The z-score

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

נועה קיבלה 8282 במבחן במתמטיקה. איתי קיבל 8888 במבחן בספרות.

8888 גדול יותר, אבל המבחנים שונים. במתמטיקה הממוצע 7070 וסטיית התקן 88; בספרות הממוצע 8080 וסטיית התקן 1010. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

בכמה נקודות כל ציון גבוה מהממוצע של המבחן שלו? וכמה סטיות תקן זה?

Show the answer and the solution

נועה: 82−70=1282-70=12 נקודות, כלומר 128=1.5\frac{12}{8}=1.5 סטיות תקן. איתי: 88−80=888-80=8 נקודות, כלומר 810=0.8\frac{8}{10}=0.8 סטיית תקן. ביחס לקבוצה שלה, נועה הצליחה יותר.

תזכורת: ממוצע וסטיית תקן

xˉ=x1+x2+⋯+xnnσ=(x1−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2n\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \qquad \sigma \\ &= \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}\end{aligned}

הממוצע הוא המרכז של הנתונים, וסטיית התקן היא המרחק האופייני של נתון מהמרכז. בהתפלגות נורמלית מסמנים את הממוצע באות μ\mu ואת סטיית התקן באות σ\sigma.

סטיית תקן של חמישה נתונים

זמני ההמתנה (בדקות) של חמישה נוסעים בתחנה: 7, 9, 10, 11, 137,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13. מצאו את סטיית התקן.

xˉ=505=10\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{50}{5} \\ &= 10\end{aligned}

קודם הממוצע

(x−xˉ)2: 9, 1, 0, 1, 9(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 0,\ 1,\ 9

ההפרשים מהממוצע, בחזקת 2

σ2=205=4\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

השונות: הממוצע של ההפרשים בחזקת 2

σ=4=2\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן היא השורש של השונות

ציון התקן zz

z=x−μσ⟺x=μ+zσ\begin{aligned}z &= \frac{x-\mu}{\sigma} \qquad \Longleftrightarrow \qquad x \\ &= \mu+z\sigma\end{aligned}

ציון התקן סופר כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון.

z>0z>0

הערך מעל הממוצע

z=0z=0

הערך שווה לממוצע

z<0z<0

הערך מתחת לממוצע

לציון התקן אין יחידות: הוא מודד בסטיות תקן. לכן הוא משווה בין קבוצות שונות. ציון תקן גבוה יותר פירושו מקום גבוה יותר ביחס לקבוצה, גם כשהמספר עצמו קטן יותר.

בקבוצה שבה μ=60\mu=60 ו-σ=4\sigma=4: איזה ערך מתאים לציון התקן z=−1.5z=-1.5?

Show the answer and the solution

x=60+(−1.5)⋅4=54x=60+(-1.5) \cdot 4=54. ציון תקן שלילי: הערך מתחת לממוצע, סטייה וחצי.

אותו ציון תקן בשתי קבוצות

משקל תינוקות בלידה בבית חולים א: ממוצע 3.33.3 ק״ג, סטיית תקן 0.40.4 ק״ג. בבית חולים ב סטיית התקן 0.50.5 ק״ג. לתינוק של 4.14.1 ק״ג בבית חולים א ולתינוק של 4.24.2 ק״ג בבית חולים ב יש אותו ציון תקן. מהו הממוצע בבית חולים ב?

z=4.1−3.30.4=2\begin{aligned}z &= \frac{4.1-3.3}{0.4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן בבית חולים א

2=4.2−μ0.52=\frac{4.2-\mu}{0.5}

אותו zz בבית חולים ב

μ=4.2−2⋅0.5=3.2\begin{aligned}\mu &= 4.2-2 \cdot 0.5 \\ &= 3.2\end{aligned}

הממוצע בבית חולים ב: 3.23.2 ק״ג

כשכל הנתונים משתנים יחד

x→x+bx \to x+b

הממוצע גדל ב-bb, סטיית התקן לא משתנה

x→a⋅x  (a>0)x \to a \cdot x \ \ (a>0)

הממוצע וסטיית התקן מוכפלים שניהם ב-aa

ובשני המקרים ציון התקן של כל נתון לא משתנה: המונה x−μx-\mu והמכנה σ\sigma משתנים באותו אופן.

לכן גם כל האחוזים שנקבעים לפי zz נשארים אותו דבר. למשל, אחוז הנתונים בין μ\mu לבין μ+σ\mu+\sigma לא משתנה.

בכל שאלה על פעמון, הצעד הראשון הוא לתרגם את הערך ל-zz. כל השאר נעשה בשפה של zz: אחוזים, טבלה והשוואה.

שלוש טעויות בציון התקן.

z=x−μσ2z=\frac{x-\mu}{\sigma^2}
z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

מחלקים בסטיית התקן, לא בשונות. אם נתונה השונות σ2=16\sigma^2=16, קודם מוציאים שורש: σ=4\sigma=4.

z=μ−xσz=\frac{\mu-x}{\sigma}
z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

הסדר ההפוך הופך את הסימן: ערך מעל הממוצע יקבל zz שלילי.

x→2x+5: σ→2σ+5x \to 2x+5:\ \sigma \to 2\sigma+5
x→2x+5: σ→2σx \to 2x+5:\ \sigma \to 2\sigma

התוספת מזיזה את כל הנתונים יחד, ולא משנה את המרחקים ביניהם.

Exercises

Exercise 1

מספר הדקות שחמישה תלמידים חיכו להסעה: 4, 6, 8, 10, 124,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12. מהי סטיית התקן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.83

Worked solution:

xˉ=405=8\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

הממוצע

16+4+0+4+16=4016+4+0+4+16=40

ההפרשים −4,−2,0,2,4-4,-2,0,2,4 בחזקת 2

σ2=405=8\begin{aligned}\sigma^2 &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

השונות

σ=8≈2.83\sigma=\sqrt{8} \approx 2.83

סטיית התקן

התשובה 88 היא השונות. סטיית התקן היא השורש שלה.

Check the answer on elev

Exercise 2

הגובה של תלמידי י״א בבית ספר מתפלג נורמלית עם ממוצע 168168 ס״מ וסטיית תקן 77 ס״מ. מהו ציון התקן של תלמיד שגובהו 179.2179.2 ס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 1.6

Worked solution:

z=179.2−1687z=\frac{179.2-168}{7}

הערך פחות הממוצע, חלקי סטיית התקן

=11.27=1.6=\frac{11.2}{7}=1.6

ציון התקן

התלמיד גבוה מהממוצע ב-1.61.6 סטיות תקן. מי שמחלק ב-4949 השתמש בשונות במקום בסטיית התקן.

Check the answer on elev

Exercise 3

זמן ההגעה של תלמידים לבית הספר מתפלג נורמלית עם ממוצע 2525 דקות וסטיית תקן 66 דקות. איזה זמן הגעה (בדקות) מתאים לציון התקן z=−1.5z=-1.5?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

מהציון אל הערך

x=25+(−1.5)⋅6=25−9=16\begin{aligned}x &= 25+(-1.5) \cdot 6 \\ &= 25-9 \\ &= 16\end{aligned}

מציבים

ציון תקן שלילי: הזמן קצר מהממוצע. מי שקיבל 3434 התעלם מהמינוס.

Check the answer on elev

Exercise 4

דנה קיבלה 7878 במבחן שבו הממוצע 7070 וסטיית התקן 55. יואב קיבל 8484 במבחן שבו הממוצע 7575 וסטיית התקן 66. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

  1. יואב, כי הציון שלו גבוה יותר
  2. שניהם באותו מצב יחסי
  3. דנה, כי ציון התקן שלה גבוה יותר
  4. יואב, כי ציון התקן שלו גבוה יותר
Show the answer and the solution

Answer: C דנה, כי ציון התקן שלה גבוה יותר

Worked solution:

z1=78−705=1.6\begin{aligned}z_1 &= \frac{78-70}{5} \\ &= 1.6\end{aligned}

דנה

z2=84−756=1.5\begin{aligned}z_2 &= \frac{84-75}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יואב

1.6>1.51.6>1.5

משווים ציוני תקן

הנכונה: דנה. הציון הגולמי של יואב גבוה יותר, אבל ההשוואה בין שני מבחנים שונים נעשית רק לפי zz.

Check the answer on elev

Exercise 5

משקל חבילות אורז מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם. לחבילה של 10151015 גרם ציון תקן 1.251.25. מהי סטיית התקן (בגרם)?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

1.25=1015−1000σ1.25=\frac{1015-1000}{\sigma}

מציבים בנוסחת zz

σ=151.25=12\begin{aligned}\sigma &= \frac{15}{1.25} \\ &= 12\end{aligned}

פותרים

סטיית התקן היא 1212 גרם. מי שכפל 15⋅1.2515 \cdot 1.25 הפך את הנוסחה: zz כפול σ\sigma נותן את המרחק מהממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 6

זמני הריצה של 22 ק״מ בשכבה מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 1212 שניות. לרץ שסיים ב-540540 שניות ציון תקן −0.5-0.5. מהו הממוצע (בשניות)?

Show the answer and the solution

Answer: 546

Worked solution:

−0.5=540−μ12-0.5=\frac{540-\mu}{12}

מציבים

540−μ=−6 ⇒ μ=546\begin{aligned}540-\mu &= -6 \ \Rightarrow \ \mu \\ &= 546\end{aligned}

פותרים

540−54612=−0.5 ✓\frac{540-546}{12}=-0.5 \ \checkmark

בדיקה

ציון שלילי: הרץ מתחת לממוצע, ולכן הממוצע גדול מ-540540. מי שקיבל 534534 טעה בסימן.

Check the answer on elev

Exercise 7

בעיר א, הגובה של ילדים בני 66 מתפלג נורמלית עם ממוצע 118118 ס״מ וסטיית תקן 55 ס״מ. בעיר ב סטיית התקן 44 ס״מ. לילד שגובהו 126126 ס״מ בעיר א ולילד שגובהו 124124 ס״מ בעיר ב יש אותו ציון תקן. השלימו.

ציון התקן: ____ ; הממוצע בעיר ב: ____ ס״מ

Show the answer and the solution

Answer: ציון התקן: 1.6 ; הממוצע בעיר ב: 117.6 ס״מ

Worked solution:

z=126−1185=1.6\begin{aligned}z &= \frac{126-118}{5} \\ &= 1.6\end{aligned}

בעיר א

1.6=124−μ41.6=\frac{124-\mu}{4}

אותו ציון בעיר ב

μ=124−6.4=117.6\begin{aligned}\mu &= 124-6.4 \\ &= 117.6\end{aligned}

הממוצע בעיר ב

אותו ציון תקן פירושו אותו מקום יחסי, לא אותו מרחק בס״מ: בעיר ב ה-1.61.6 סטיות תקן הן 6.46.4 ס״מ, לא 88.

Check the answer on elev

Exercise 8

ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 6060 וסטיית תקן 1010. המורה מכפילה כל ציון ב-1.11.1 ומוסיפה לו 44. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ; סטיית התקן החדשה: ____ ; ציון התקן של תלמיד שקיבל 7575 לפני השינוי, אחרי השינוי: ____

Show the answer and the solution

Answer: הממוצע החדש: 70 ; סטיית התקן החדשה: 11 ; ציון התקן של תלמיד שקיבל 7575 לפני השינוי, אחרי השינוי: 1.5

Worked solution:

μ=1.1⋅60+4=70\begin{aligned}\mu &= 1.1 \cdot 60+4 \\ &= 70\end{aligned}

הממוצע עובר את אותו שינוי

σ=1.1⋅10=11\begin{aligned}\sigma &= 1.1 \cdot 10 \\ &= 11\end{aligned}

התוספת לא משנה את סטיית התקן

75→1.1⋅75+4=86.575 \to 1.1 \cdot 75+4=86.5

הציון החדש

z=86.5−7011=1.5=75−6010\begin{aligned}z &= \frac{86.5-70}{11} \\ &= 1.5 \\ &= \frac{75-60}{10}\end{aligned}

אותו ציון תקן

מי שכתב σ=15\sigma=15 הוסיף את ה-44 גם לסטיית התקן. ציון התקן לא משתנה: המקום היחסי של התלמיד נשמר.

Check the answer on elev

Exercise 9

מוסיפים 55 לכל הנתונים. אז ציון התקן של כל נתון גדל ב-55.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x+5−(μ+5)=x−μx+5-(\mu+5)=x-\mu

המונה לא משתנה

σ→σ\sigma \to \sigma

גם המכנה לא משתנה

לא נכון. גם הנתון וגם הממוצע גדלים ב-55, ולכן ציון התקן לא משתנה בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 10

בקבוצה הממוצע 5050 והשונות 1616. חשבו את ציון התקן של 5858. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

σ2=16\sigma^2=16
z=58−5016=0.5\begin{aligned}z &= \frac{58-50}{16} \\ &= 0.5\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: z=58−5016=0.5z=\frac{58-50}{16}=0.5 → z=58−504=2z=\frac{58-50}{4}=2

Worked solution:

σ=16=4\begin{aligned}\sigma &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

קודם סטיית התקן

z=84=2\begin{aligned}z &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן

השורה השנייה חילקה בשונות. ציון התקן מחלק בסטיית התקן, השורש של השונות.

Check the answer on elev

Exercise 11

בקבוצה הממוצע 5050 וסטיית התקן 55. התאימו לכל ערך את ציון התקן שלו.

  • x=60x=60
  • x=45x=45
  • x=50x=50
  • x=57.5x=57.5
  • z=−1z=-1
  • z=0z=0
  • z=1.5z=1.5
  • z=2z=2
Show the answer and the solution

Answer: x=60x=60 — z=2z=2 · x=45x=45 — z=−1z=-1 · x=50x=50 — z=0z=0 · x=57.5x=57.5 — z=1.5z=1.5

Worked solution:

z=60−505=2\begin{aligned}z &= \frac{60-50}{5} \\ &= 2\end{aligned}

מעל הממוצע בשתי סטיות תקן

z=45−505=−1\begin{aligned}z &= \frac{45-50}{5} \\ &= -1\end{aligned}

מתחת לממוצע: zz שלילי

z=57.5−505=1.5\begin{aligned}z &= \frac{57.5-50}{5} \\ &= 1.5\end{aligned}

סטייה וחצי

ערך ששווה לממוצע מקבל z=0z=0. ערך מתחת לממוצע מקבל zz שלילי, לא חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 12

מה משנה את ציון התקן של כל נתון, ומה לא?

  • ציון התקן לא משתנה
  • ציון התקן משתנה
  • מגדילים רק את הנתון הגבוה ביותר
  • מוסיפים 55 לכל הנתונים
  • מוסיפים 55 רק לנתון אחד
  • מכפילים כל נתון ב-22
  • עוברים מס״מ למ״מ (כופלים ב-1010)
Show the answer and the solution

Answer: מוסיפים 55 לכל הנתונים — ציון התקן לא משתנה · מכפילים כל נתון ב-22 — ציון התקן לא משתנה · עוברים מס״מ למ״מ (כופלים ב-1010) — ציון התקן לא משתנה · מוסיפים 55 רק לנתון אחד — ציון התקן משתנה · מגדילים רק את הנתון הגבוה ביותר — ציון התקן משתנה

Worked solution:

x→ax+b: (ax+b)−(aμ+b)aσ=x−μσx \to ax+b:\ \frac{(ax+b)-(a\mu+b)}{a\sigma}=\frac{x-\mu}{\sigma}

שינוי של כל הנתונים יחד

שינוי שעובר על כל הנתונים באותה צורה שומר על המקום היחסי. שינוי של נתון אחד בלבד מזיז את הממוצע ואת סטיית התקן, ולכן משנה ציוני תקן.

Check the answer on elev

Exercise 13

ארבעה תלמידים, ארבעה מבחנים שונים. אלון: 7575 (ממוצע 7070, סטיית תקן 55). בר: 8080 (ממוצע 7272, סטיית תקן 44). גיל: 6666 (ממוצע 6060, סטיית תקן 88). דור: 9090 (ממוצע 8585, סטיית תקן 1010). סדרו מהמקום היחסי הגבוה ביותר לנמוך ביותר.

  • אלון
  • בר
  • גיל
  • דור
Show the answer and the solution

Answer: בר · אלון · גיל · דור

Worked solution:

zבר=80−724=2\begin{aligned}z_{\text{בר}} &= \frac{80-72}{4} \\ &= 2\end{aligned}
zאלון=75−705=1\begin{aligned}z_{\text{אלון}} &= \frac{75-70}{5} \\ &= 1\end{aligned}
zגיל=66−608=0.75\begin{aligned}z_{\text{גיל}} &= \frac{66-60}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}
zדור=90−8510=0.5\begin{aligned}z_{\text{דור}} &= \frac{90-85}{10} \\ &= 0.5\end{aligned}

דור קיבל את הציון הגבוה ביותר, ובכל זאת הוא אחרון: ההשוואה היא לפי zz, לא לפי הציון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade