Solving together

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון שאלת ההתפלגות הנורמלית בבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חישוב ישיר עם כמות והסתברות, מציאת סטיית התקן, השוואה בציוני תקן, ו«מתוך אלה ש…». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה: שרטטו פעמון, סמנו את השטח, וכתבו את ערך הטבלה שבו השתמשתם.

1 — אחוז, כמות ושתי נסיעות

בסעיף ג, למה מותר לכפול את שתי ההסתברויות?

Show the answer and the solution

כי שתי הנסיעות נבחרו באופן בלתי תלוי: מה שקרה בנסיעה אחת לא משנה את ההסתברות בשנייה. בלי אי-תלות, הכפל לא מוצדק.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מציאת סטיית התקן

איך אפשר לדעת עוד לפני החישוב ש-zz שלילי?

Show the answer and the solution

רק 4.01%4.01\% מהחבילות מתחת ל-243243, פחות מחצי. לכן 243243 מתחת לממוצע, ו-z<0z<0.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — שני מבחנים, אותו ציון תקן

בסעיף ב: למה 8181 ו-8484 יכולים להיות «שווים» אף שהם מספרים שונים?

Show the answer and the solution

ציון התקן מודד מקום יחסי. בשני המבחנים הציון נמצא 1.51.5 סטיות תקן מעל הממוצע, ולכן אותו אחוז מהתלמידים, 6.68%6.68\%, קיבל יותר ממנו.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «מתוך אלה ש…»

האם התשובה יכולה להיות גדולה מ-P(X>199)P(X>199)? למה?

Show the answer and the solution

כן, והיא תמיד כזו (או שווה). מחלקים במספר קטן מ-11, כי הקבוצה שבה מסתכלים קטנה מכל השחקנים. בתוך קבוצת הגבוהים, «גבוה מאוד» שכיח יותר.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מוסיפה חישוב הפוך של סף.

Exercises

Exercise 1

זמן הנסיעה בקו אוטובוס בין ירושלים לבית שמש מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 דקות וסטיית תקן 55 דקות. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.2)=0.8849\Phi(1.2)=0.8849. השלימו.

אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-4646 דקות: ____ % ; מתוך 300300 נסיעות, בערך ____ נמשכו בין 3535 ל-4646 דקות (מספר שלם) ; ההסתברות ששתי נסיעות שנבחרו באקראי, באופן בלתי תלוי, נמשכו שתיהן פחות מ-4646 דקות (שתי ספרות אחרי הנקודה): ____

Show the answer and the solution

Answer: אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-4646 דקות: 11.51 % ; מתוך 300300 נסיעות, בערך 218 נמשכו בין 3535 ל-4646 דקות (מספר שלם) ; ההסתברות ששתי נסיעות שנבחרו באקראי, באופן בלתי תלוי, נמשכו שתיהן פחות מ-4646 דקות (שתי ספרות אחרי הנקודה): 0.783

Worked solution:

z=46−405=1.2 ⇒ 1−0.8849=0.1151\begin{aligned}z &= \frac{46-40}{5} \\ &= 1.2 \ \Rightarrow \ 1-0.8849 \\ &= 0.1151\end{aligned}

זנב ימני

0.8849−0.1587=0.7262 ⇒ 300⋅0.7262=217.86\begin{aligned}0.8849-0.1587 &= 0.7262 \ \Rightarrow \ 300 \cdot 0.7262 \\ &= 217.86\end{aligned}

בין z=−1z=-1 ל-z=1.2z=1.2

0.88492≈0.780.8849^2 \approx 0.78

שתי נסיעות בלתי תלויות

בסעיף האחרון מבקשים «פחות מ-4646», ולכן כופלים את 0.88490.8849 ולא את 0.11510.1151.

Check the answer on elev

Exercise 2

משקל שקי קמח מתפלג נורמלית עם ממוצע 10001000 גרם. 4.01%4.01\% מהשקים שוקלים פחות מ-986986 גרם. מהי סטיית התקן (בגרם)? נתון: Φ(1.75)=0.9599\Phi(1.75)=0.9599.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

P(X<986)=0.0401 ⇒ z=−1.75\begin{aligned}P(X<986) &= 0.0401 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.75\end{aligned}

זנב שמאלי

−1.75=986−1000σ ⇒ σ=8\begin{aligned}-1.75 &= \frac{986-1000}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

פותרים

מי שקיבל −8-8 הפך את המונה. מי שחיפש 0.04010.0401 בתוך הטבלה לא מצא אותו: בטבלה יש רק שטחים של zz חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

ציוני מבחן א מתפלגים נורמלית עם ממוצע 6565 וסטיית תקן 1010. ציוני מבחן ב מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 88. הציון 8282 במבחן ב הוא בעל אותו ציון תקן כמו 8080 במבחן א. השלימו.

ציון התקן: ____ ; הממוצע במבחן ב: ____

Show the answer and the solution

Answer: ציון התקן: 1.5 ; הממוצע במבחן ב: 70

Worked solution:

z=80−6510=1.5\begin{aligned}z &= \frac{80-65}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}

במבחן א

μ=82−1.5⋅8=70\begin{aligned}\mu &= 82-1.5 \cdot 8 \\ &= 70\end{aligned}

במבחן ב

אותו ציון תקן, לא אותו מרחק: במבחן ב סטייה וחצי הן 1212 נקודות, לא 1515.

Check the answer on elev

Exercise 4

משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 5050 וסטיית תקן 1010. מתוך הערכים שגדולים מ-5555, איזה אחוז גדולים מ-6565? נתון: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 21.65

Worked solution:

P(X>65)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X>65) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

החיתוך

P(X>55)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}P(X>55) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

התנאי

0.06680.3085≈0.2165\frac{0.0668}{0.3085} \approx 0.2165

מחלקים

21.65%21.65\%. בלי החלוקה ב-0.30850.3085 עונים על «מתוך כל הערכים».

Check the answer on elev

Exercise 5

זמני התגובה במשחק מחשב מתפלגים נורמלית עם ממוצע 120120 מאיות שנייה וסטיית תקן 1515. 5%5\% מהשחקנים, עם זמני התגובה הארוכים ביותר, מקבלים אימון נוסף. מהו הזמן הקצר ביותר שמקבל אימון? נתון: Φ(1.645)=0.95\Phi(1.645)=0.95. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 144.68

Worked solution:

P(X<x)=0.95 ⇒ z=1.645\begin{aligned}P(X<x) &= 0.95 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.645\end{aligned}

הזמנים הארוכים: זנב ימני

x=120+1.645⋅15≈144.68x=120+1.645 \cdot 15 \approx 144.68

הסף

כאן הזמנים הארוכים הם הזנב, ולכן zz חיובי. מי שהחסיר חיפש את הזנב הלא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 6

משקל אבטיחים מתפלג נורמלית עם ממוצע 88 ק״ג וסטיית תקן 1.51.5 ק״ג. נתון: Φ(1.33)=0.9082\Phi(1.33)=0.9082. השלימו.

א. אחוז האבטיחים ששוקלים יותר מ-1010 ק״ג: ____% ; ב. מתוך 500500 אבטיחים, כמה שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול: ____ ; ג. בוחרים שני אבטיחים באופן בלתי תלוי. ההסתברות ששניהם שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול לארבע ספרות אחרי הנקודה: ____

Show the answer and the solution

Answer: א. אחוז האבטיחים ששוקלים יותר מ-1010 ק״ג: 9.18% ; ב. מתוך 500500 אבטיחים, כמה שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול: 46 ; ג. בוחרים שני אבטיחים באופן בלתי תלוי. ההסתברות ששניהם שוקלים יותר מ-1010 ק״ג, בעיגול לארבע ספרות אחרי הנקודה: 0.0084

Worked solution:

z=10−81.5≈1.33z=\frac{10-8}{1.5}\approx 1.33

מתרגמים ל-zz, בעיגול לשתי ספרות

P(X>10)=1−0.9082=0.0918\begin{aligned}P(X>10) &= 1-0.9082 \\ &= 0.0918\end{aligned}

השטח מימין

500⋅0.0918=45.9500 \cdot 0.0918=45.9

מאחוז לכמות

0.09182≈0.00840.0918^2 \approx 0.0084

שני אבטיחים, בלתי תלויים: כופלים

בסעיף ג כופלים את ההסתברות, לא את האחוז: 9.18⋅9.189.18 \cdot 9.18 נותן מספר גדול מ-11.

Check the answer on elev

Exercise 7

אורך גבעולים מתפלג נורמלית. החציון 3030 ס״מ, ו-15.87%15.87\% מהגבעולים ארוכים מ-3333 ס״מ. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. השלימו.

סטיית התקן: ____ ס״מ ; אחוז הגבעולים הקצרים מ-2727 ס״מ: ____%

Show the answer and the solution

Answer: סטיית התקן: 3 ס״מ ; אחוז הגבעולים הקצרים מ-2727 ס״מ: 15.87%

Worked solution:

μ=30\mu=30

בפעמון החציון שווה לממוצע

P(X<33)=0.8413 ⇒ z=1\begin{aligned}P(X<33) &= 0.8413 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1\end{aligned}

השטח משמאל

1=33−30σ ⇒ σ=3\begin{aligned}1 &= \frac{33-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 3\end{aligned}

סטיית התקן

27=30−3 ⇒ z=−1\begin{aligned}27 &= 30-3 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1\end{aligned}

הסימטריה: אותו זנב בצד השני

הצעד הראשון הוא הממוצע, ובשאלה הוא מסתתר מאחורי המילה חציון.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשחייה ובריצה, זמן קצר יותר הוא תוצאה טובה יותר. שחקן א שחה 5757 שניות, בקבוצה שבה הממוצע 6060 וסטיית התקן 22. שחקן ב רץ 12.412.4 שניות, בקבוצה שבה הממוצע 1313 וסטיית התקן 0.50.5. מי הצליח יותר ביחס לקבוצה שלו?

  1. שחקן א
  2. שחקן ב
  3. אי אפשר להשוות שני ענפים
  4. שניהם באותו מקום יחסי
Show the answer and the solution

Answer: A שחקן א

Worked solution:

zA=57−602=−1.5\begin{aligned}z_A &= \frac{57-60}{2} \\ &= -1.5\end{aligned}

שחקן א

zB=12.4−130.5=−1.2\begin{aligned}z_B &= \frac{12.4-13}{0.5} \\ &= -1.2\end{aligned}

שחקן ב

−1.5<−1.2-1.5<-1.2

זמן: ככל ש-zz קטן יותר, התוצאה טובה יותר

הנכונה: שחקן א. מי שבחר בשחקן ב בחר ב-zz הגדול, אבל כאן זמן ארוך הוא חיסרון: מחפשים את zz השלילי יותר.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגובה של מתגייסים מתפלג נורמלית עם ממוצע 170170 ס״מ וסטיית תקן 1010 ס״מ. מתוך המתגייסים שגבוהים מ-160160 ס״מ, איזה אחוז גבוהים מ-180180 ס״מ? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 18.86

Worked solution:

P(X>180)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}P(X>180) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

מי שגבוה מ-180180 בוודאי גבוה מ-160160

P(X>160)=0.8413P(X>160)=0.8413

הסימטריה: z=−1z=-1

0.15870.8413≈0.1886\frac{0.1587}{0.8413}\approx 0.1886

מחלקים בגודל הקבוצה

«מתוך אלה ש…» מחלקים ב-0.84130.8413. מי שענה 15.87%15.87\% ענה על השאלה בלי ה«מתוך».

Check the answer on elev

Exercise 10

היבול של עץ דובדבן מתפלג נורמלית עם ממוצע 4040 ק״ג וסטיית תקן 1010 ק״ג. בשנה יבשה היבול של כל עץ קטן ב-20%20\%. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413. השלימו.

הממוצע החדש: ____ ק״ג ; סטיית התקן החדשה: ____ ק״ג ; אחוז העצים שהיבול שלהם עכשיו גדול מ-4040 ק״ג: ____%

Show the answer and the solution

Answer: הממוצע החדש: 32 ק״ג ; סטיית התקן החדשה: 8 ק״ג ; אחוז העצים שהיבול שלהם עכשיו גדול מ-4040 ק״ג: 15.87%

Worked solution:

x→0.8xx \to 0.8x

כל יבול מוכפל ב-0.80.8

μ=0.8⋅40=32σ=0.8⋅10=8\begin{aligned}\mu &= 0.8 \cdot 40 \\ &= 32 \qquad \sigma \\ &= 0.8 \cdot 10 \\ &= 8\end{aligned}

גם הממוצע וגם סטיית התקן

z=40−328=1 ⇒ 1−0.8413=0.1587\begin{aligned}z &= \frac{40-32}{8} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

השטח מימין

הכפלה משנה גם את סטיית התקן. מי שהשאיר σ=10\sigma=10 קיבל z=0.8z=0.8 ותשובה אחרת.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade