6.68\%

הזנב השמאלי מעבר ל-−1.5-1.5

2500⋅0.0668=1672500 \cdot 0.0668=167

מאחוז לכמות

את האחוז כופלים במספר השיחות כשבר עשרוני: 6.68%=0.06686.68\%=0.0668. מי שכפל ב-6.686.68 קיבל מספר גדול מכל השיחות.

Check the answer on elev

Exercise 5

משקל תפוחים בשני מטעים
1001201401601802000גרם
  • מטע א
  • מטע ב

באיור: התפלגות המשקל (בגרם) של תפוחים בשני מטעים. איזה משפט נכון?

  1. סטיית התקן במטע א קטנה יותר
  2. סטיית התקן במטע ב קטנה יותר, כי העקומה שלו נמוכה יותר
  3. במטע ב אחוז גדול יותר של תפוחים בין 140140 ל-160160 גרם
  4. הממוצע במטע א גדול יותר
Show the answer and the solution

Answer: A סטיית התקן במטע א קטנה יותר

Worked solution:

μA=μB=150\begin{aligned}\mu_A &= \mu_B \\ &= 150\end{aligned}

שתי העקומות מרוכזות סביב אותו ערך

σA<σB\sigma_A<\sigma_B

העקומה של מטע א צרה וגבוהה

הנכונה: סטיית התקן במטע א קטנה יותר. עקומה נמוכה היא עקומה רחבה: השטח מתחת לכל עקומה הוא 100%100\%. לכן במטע א, הצר, יש יותר תפוחים קרובים ל-150150.

Check the answer on elev

Exercise 6

בהתפלגות נורמלית, החציון שווה לממוצע.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(X<μ)=50%P(X<\mu)=50\%

הסימטריה סביב הממוצע

נכון. חצי מהתצפיות מתחת לממוצע וחצי מעליו, וזו בדיוק ההגדרה של החציון.

Check the answer on elev

Exercise 7

משתנה מתפלג נורמלית. ידוע ש-15.87%15.87\% מהערכים קטנים מ-5252, ו-15.87%15.87\% מהערכים גדולים מ-6868. השלימו.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Show the answer and the solution

Answer: μ=\mu= 60 , σ=\sigma= 8

Worked solution:

μ=52+682=60\begin{aligned}\mu &= \frac{52+68}{2} \\ &= 60\end{aligned}

אותו אחוז בשני הזנבות: הממוצע באמצע

15.87%=9.19%+4.40%+1.66%+0.49%+0.13%15.87\%=9.19\%+4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%

זה הזנב שמעבר לסטיית תקן אחת

68=60+σ ⇒ σ=8\begin{aligned}68 &= 60+\sigma \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

סטיית התקן

הסימטריה נותנת את הממוצע בלי חישוב. 15.87%15.87\% הוא מספר שכדאי לזהות: זה הזנב שמעבר ל-μ+σ\mu+\sigma.

Check the answer on elev

Exercise 8

זמן ההמתנה לאוטובוס מתפלג נורמלית עם ממוצע 1010 דקות וסטיית תקן 44 דקות. איזה אחוז מהנוסעים מחכים בין 88 ל-1616 דקות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 62.47

Worked solution:

z1=8−104=−0.5z2=16−104=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{8-10}{4} \\ &= -0.5 \qquad z_2 \\ &= \frac{16-10}{4} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן

19.15%19.15\%

משמאל לממוצע: חצי אחד

19.15%+14.98%+9.19%=43.32%19.15\%+14.98\%+9.19\%=43.32\%

מימין: שלושה חצאים

19.15%+43.32%=62.47%19.15\%+43.32\%=62.47\%

סך הכול

כל חצי סטיית תקן מקבל אחוז אחר. מי שכפל 4⋅19.15%4 \cdot 19.15\% הניח שכל הרצועות שוות.

Check the answer on elev

Exercise 9

זמני הנסיעה בקו אוטובוס מתפלגים נורמלית. בגלל עבודות בכביש, כל זמן נסיעה מוכפל ב-1.21.2. מה קורה לאחוז הנסיעות שבין הממוצע לבין סטיית תקן אחת מעליו?

  1. אי אפשר לדעת בלי הממוצע
  2. נשאר 34.13%34.13\%
  3. קטן, כי הפעמון נעשה רחב יותר
  4. גדל פי 1.21.2
Show the answer and the solution

Answer: B נשאר 34.13%34.13\%

Worked solution:

μ→1.2μσ→1.2σ\mu \to 1.2\mu \qquad \sigma \to 1.2\sigma

שני הפרמטרים משתנים יחד

μ+σ→1.2(μ+σ)\mu+\sigma \to 1.2(\mu+\sigma)

גם גבול התחום זז באותו יחס

הנכונה: נשאר 34.13%34.13\%. התחום נמדד בסטיות תקן, וכל ציון תקן נשמר. זה נכון לכל התפלגות נורמלית.

Check the answer on elev

Exercise 10

משתנה XX מתפלג נורמלית עם ממוצע 8080. איזה שטח שווה לשטח P(74<X<80)P(74<X<80), בלי לחשב?

  1. P(68<X<74)P(68<X<74)
  2. P(80<X<86)P(80<X<86)
  3. P(74<X<86)P(74<X<86)
  4. P(X>86)P(X>86)
Show the answer and the solution

Answer: B P(80<X<86)P(80<X<86)

Worked solution:

80−74=6=86−80\begin{aligned}80-74 &= 6 \\ &= 86-80\end{aligned}

שני הקטעים באותו מרחק מהממוצע, משני הצדדים

הנכונה: P(80<X<86)P(80<X<86), בגלל הסימטריה. הקטע 6868–7474 באותו רוחב, אבל רחוק יותר מהממוצע, ולכן השטח שלו קטן יותר.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו לכל תחום את אחוז התצפיות בו.

  • μ<X<μ+σ\mu<X<\mu+\sigma
  • μ−σ<X<μ+σ\mu-\sigma<X<\mu+\sigma
  • X>μ+2σX>\mu+2\sigma
  • X<μ+0.5σX<\mu+0.5\sigma
  • 2.28%2.28\%
  • 34.13%34.13\%
  • 68.26%68.26\%
  • 69.15%69.15\%
Show the answer and the solution

Answer: μ<X<μ+σ\mu<X<\mu+\sigma — 34.13%34.13\% · μ−σ<X<μ+σ\mu-\sigma<X<\mu+\sigma — 68.26%68.26\% · X>μ+2σX>\mu+2\sigma — 2.28%2.28\% · X<μ+0.5σX<\mu+0.5\sigma — 69.15%69.15\%

Worked solution:

19.15%+14.98%=34.13%19.15\%+14.98\%=34.13\%

מהממוצע עד סטיית תקן אחת

1.66%+0.49%+0.13%=2.28%1.66\%+0.49\%+0.13\%=2.28\%

הזנב מעל 2σ2\sigma

50%+19.15%=69.15%50\%+19.15\%=69.15\%

כל החצי השמאלי, ועוד רצועה אחת

X<μ+0.5σX<\mu+0.5\sigma כולל את כל החצי שמתחת לממוצע: מתחילים מ-50%50\%, לא מ-00.

Check the answer on elev

Exercise 12

הממוצע נשאר, וסטיית התקן גדלה. מה גדל ומה קטן?

  • גדל
  • קטן
  • גובה הפעמון
  • האחוז בין μ−5\mu-5 ל-μ+5\mu+5
  • האחוז מעל μ+20\mu+20
  • רוחב הפעמון
Show the answer and the solution

Answer: רוחב הפעמון — גדל · גובה הפעמון — קטן · האחוז בין μ−5\mu-5 ל-μ+5\mu+5 — קטן · האחוז מעל μ+20\mu+20 — גדל

Worked solution:

z=5σz=\frac{5}{\sigma}

σ\sigma גדלה, אז zz של הגבול קטן

השטח כולו נשאר 100%100\%: פעמון רחב הוא גם נמוך. התחום הקבוע סביב הממוצע מכיל פחות, והזנבות הרחוקים מכילים יותר.

Check the answer on elev

Exercise 13

היבול של עץ דובדבן בפרדס מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 ק״ג וסטיית תקן 1010 ק״ג. בפרדס 300300 עצים. בכמה עצים היבול גדול מ-5555 ק״ג? עגלו למספר שלם.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

z=55−4010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{55-40}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

מתרגמים ל-zz

4.40%+1.66%+0.49%+0.13%=6.68%4.40\%+1.66\%+0.49\%+0.13\%=6.68\%

הזנב מעל 1.51.5 סטיות תקן

300⋅0.0668=20.04300 \cdot 0.0668=20.04

מאחוז לכמות

בערך 20 עצים. מי שכתב 6.686.68 שכח לכפול במספר העצים: השאלה שואלת כמה, לא איזה אחוז.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade