Solving together · Optimization problems · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלת בעיות הקיצון של הבגרות: מלבן בין גרף לאסימפטוטות, משולש של משיק עם הצירים, משולש שקודקודיו על פרבולה, וטרפז עם אלכסון קצר ביותר. בכל אחת מופיעה גם השאלה «האם ייתכן». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב, ושאלה תאומה מחכה לכם למטה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — מלבן בין הגרף לאסימפטוטות

f(x) = 2 + 9/(x − 1) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

Interactive activity

נתונה $f(x)=2+\frac{9}{x-1}$ בתחום $x>1$ . $P$ נקודה על הגרף. מ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, ונוצר מלבן שצלעותיו על האסימפטוטות. א. מצאו את האסימפטוטות. ב. מצאו את $P$ שעבורה היקף המלבן הקטן ביותר, ואת ההיקף. ג. האם ייתכן מלבן כזה שהיקפו $11$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 2+\frac{9}{x-1} \\ \quad x>1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הצלעות של המלבן הן המרחקים מ- $P$ לאסימפטוטות.

א.

\begin{aligned}x &= 1 \\ \qquad y &= 2\end{aligned}

אנכית: המכנה מתאפס. אופקית: $\frac{9}{x-1}$ מתקרב ל- $0$ .

ב. צלעות

\begin{aligned}x-1 \\ \qquad f(x)-2 &= \frac{9}{x-1}\end{aligned}

המרחק מ- $P$ לישר $x=1$ , והמרחק מ- $P$ לישר $y=2$ .

ב. היקף

L(x)=2(x-1)+\frac{18}{x-1}

כל צלע פעמיים.

ב. נגזרת

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{18}{(x-1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x-1)^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

$x-1>0$ , ולכן $x-1=3$ .

ב. סימן

\begin{aligned}L'(2) &= 2-18<0 \\ \qquad L'(7) &= 2-\tfrac{1}{2}>0\end{aligned}

מינימום. $P=(4,\,5)$ .

ב. היקף

\begin{aligned}L(4) &= 6+6 \\ &= 12\end{aligned}

המלבן הוא ריבוע $3 \times 3$ .

ג.

11<12

לא ייתכן: $12$ הוא ההיקף הקטן ביותר.

שטח המלבן קבוע: $(x-1)\cdot\frac{9}{x-1}=9$ . רק ההיקף משתנה.

Do the activity on elev

האם ייתכן מלבן כזה שהיקפו $20$ ? כמה מלבנים כאלה יש?

Show the answer and the solution

כן, ושניים. $L(x)$ יורדת עד $12$ ב- $x=4$ , ואז עולה ללא גבול. לכן הערך $20$ מתקבל פעם אחת משמאל ל- $x=4$ ופעם אחת מימין: $x-1=1$ או $x-1=9$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משולש של משיק עם הצירים

המשיק לגרף f(x) = 27 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

Interactive activity

המשיק לגרף $f(x)=27-x^2$

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=27-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים. מצאו את שיעור ה- $x$ של $P$ שעבורו שטח המשולש הקטן ביותר, ואת השטח.

$x=3$ , שטח $108$

$x=3$ , שטח $216$

$x=\sqrt{27}$ , שטח $0$

$x=9$ , שטח $108$

$P=(t,\,27-t^2)$ . מהי משוואת המשיק?

$y=-2x+27$

Show the answer and the solution

זה $f'(x)$ בלי להציב $t$ . השיפוע תלוי בנקודה.

$y=-2tx+t^2+27$

Show the answer and the solution

$y-(27-t^2)=-2t(x-t)$ , ופותחים סוגריים.

y=-2tx+t^2+27

השיפוע $f'(t)=-2t$

מהם החיתוכים עם הצירים?

$x_0=\frac{t^2+27}{2t}$ ו- $y_0=t^2+27$

Show the answer and the solution

מציבים $y=0$ , ואחר כך $x=0$ .

$x_0=t$ ו- $y_0=27-t^2$

Show the answer and the solution

אלה השיעורים של $P$ , לא החיתוכים.

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+27)^2}{4t} \\ \quad 0<t<\sqrt{27}\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים

מתי $S'(t)=0$ ?

$t^2+27=0$

Show the answer and the solution

לביטוי הזה אין פתרון: הוא חיובי תמיד.

$3t^2=27$ , כלומר $t=3$

Show the answer and the solution

רק הגורם $3t^2-27$ משנה סימן.

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+27)(3t^2-27)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

מהו השטח הקטן ביותר?

$\frac{36^2}{12}=108$

Show the answer and the solution

$4t=12$ .

$\frac{36^2}{6}=216$

Show the answer and the solution

שכחתם את החצי של שטח משולש.

\begin{aligned}S(3) &= \frac{(9+27)^2}{12} \\ &= 108\end{aligned}

המשיק: $y=-6x+36$

Show the answer and the solution

$x=3$ , שטח $108$ . $216$ שוכח את החצי של שטח משולש. $x=\sqrt{27}$ הוא החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ , ושם אין משולש בכלל. $x=9$ מחוץ לתחום.

Do the activity on elev

האם ייתכן משולש כזה ששטחו $100$ ?

Show the answer and the solution

לא. $108$ הוא השטח הקטן ביותר, וכל משולש אחר גדול ממנו.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משולש שקודקודיו על פרבולה

המשולש ABC: B ו-C על f(x) = 9 − x²

BC מקביל לציר ה-x, B ו-C מעל ציר ה-x, ו-A = (0, −3).

Interactive activity

הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הגרף $f(x)=9-x^2$ , מעל ציר ה- $x$ , ו- $BC$ מקביל לציר ה- $x$ . $A=(0,\,-3)$ , ו- $C=(t,\,9-t^2)$ כאשר $t>0$ . א. הביעו את שטח המשולש $ABC$ באמצעות $t$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר. ג. האם ייתכן משולש כזה ששטחו $20$ ?

\begin{aligned}f(x) &= 9-x^2 \\ \quad A(0,-3) \\ \quad C(t,\,9-t^2)\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $B$ היא השיקוף של $C$ בציר ה- $y$ .

א. אורכים

\begin{aligned}BC &= 2t \\ \qquad h &= (9-t^2)-(-3) \\ &= 12-t^2\end{aligned}

הבסיס בין $B(-t,\,9-t^2)$ ל- $C$ , והגובה מ- $A$ אל הישר $BC$ .

א. שטח

\begin{aligned}S(t) &= \tfrac{1}{2}\cdot 2t\cdot(12-t^2) \\ &= 12t-t^3 \\ \quad 0<t<3\end{aligned}

$B$ ו- $C$ מעל ציר ה- $x$ : $9-t^2>0$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}S'(t) &= 12-3t^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

בתוך התחום.

ב. סימן

\begin{aligned}S'(1) &= 9>0 \\ \qquad S'(2.5) &= -6.75<0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

ב. שטח

\begin{aligned}S(2) &= 24-8 \\ &= 16\end{aligned}

$C=(2,\,5)$ .

ג.

20>16

לא ייתכן.

הגובה נמדד מ- $A$ עד הישר $BC$ , ולכן מחסרים את שיעור ה- $y$ של $A$ : $5-(-3)=8$ .

Do the activity on elev

למה התחום הוא $0<t<3$ ולא כל $t>0$ ?

Show the answer and the solution

הנתון אומר ש- $B$ ו- $C$ מעל ציר ה- $x$ , כלומר $9-t^2>0$ . בלי הנתון, הנוסחה $12t-t^3$ הייתה נותנת שטח שלילי כש- $t>\sqrt{12}$ , וזה סימן שהיא כבר לא מתארת את הצורה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — טרפז ישר זווית: האלכסון הקצר ביותר

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 24 סמ״ר. AD = x.

Interactive activity

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $24$ סמ״ר. $AD=x$ . א. הביעו את $AB$ באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו האלכסון $AC$ הקצר ביותר, ואת אורכו. ג. האם ייתכן ש- $AC=7.9$ ?

\begin{aligned}AD &= x \\ \quad BC &= 2x \\ \quad S_{ABCD} &= 24\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $AB$ הוא הגובה של הטרפז.

א.

\begin{aligned}\frac{(x+2x)\cdot AB}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{16}{x}\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2.

ב. פיתגורס

\begin{aligned}AC^2 &= AB^2+BC^2 \\ &= \frac{256}{x^2}+4x^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ , שבו הזווית $B$ ישרה.

ב. נגזרת

\begin{aligned}D(x) &= 4x^2+\frac{256}{x^2} \\ \qquad D'(x) &= 8x-\frac{512}{x^3} \\ &= 0\end{aligned}

ממזערים את $AC^2$ .

ב. חשודה

\begin{aligned}x^4 &= 64 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

$x>0$ . $D'(2)=-48<0$ ו- $D'(4)=24>0$ : מינימום.

ב. אורך

\begin{aligned}AC^2 &= 32+32 \\ &= 64 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 8\end{aligned}

$AD=2\sqrt{2}$ , $BC=4\sqrt{2}$ ו- $AB=4\sqrt{2}$ .

ג.

7.9<8

לא ייתכן: $8$ הוא האורך הקטן ביותר.

את $x^4=64$ פותרים בשני שלבים: $x^2=8$ , ואז $x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ .

Do the activity on elev

ב- $x=2\sqrt{2}$ יוצא $AB=BC$ . מה זה אומר על המשולש $ABC$ ?

Show the answer and the solution

$AB=BC=4\sqrt{2}$ , ולכן $ABC$ משולש ישר זווית שווה שוקיים, והאלכסון $AC$ הוא היתר: $AC=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8$ .

השאלות התאומות: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

f(x) = 3 + 4/(x + 1) והאסימפטוטות

האסימפטוטות מקווקוות. P על הגרף, והמלבן בין P לאסימפטוטות.

נתונה $f(x)=3+\frac{4}{x+1}$ בתחום $x>-1$ . $P$ נקודה על הגרף, ומ- $P$ מורידים אנכים לשתי האסימפטוטות, כמו בשרטוט. מצאו את $P$ שעבורה היקף המלבן שנוצר הקטן ביותר, ואת ההיקף.

שיעור ה- $x$ של $P$ : ____ , ההיקף הקטן ביותר: ____

Show the answer and the solution

Answer: שיעור ה- $x$ של $P$ : 1 , ההיקף הקטן ביותר: 8

Worked solution:

\begin{aligned}x &= -1 \\ \qquad y &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות

L(x)=2(x+1)+\frac{8}{x+1}

הצלעות $x+1$ ו- $\frac{4}{x+1}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{8}{(x+1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x+1 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(1) &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned}

ריבוע $2 \times 2$ , ו- $P=(1,\,5)$

המרחק מ- $P$ לאסימפטוטה $x=-1$ הוא $x+1$ , לא $x$ . מי שכותב $x$ מקבל $P$ אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

המשיק לגרף f(x) = 108 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)=108-x^2$ ברביע הראשון. המשיק לגרף ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 864

Worked solution:

y=-2tx+t^2+108

המשיק ב- $(t,\,108-t^2)$

S(t)=\frac{(t^2+108)^2}{4t}

החיתוכים $\frac{t^2+108}{2t}$ ו- $t^2+108$

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{(t^2+108)(3t^2-108)}{4t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 6\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}S(6) &= \frac{144^2}{24} \\ &= 864\end{aligned}

השטח

אותו מבנה כמו ב- $27-x^2$ : המינימום ב- $t^2=\frac{c}{3}$ . בלי החצי יוצא $1728$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

המשולש ABC: B ו-C על f(x) = 20 − x²

BC מקביל לציר ה-x, B ו-C מעל ציר ה-x, ו-A = (0, −7).

הנקודות $B$ ו- $C$ נמצאות על הגרף $f(x)=20-x^2$ , מעל ציר ה- $x$ , ו- $BC$ מקביל לציר ה- $x$ . $A=(0,\,-7)$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש $ABC$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

\begin{aligned}BC &= 2t \\ \qquad h &= (20-t^2)-(-7) \\ &= 27-t^2\end{aligned}

$C=(t,\,20-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= t(27-t^2) \\ &= 27t-t^3 \\ \quad 0<t<\sqrt{20}\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(t) &= 27-3t^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 3\cdot 18 \\ &= 54\end{aligned}

השטח

מי שלוקח גובה $20-t^2$ שכח ש- $A$ מתחת לציר ה- $x$ . הגובה נמדד עד $A$ , ולכן מוסיפים $7$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 54 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $54$ סמ״ר. $AD=x$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הקטן ביותר של האלכסון $AC$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{3x\cdot AB}{2} &= 54 \ \Rightarrow \ AB \\ &= \frac{36}{x}\end{aligned}

שטח טרפז

AC^2=\frac{1296}{x^2}+4x^2

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}D'(x) &= 8x-\frac{2592}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 324 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}AC^2 &= 72+72 \\ &= 144 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 12\end{aligned}

האורך

שוב $AB=BC$ במינימום: $AB=\frac{36}{\sqrt{18}}=\sqrt{72}=BC$ . מי שעונה $144$ שכח להוציא שורש.

Check the answer on elev

Exercise 5

AD ∥ BC, הזווית B ישרה, BC = 2AD, ושטח הטרפז 54 סמ״ר. AD = x.

בטרפז $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) הזווית $B$ ישרה, $BC=2AD$ , ושטח הטרפז $54$ סמ״ר, כמו בשרטוט. הוכיחו או הפריכו: ייתכן ש- $AC=11$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}AC^2 &= \frac{1296}{x^2}+4x^2 \ \Rightarrow \ AC^2_{\min} \\ &= 144\end{aligned}

המינימום ב- $x^2=18$

AC_{\min}=12

האלכסון הקצר ביותר

11<12

קטן מהמינימום

הטענה לא נכונה. כל אורך מעל $12$ כן מתקבל, ואפילו בשני טרפזים שונים.

Check the answer on elev

1 — מלבן בין הגרף לאסימפטוטות

2 — משולש של משיק עם הצירים

3 — משולש שקודקודיו על פרבולה

4 — טרפז ישר זווית: האלכסון הקצר ביותר

Exercises

Keep practising on elev