Rectangle and triangle with a vertex on a graph · Optimization problems · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הנקודה $P$ נעה על הגרף של $f(x)=\frac{20}{x^2+4}$ . מ- $P$ ומהנקודה $Q$ הסימטרית לה בונים מלבן שבסיסו על ציר ה- $x$ . כש- $P$ קרובה לציר ה- $y$ המלבן צר וגבוה. כש- $P$ רחוקה, המלבן רחב ונמוך. הסתכלו על השרטוט לפני כל נוסחה.

מלבן מתחת לגרף f(x) = 20/(x² + 4)

P = (x, f(x)) ו-Q = (−x, f(x)). הבסיס מ-−x עד x.

כש- $P=(x,\,f(x))$ : מה הם הבסיס והגובה של המלבן, ומהו התחום של $x$ ?

Show the answer and the solution

הבסיס $2x$ (מ- $-x$ עד $x$ ), והגובה $f(x)=\frac{20}{x^2+4}$ . התחום $x>0$ : ב- $x=0$ אין מלבן. התחום פתוח, ולכן אין קצוות להשוות.

נקודה על גרף היא $(x,\,f(x))$

כשקודקוד של צורה נע על גרף, מסמנים את שיעור ה- $x$ שלו ב- $x$ , ואת שיעור ה- $y$ כותבים בעזרת הפונקציה: $P=(x,\,f(x))$ . כך כל אורך בצורה נעשה ביטוי במשתנה אחד, והגודל המבוקש נעשה פונקציה שאפשר לגזור.

S(x)=2x\cdot f(x)

מלבן סימטרי מתחת לגרף, והבסיס על ציר ה- $x$

S(x)=x\cdot f(x)

מלבן ששתי צלעות שלו על הצירים

S(x)=\tfrac{1}{2}\,x\cdot f(x)

משולש $OAP$ : $A$ ההיטל של $P$ על ציר ה- $x$

L(x)=g(x)-f(x)

קטע אנכי בין שני גרפים: העליון פחות התחתון

המלבן הגדול ביותר מתחת ל- $f(x)=\frac{20}{x^2+4}$

מצאו את השטח הגדול ביותר של המלבן שבשרטוט.

\begin{aligned}S(x) &= 2x\cdot\frac{20}{x^2+4} \\ &= \frac{40x}{x^2+4} \\ \quad x>0\end{aligned}

בסיס כפול גובה, והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{40(x^2+4)-40x\cdot 2x}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{40(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}4-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד, ולכן רק המונה קובע. $x=-2$ מחוץ לתחום

\begin{aligned}S(2) &= \frac{80}{8} \\ &= 10\end{aligned}

השטח הגדול ביותר

האם יש מלבן כזה ששטחו $12$ ? ושטחו $6$ ?

Show the answer and the solution

$12$ — לא: $10$ הוא השטח הגדול ביותר. $6$ — כן: כש- $x$ מתקרב ל- $0$ השטח מתקרב ל- $0$ , והוא עולה עד $10$ בלי קפיצות. לכן הוא עובר בכל ערך שבין $0$ ל- $10$ . זו שאלת «האם ייתכן» של הבגרות.

תחום סגור: הקיצון יכול לשבת בקצה

לפעמים הבעיה מגבילה את התנועה של $P$ , למשל $0<x\le 1$ . אז משווים את הנקודות החשודות ואת הקצוות. אם הנקודה החשודה מחוץ לתחום, הפונקציה רק עולה או רק יורדת בתחום, והקיצון נמצא בקצה.

מלבן על הצירים כש- $0<x\le 1$

הקודקוד $P$ של מלבן נמצא על הגרף $y=12-x^2$ , ושתי צלעות של המלבן על הצירים. ידוע ש- $0<x\le 1$ . מצאו את השטח הגדול ביותר.

\begin{aligned}S(x) &= x(12-x^2) \\ &= 12x-x^3 \\ \quad 0<x\le 1\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= 12-3x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

S'(0.5)=11.25>0

בכל התחום הנגזרת חיובית: השטח עולה

\begin{aligned}S(1) &= 12-1 \\ &= 11\end{aligned}

המקסימום בקצה $x=1$

בסוף כל בעיה חוזרים לשאלה: מבקשים את $x$ , את הנקודה או את הערך (השטח, ההיקף)? ובתחום סגור: בדקתם את הקצוות?

שלוש טעויות בנקודה על גרף.

S(x)=x\cdot f(x)

S(x)=2x\cdot f(x)

במלבן סימטרי הבסיס הוא מ- $-x$ עד $x$ , כלומר $2x$ .

S'(x)=\frac{40}{2x}

S'(x)=\frac{40(x^2+4)-40x\cdot 2x}{(x^2+4)^2}

לא גוזרים את המונה ואת המכנה בנפרד: זו נגזרת של מנה.

x=\pm 2

x=2

$x$ הוא חצי הבסיס, ולכן $x>0$ . הפתרון השלילי נפסל לפי התחום.

Exercises

Exercise 1

מלבן בין הצירים לגרף y = 9/x

P על הגרף של y = 9/x ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{9}{x}$ ברביע הראשון. $OAPB$ מלבן: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $y$ , כמו בשרטוט. $P=(x,\,\frac{9}{x})$ . מהי הפונקציה $L(x)$ של היקף המלבן?

$L(x)=2x+\frac{18}{x}$
$L(x)=2x+\frac{9}{x}$
$L(x)=x+\frac{9}{x}$
$L(x)=2x\cdot\frac{9}{x}$

Show the answer and the solution

Answer: A $L(x)=2x+\frac{18}{x}$

Worked solution:

\begin{aligned}OA &= x \\ \qquad AP &= \frac{9}{x}\end{aligned}

אורך ורוחב

\begin{aligned}L(x) &= 2x+2\cdot\frac{9}{x} \\ &= 2x+\frac{18}{x}\end{aligned}

בהיקף כל צלע מופיעה פעמיים

הנכונה: $2x+\frac{18}{x}$ . $x+\frac{9}{x}$ הוא חצי היקף. $2x\cdot\frac{9}{x}$ כופל במקום לחבר.

Check the answer on elev

Exercise 2

מלבן בין הצירים לגרף y = 9/x

P על הגרף של y = 9/x ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{9}{x}$ ברביע הראשון, ו- $OAPB$ מלבן ששתי צלעותיו על הצירים, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}L(x) &= 2x+\frac{18}{x} \\ \quad x>0\end{aligned}

ההיקף והתחום

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{18}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}L'(1) &= -16<0 \\ \qquad L'(6) &= 1.5>0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(3) &= 6+6 \\ &= 12\end{aligned}

$P=(3,\,3)$

המלבן הוא ריבוע. מי שגוזר את $\frac{18}{x}$ ל- $\frac{18}{x^2}$ שוכח את המינוס, ומקבל משוואה בלי פתרון.

Check the answer on elev

Exercise 3

מלבן בין הצירים לגרף y = 9/x

P על הגרף של y = 9/x ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

בשרטוט $P$ על הגרף $y=\frac{9}{x}$ , ו- $OAPB$ מלבן ששתי צלעותיו על הצירים. הוכיחו או הפריכו: לכל מיקום של $P$ שטח המלבן הוא $9$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}S &= OA\cdot AP \\ &= x\cdot\frac{9}{x} \\ &= 9\end{aligned}

אורך כפול רוחב

הטענה נכונה. השטח קבוע, ולכן אין לו מקסימום ואין לו מינימום. רק ההיקף משתנה. לפני שגוזרים, כדאי לפשט.

Check the answer on elev

Exercise 4

מלבן מתחת לגרף f(x) = 45/(x² + 9)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{45}{x^2+9}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. $P=(x,\,f(x))$ ו- $x>0$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= 2x\cdot\frac{45}{x^2+9} \\ &= \frac{90x}{x^2+9}\end{aligned}

בסיס $2x$ , גובה $f(x)$

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{90(x^2+9)-90x\cdot 2x}{(x^2+9)^2} \\ &= \frac{90(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}9-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{270}{18} \\ &= 15\end{aligned}

השטח

מי שכותב בסיס $x$ במקום $2x$ מקבל $7.5$ : חצי מהתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 5

מלבן מתחת לגרף f(x) = 45/(x² + 9)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{45}{x^2+9}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: יש מלבן כזה ששטחו $16$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S(x)=\frac{90x}{x^2+9}

פונקציית השטח

\begin{aligned}S_{\max} &= S(3) \\ &= 15\end{aligned}

המקסימום היחיד בתחום $x>0$

16>15

אין $x$ שנותן $16$

הטענה לא נכונה. «האם ייתכן» עונים לפי הערך הגדול ביותר: שטח מעל $15$ לא מתקבל אף פעם.

Check the answer on elev

Exercise 6

המשולש OAP מתחת לגרף y = 12 − x²

P על הגרף ברביע הראשון, ו-A ההיטל שלה על ציר ה-x.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=12-x^2$ ברביע הראשון. $A$ ההיטל של $P$ על ציר ה- $x$ , ו- $O$ ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $OAP$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2}\,x(12-x^2) \\ &= 6x-\tfrac{1}{2}x^3 \\ \quad 0<x<\sqrt{12}\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= 6-\tfrac{3}{2}x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}S'(1) &= 4.5>0 \\ \qquad S'(3) &= -7.5<0\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(2) &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 8 \\ &= 8\end{aligned}

$P=(2,\,8)$

התחום נקבע לפי «ברביע הראשון»: $12-x^2>0$ . בלי החצי של שטח משולש יוצא $16$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מלבן בין הצירים לגרף y = 12 − x²

P על הגרף, ו-0 < x ≤ 1.5.

הקודקוד $P$ של מלבן נמצא על הגרף $y=12-x^2$ , ושתי צלעות של המלבן על הצירים, כמו בשרטוט. ידוע ש- $0<x\le 1.5$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 14.625

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(12-x^2) \\ &= 12x-x^3 \\ \quad 0<x\le 1.5\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= 12-3x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מחוץ לתחום

S'(x)>0 ,\quad 0<x\le 1.5

השטח עולה בכל התחום

\begin{aligned}S(1.5) &= 18-3.375 \\ &= 14.625\end{aligned}

המקסימום בקצה

מי שמציב $x=2$ מקבל $16$ , אבל $x=2$ לא בתחום. בתחום סגור הקיצון יכול להיות בקצה.

Check the answer on elev

Exercise 8

הקטע האנכי AB בין y = 5 − x לבין y = 4/x

A על הישר g, ו-B על הגרף של f, באותו x.

נתונים $f(x)=\frac{4}{x}$ ו- $g(x)=5-x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $g$ ב- $A$ ואת $f$ ב- $B$ , בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{4}{x} &= 5-x \ \Rightarrow \ x^2-5x+4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות החיתוך: התחום $1<x<4$

AB(x)=5-x-\frac{4}{x}

העליון פחות התחתון: $g(2)=3>f(2)=2$

\begin{aligned}AB'(x) &= -1+\frac{4}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}AB(2) &= 5-2-2 \\ &= 1\end{aligned}

האורך הגדול ביותר

בקצוות $x=1$ ו- $x=4$ האורך $0$ . מי שכותב $f-g$ מקבל אורך שלילי, וסימן שלילי לאורך הוא סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 9

המשולש OAP מתחת לגרף f(x) = 36/(x² + 9)

P על הגרף, x > 0, ו-A ההיטל של P על ציר ה-x.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=\frac{36}{x^2+9}$ , ו- $x>0$ . $A$ ההיטל של $P$ על ציר ה- $x$ , ו- $O$ ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $OAP$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2}\,x\cdot\frac{36}{x^2+9} \\ &= \frac{18x}{x^2+9}\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{18(x^2+9)-18x\cdot 2x}{(x^2+9)^2} \\ &= \frac{18(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x=3

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{54}{18} \\ &= 3\end{aligned}

השטח

שיעור ה- $y$ של $P$ הוא $f(3)=2$ , לא השטח. קוראים את השאלה עד הסוף: מבקשים שטח.

Check the answer on elev

Exercise 10

מלבן מתחת לגרף f(x) = 32/(x² + 16)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x.

מחפשים את השטח הגדול ביותר של המלבן שקודקודיו $P$ ו- $Q$ על הגרף $f(x)=\frac{32}{x^2+16}$ , ושני קודקודיו האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}S(x) &= 2x\cdot\frac{32}{x^2+16} \\ &= \frac{64x}{x^2+16}\end{aligned}

S'(x)=\frac{64(16-x^2)}{(x^2+16)^2}

\begin{aligned}16-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S(4) &= \frac{64\cdot 4}{16} \\ &= 16\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $S(4)=\frac{64\cdot 4}{16}=16$ → $S(4)=\frac{64\cdot 4}{4^2+16}=\frac{256}{32}=8$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2+16 &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

במכנה מציבים $x=4$ ב- $x^2+16$

\begin{aligned}S(4) &= \frac{256}{32} \\ &= 8\end{aligned}

השטח הנכון

השורה האחרונה שכחה את $x^2$ במכנה. הצבה נעשית בכל מקום שבו מופיע $x$ .

Check the answer on elev

נקודה על גרף היא (x, f(x))(x,\,f(x))(x,f(x))

תחום סגור: הקיצון יכול לשבת בקצה

Exercises

Keep practising on elev

נקודה על גרף היא $(x,\,f(x))$