The triangle a tangent makes with the axes · Optimization problems · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכל נקודה על הגרף של $f(x)=12-x^2$ ברביע הראשון אפשר להעביר משיק. המשיק חותך את שני הצירים, ויחד איתם הוא סוגר משולש. כשנקודת ההשקה זזה, גם המשולש משתנה: משיק תלול יוצר משולש גבוה וצר, ומשיק מתון משולש נמוך ורחב. מתי הוא הקטן ביותר?

המשיק בנקודה P והצירים

המשיק ב-P חותך את שני הצירים, ויחד איתם סוגר משולש.

בשרטוט המשיק בנקודה $P(2,\,8)$ . מהי משוואתו, ומה שטח המשולש שהוא יוצר עם הצירים?

Show the answer and the solution

$f'(x)=-2x$ , ולכן $m=f'(2)=-4$ ו- $y=-4x+16$ . החיתוכים הם $(0,\,16)$ ו- $(4,\,0)$ , והשטח $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 16=32$ .

המשיק בנקודה כללית $(t,\,f(t))$

כדי להשוות בין כל המשיקים, מסמנים את נקודת ההשקה באות $t$ . במשוואת המשיק $x$ ו- $y$ הם המשתנים של הישר, ו- $t$ הוא המשתנה של הבעיה: לפיו גוזרים בסוף.

y-f(t)=f'(t)\,(x-t)

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x_0 \\ &= t-\frac{f(t)}{f'(t)}\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y_0 \\ &= f(t)-t\cdot f'(t)\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$

S(t)=\tfrac{1}{2}\,x_0\cdot y_0

משולש ישר זווית: שני הניצבים על הצירים

המשולש הקטן ביותר עבור $f(x)=12-x^2$

$P=(t,\,12-t^2)$ ו- $0<t<\sqrt{12}$ . מצאו את השטח הקטן ביותר של המשולש.

\begin{aligned}y &= -2t(x-t)+12-t^2 \\ &= -2tx+t^2+12\end{aligned}

המשיק: $f'(t)=-2t$

\begin{aligned}y_0 &= t^2+12 \\ \qquad x_0 &= \frac{t^2+12}{2t}\end{aligned}

החיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{t^2+12}{2t}\cdot(t^2+12) \\ &= \frac{(t^2+12)^2}{4t}\end{aligned}

שטח המשולש

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{2(t^2+12)\cdot 2t\cdot 4t-4(t^2+12)^2}{16t^2} \\ &= \frac{(t^2+12)(3t^2-12)}{4t^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ומוציאים גורם משותף

\begin{aligned}3t^2-12 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2 \\ \qquad S(2) &= \frac{16^2}{8} \\ &= 32\end{aligned}

המינימום

למה לא מספיק למצוא את המשיק ב- $(2,\,8)$ ולחשב שטח אחד?

Show the answer and the solution

כי שטח אחד הוא מספר, ולא פונקציה. כדי לדעת שהוא הקטן ביותר צריך להשוות אותו לכל המשיקים. לכן כותבים את השטח כפונקציה של $t$ וגוזרים.

כשהשטח קבוע, וכשהמינימום בקצה

לא כל בעיה מסתיימת בנקודה פנימית. בהיפרבולה $y=\frac{k}{x}$ המשיק תמיד יוצר עם הצירים משולש ששטחו $2k$ , בלי קשר ל- $t$ . ובבעיה עם תחום סגור הקיצון יכול להיות בקצה.

Interactive activity

המשיק לגרף $f(x)=\frac{4}{x+1}$

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=\frac{4}{x+1}$ , כאשר $x\ge 0$ . המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

$2$

$8$

$4$

אין שטח קטן ביותר

$P=(t,\,\frac{4}{t+1})$ . מהו שיפוע המשיק?

$\frac{4}{(t+1)^2}$

Show the answer and the solution

שכחתם את המינוס: הפונקציה יורדת.

$-\frac{4}{(t+1)^2}$

Show the answer and the solution

הנגזרת של $\frac{a}{x+1}$ היא $-\frac{a}{(x+1)^2}$ .

f'(t)=-\frac{4}{(t+1)^2}

המשיק יורד, ולכן הוא חותך את שני הצירים בחלק החיובי

איפה המשיק חותך את הצירים?

$x_0=2t+1$ ו- $y_0=\frac{4(2t+1)}{(t+1)^2}$

Show the answer and the solution

מציבים $y=0$ , ואחר כך $x=0$ , במשוואת המשיק.

$x_0=t$ ו- $y_0=\frac{4}{t+1}$

Show the answer and the solution

אלה השיעורים של $P$ עצמה, לא החיתוכים של המשיק.

\begin{aligned}x_0 &= 2t+1 \\ \qquad y_0 &= \frac{4(2t+1)}{(t+1)^2}\end{aligned}

מתוך $y=-\frac{4}{(t+1)^2}(x-t)+\frac{4}{t+1}$

מהי פונקציית השטח, ומה הסימן של הנגזרת שלה?

$S(t)=\frac{2(2t+1)^2}{(t+1)^2}$ , והנגזרת מתאפסת ב- $t=-\frac{1}{2}$

Show the answer and the solution

$t=-\frac{1}{2}$ מחוץ לתחום $t\ge 0$ .

$S(t)=\frac{2(2t+1)^2}{(t+1)^2}$ , והנגזרת חיובית לכל $t>0$

Show the answer and the solution

השטח עולה כל הזמן.

S'(t)=\frac{4(2t+1)}{(t+1)^3}>0

אין נקודה חשודה בתחום

אז איפה המינימום?

בקצה $t=0$

Show the answer and the solution

השטח עולה, ולכן הוא הקטן ביותר בתחילת התחום.

אין מינימום, כי הנגזרת לא מתאפסת

Show the answer and the solution

הקצה $t=0$ שייך לתחום, ושם מתקבל הערך הקטן ביותר.

\begin{aligned}S(0) &= \frac{2\cdot 1^2}{1^2} \\ &= 2\end{aligned}

המשיק ב- $(0,\,4)$ הוא $y=-4x+4$

Show the answer and the solution

השטח הקטן ביותר הוא $2$ , בקצה $t=0$ . «אין שטח קטן ביותר» היה נכון אילו התחום היה $t>0$ . $8$ הוא הערך שהשטח מתקרב אליו כש- $t$ גדל, והוא לא מגיע אליו לעולם.

Do the activity on elev

הראו שלכל משיק לגרף $y=\frac{1}{x}$ ברביע הראשון, שטח המשולש עם הצירים הוא $2$ .

Show the answer and the solution

$m=-\frac{1}{t^2}$ , והמשיק $y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$ . החיתוכים $x_0=2t$ ו- $y_0=\frac{2}{t}$ , והשטח $\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{2}{t}=2$ : $t$ מצטמצם.

סדר קבוע: נקודה $(t,\,f(t))$ , שיפוע $f'(t)$ , משוואת משיק, חיתוכים עם הצירים, ורק אז שטח וגזירה לפי $t$ .

הטעויות במשיק הכללי.

y-f(t)=f'(x)(x-t)

y-f(t)=f'(t)(x-t)

השיפוע הוא מספר שתלוי ב- $t$ , לא פונקציה של $x$ . מציבים $t$ בנגזרת.

S(t)=x_0\cdot y_0

S(t)=\tfrac{1}{2}\,x_0\cdot y_0

זה משולש ישר זווית, לא מלבן.

t=\pm 2

t=2

$t$ שלילי מוציא את $P$ מהרביע הראשון.

Exercises

Exercise 1

המשיק לגרף y = 12 − x² בנקודה P

P = (t, 12 − t²) ברביע הראשון.

הנקודה $P=(t,\,12-t^2)$ נמצאת על הגרף $f(x)=12-x^2$ , כמו בשרטוט. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה $P$ ?

$y=-2t(x-t)$
$y=-2tx+t^2+12$
$y=-2tx+12-t^2$
$y=-2x+12$

Show the answer and the solution

Answer: B $y=-2tx+t^2+12$

Worked solution:

f'(t)=-2t

השיפוע בנקודה

y-(12-t^2)=-2t(x-t)

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y &= -2tx+2t^2+12-t^2 \\ &= -2tx+t^2+12\end{aligned}

פותחים סוגריים

הנכונה: $y=-2tx+t^2+12$ . $12-t^2$ שוכח את $+2t^2$ שיוצא מ- $-2t\cdot(-t)$ . $y=-2x+12$ שוכח להציב $t$ בשיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

המשיק לגרף y = 12 − x² בנקודה שבה x = 1

המשיק בנקודה שבה x = 1.

המשיק לגרף $f(x)=12-x^2$ בנקודה שבה $x=1$ חותך את ציר ה- $y$ , כמו בשרטוט. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= 11 \\ \qquad f'(1) &= -2\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

\begin{aligned}y &= -2(x-1)+11 \\ &= -2x+13\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 13\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

בדיקה בנוסחה הכללית: $y_0=t^2+12=13$ . מי שעונה $11$ נתן את גובה הנקודה $P$ , לא את החיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

המשיק לגרף y = 48 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=48-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 256

Worked solution:

y=-2tx+t^2+48

המשיק ב- $(t,\,48-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2}\cdot\frac{t^2+48}{2t}\cdot(t^2+48) \\ &= \frac{(t^2+48)^2}{4t}\end{aligned}

החיתוכים והשטח

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+48)(3t^2-48)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{64^2}{16} \\ &= 256\end{aligned}

השטח

המשולש הקטן ביותר מתקבל ב- $t=4$ , כלומר ב- $t^2=\frac{48}{3}$ . מי שפותר $t^2+48=0$ לא ימצא פתרון: הגורם הזה חיובי תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 4

המשיק לגרף y = 75 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P=(t,\,75-t^2)$ נמצאת על הגרף $f(x)=75-x^2$ ברביע הראשון. המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מצאו את $t$ שעבורו שטח המשולש הקטן ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+75)^2}{4t} \\ \quad 0<t<\sqrt{75}\end{aligned}

אותה דרך כמו עבור $12-x^2$

S'(t)=\frac{(t^2+75)(3t^2-75)}{4t^2}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}3t^2 &= 75 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

שאלו על $t$ , לא על השטח ( $S(5)=500$ ). ו- $t=-5$ נפסל: $P$ ברביע הראשון.

Check the answer on elev

Exercise 5

המשיק לגרף y = 6/x והצירים

P = (t, 6/t) ברביע הראשון.

הוכיחו או הפריכו: כל משיק לגרף $y=\frac{6}{x}$ ברביע הראשון יוצר עם הצירים משולש ששטחו $12$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f'(t)=-\frac{6}{t^2}

השיפוע

y=-\frac{6}{t^2}x+\frac{12}{t}

המשיק ב- $(t,\,\frac{6}{t})$

\begin{aligned}x_0 &= 2t \\ \qquad y_0 &= \frac{12}{t}\end{aligned}

החיתוכים

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{12}{t} \\ &= 12\end{aligned}

$t$ מצטמצם

הטענה נכונה. השטח קבוע, ולכן לשאלה «מתי השטח הקטן ביותר» אין כאן תשובה אחת: כל המשיקים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 6

המשיק לגרף y = 6/x בנקודה שבה x = 3

המשיק בנקודה P, שבה x = 3.

המשיק לגרף $y=\frac{6}{x}$ בנקודה שבה $x=3$ חותך את ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}f(3) &= 2 \\ \qquad f'(3) &= -\frac{6}{9} \\ &= -\frac{2}{3}\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=-\frac{2}{3}(x-3)+2

המשיק

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ x-3 \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

בהיפרבולה $y=\frac{k}{x}$ החיתוך עם ציר ה- $x$ תמיד ב- $2t$ , כלומר פעמיים שיעור ה- $x$ של נקודת ההשקה.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף y = x³ והמשיק בנקודה (1, 1)

A על הגרף ו-B על המשיק, באותו x, כש-−2 ≤ x ≤ 1.

המשיק לגרף $f(x)=x^3$ בנקודה $(1,\,1)$ הוא $y=3x-2$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את הגרף ב- $A$ ואת המשיק ב- $B$ , כאשר $-2\le x\le 1$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}AB(x) &= x^3-(3x-2) \\ &= x^3-3x+2\end{aligned}

בתחום הזה הגרף מעל המשיק

x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)

הקצוות $x=-2$ ו- $x=1$ הם נקודות המפגש

\begin{aligned}AB'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 1\end{aligned}

$x=1$ הוא קצה

\begin{aligned}AB(-1) &= -1+3+2 \\ &= 4 \\ \qquad AB(-2) &= AB(1) \\ &= 0\end{aligned}

משווים עם הקצוות

המשיק נוגע בגרף ב- $x=1$ , ושם האורך $0$ . המקסימום בנקודה הפנימית $x=-1$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

המשיק לגרף f(x) = 9/(x + 1) והצירים

P על הגרף, ו-x ≥ 0.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=\frac{9}{x+1}$ , כאשר $x\ge 0$ . המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 4.5

Worked solution:

f'(t)=-\frac{9}{(t+1)^2}

השיפוע ב- $P=(t,\,\frac{9}{t+1})$

\begin{aligned}x_0 &= 2t+1 \\ \qquad y_0 &= \frac{9(2t+1)}{(t+1)^2}\end{aligned}

החיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S(t) &= \frac{9(2t+1)^2}{2(t+1)^2} \\ \qquad S'(t) &= \frac{9(2t+1)}{(t+1)^3}>0\end{aligned}

השטח עולה בכל התחום

\begin{aligned}S(0) &= \frac{9}{2} \\ &= 4.5\end{aligned}

המינימום בקצה $t=0$

הנגזרת לא מתאפסת בתחום, ובכל זאת יש מינימום: בקצה $t=0$ . מי שעונה «אין מינימום» שכח שהקצה שייך לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף f(x) = −x² + 6x והמשיק בנקודה שבה x = 4

A על המשיק ו-B על הגרף, באותו x, כש-0 ≤ x ≤ 3.

המשיק לגרף $f(x)=-x^2+6x$ בנקודה שבה $x=4$ הוא $y=-2x+16$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את המשיק ב- $A$ ואת הגרף ב- $B$ , כאשר $0\le x\le 3$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}AB(x) &= (-2x+16)-(-x^2+6x) \\ &= x^2-8x+16 \\ &= (x-4)^2\end{aligned}

המשיק מעל הפרבולה

\begin{aligned}AB'(x) &= 2x-8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מחוץ לתחום $0\le x\le 3$

AB'(x)<0 ,\quad 0\le x\le 3

האורך יורד בכל התחום

\begin{aligned}AB(0) &= 16 \\ \qquad AB(3) &= 1\end{aligned}

המקסימום בקצה $x=0$

בתחום הזה הנקודה החשודה $x=4$ לא שייכת לבעיה. שני הקצוות נותנים את הגדול ביותר ( $16$ ) ואת הקטן ביותר ( $1$ ).

Check the answer on elev

Exercise 10

המשיק לגרף y = 8/x והצירים

P = (t, 8/t) ברביע הראשון.

מחשבים את שטח המשולש שיוצר עם הצירים המשיק לגרף $y=\frac{8}{x}$ בנקודה $(t,\,\frac{8}{t})$ , כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

f'(t)=-\frac{8}{t^2}

\begin{aligned}y &= -\frac{8}{t^2}(x-t)+\frac{8}{t} \\ &= -\frac{8}{t^2}x+\frac{16}{t}\end{aligned}

\begin{aligned}x_0 &= 2t \\ \qquad y_0 &= \frac{16}{t}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 2t\cdot\frac{16}{t} \\ &= 32\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $S=2t\cdot\frac{16}{t}=32$ → $S=\tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{16}{t}=16$

Worked solution:

S=\tfrac{1}{2}\,x_0\cdot y_0

משולש ישר זווית

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot\frac{16}{t} \\ &= 16\end{aligned}

השטח קבוע

השורה האחרונה חישבה שטח של מלבן. בדיקה: עבור $y=\frac{k}{x}$ השטח תמיד $2k=16$ .

Check the answer on elev

המשיק בנקודה כללית (t, f(t))(t,\,f(t))(t,f(t))

כשהשטח קבוע, וכשהמינימום בקצה

Exercises

Keep practising on elev

המשיק בנקודה כללית $(t,\,f(t))$