Set 1 — easy · Optimization problems · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: מלבן על הצירים ומתחת לגרף, מרחק מהיפרבולה, משולש של משיק, חלקה ליד קיר, מלבן במשולש וקטע אנכי. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים אחרי שהפונקציה כתובה.

לפני כל שאלה: מה המשתנה ( $x$ או $t$ ), מה הקשר שנותן את האורך השני, ומה התחום?

Exercises

Exercise 1

מלבן בין הצירים לגרף y = 16/x

P על הגרף ברביע הראשון. A על ציר ה-x ו-B על ציר ה-y.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{16}{x}$ ברביע הראשון, ו- $OAPB$ מלבן ששתי צלעותיו על הצירים, כמו בשרטוט. מהו ההיקף הקטן ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

L(x)=2x+\frac{32}{x}

היקף: $2x+2\cdot\frac{16}{x}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{32}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}L(4) &= 8+8 \\ &= 16\end{aligned}

ריבוע $4 \times 4$

מי שכותב $x+\frac{16}{x}$ מחשב חצי היקף ועונה $8$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מלבן מתחת לגרף f(x) = 10/(x² + 1)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{10}{x^2+1}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. $P=(x,\,f(x))$ ו- $x>0$ . מהי פונקציית השטח?

$S(x)=\frac{10x}{x^2+1}$
$S(x)=\frac{20x}{x^2+1}$
$S(x)=\frac{20x}{2x+1}$
$S(x)=\frac{20}{x^2+1}$

Show the answer and the solution

Answer: B $S(x)=\frac{20x}{x^2+1}$

Worked solution:

S(x)=2x\cdot\frac{10}{x^2+1}

בסיס $2x$ כפול גובה $f(x)$

=\frac{20x}{x^2+1}

מכפילים את המונה

הנכונה: $\frac{20x}{x^2+1}$ . $\frac{10x}{x^2+1}$ לוקח בסיס $x$ בלבד, ו- $\frac{20}{x^2+1}$ שכח את $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מלבן מתחת לגרף f(x) = 10/(x² + 1)

P ו-Q על הגרף, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-x. P = (x, f(x)).

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $f(x)=\frac{10}{x^2+1}$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{20x}{x^2+1} \\ \quad x>0\end{aligned}

פונקציית השטח

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{20(1-x^2)}{(x^2+1)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}S(1) &= \frac{20}{2} \\ &= 10\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

השטח הגדול ביותר $10$ , והמלבן $2 \times 5$ . $x=-1$ נפסל: $x$ הוא חצי בסיס.

Check the answer on elev

Exercise 4

המרחק מ-O לנקודה P על y = 2/x

P נקודה כללית על הגרף ברביע הראשון.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $y=\frac{2}{x}$ ברביע הראשון, כמו בשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר בין $P$ לבין ראשית הצירים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

D(x)=x^2+\frac{4}{x^2}

ריבוע המרחק

\begin{aligned}D'(x) &= 2x-\frac{8}{x^3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^4 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2\end{aligned}

$x>0$

\begin{aligned}D &= 2+2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ d \\ &= 2\end{aligned}

מינימום

גוזרים את $d^2$ , ובסוף מוציאים שורש. מי שעונה $4$ עצר בריבוע המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 5

המשיק לגרף y = 4/x בנקודה שבה x = 1

המשיק בנקודה (1, 4).

המשיק לגרף $y=\frac{4}{x}$ בנקודה שבה $x=1$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו שטח המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= 4 \\ \qquad f'(1) &= -4\end{aligned}

הנקודה והשיפוע

y=-4x+8

המשיק

\begin{aligned}x_0 &= 2 \\ \qquad y_0 &= 8 \ \Rightarrow \ S \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 8 \\ &= 8\end{aligned}

החיתוכים והשטח

בכל נקודה על $y=\frac{4}{x}$ יוצא אותו שטח: $2\cdot 4=8$ . בלי החצי יוצא $16$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הקטע המודגש AD הוא הקיר. שטח החלקה 50 מ״ר, ו-AB = CD = x.

חלקה מלבנית $ABCD$ צמודה לקיר $AD$ , ושטחה $50$ מ״ר. גודרים את שלוש הצלעות האחרות, ו- $AB=CD=x$ , כמו בשרטוט. מהו אורך הגדר הקטן ביותר (במטרים)?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

L(x)=2x+\frac{50}{x}

$BC=\frac{50}{x}$

\begin{aligned}L'(x) &= 2-\frac{50}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(5) &= 10+10 \\ &= 20\end{aligned}

$BC=10$

הגדר המינימלית: $5+10+5$ . הצלע המקבילה לקיר יוצאת כפולה מהניצבת.

Check the answer on elev

Exercise 7

CA = 8, CB = 4, CD = x. E על היתר AB.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $CA=8$ ו- $CB=4$ . המלבן $CDEF$ בנוי כך ש- $E$ על היתר $AB$ , כמו בשרטוט, ו- $CD=x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}DE &= \frac{4(8-x)}{8} \\ &= \frac{8-x}{2}\end{aligned}

דמיון המשולשים $ADE$ ו- $ACB$ (ז.ז)

\begin{aligned}S(x) &= \frac{x(8-x)}{2} \\ \qquad S'(x) &= 4-x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{4\cdot 4}{2} \\ &= 8\end{aligned}

חצי משטח המשולש

שטח המשולש $16$ , והמלבן הגדול ביותר חצי ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 8

הקטע האנכי AB בין y = 10 − x לבין y = 9/x

A על הישר g, ו-B על הגרף של f, באותו x.

נתונים $f(x)=\frac{9}{x}$ ו- $g(x)=10-x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $g$ ב- $A$ ואת $f$ ב- $B$ , בין שתי נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{9}{x} &= 10-x \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 9\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}AB(x) &= 10-x-\frac{9}{x} \\ \qquad AB'(x) &= -1+\frac{9}{x^2}\end{aligned}

העליון פחות התחתון

\begin{aligned}x &= 3 \ \Rightarrow \ AB \\ &= 10-3-3 \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

בין נקודות החיתוך הישר מעל ההיפרבולה, ולכן $g-f$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

המשיק לגרף y = 3 − x² והצירים

P ברביע הראשון, והמשיק ב-P יוצר משולש עם הצירים.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף $f(x)=3-x^2$ ברביע הראשון. המשיק ב- $P$ יוצר משולש עם הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הקטן ביותר של המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y=-2tx+t^2+3

המשיק ב- $(t,\,3-t^2)$

\begin{aligned}S(t) &= \frac{(t^2+3)^2}{4t} \\ \qquad S'(t) &= \frac{(t^2+3)(3t^2-3)}{4t^2}\end{aligned}

השטח ונגזרתו

\begin{aligned}S(1) &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

$t=1$ : מינימום

המשיק ב- $(1,\,2)$ הוא $y=-2x+4$ , והמשולש $2 \times 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

סדרו את שלבי הפתרון של בעיית קיצון שבה קודקוד נע על גרף.

בודקים את סוג הקיצון בטבלת סימנים, ובתחום סגור גם את הקצוות
גוזרים ומשווים לאפס
כותבים את הנקודה על הגרף: $P=(x,\,f(x))$
מבטאים את הגודל המבוקש כפונקציה של $x$
עונים על מה שנשאל: הנקודה, $x$ או הערך
קובעים את התחום של $x$

Show the answer and the solution

Answer: כותבים את הנקודה על הגרף: $P=(x,\,f(x))$ · מבטאים את הגודל המבוקש כפונקציה של $x$ · קובעים את התחום של $x$ · גוזרים ומשווים לאפס · בודקים את סוג הקיצון בטבלת סימנים, ובתחום סגור גם את הקצוות · עונים על מה שנשאל: הנקודה, $x$ או הערך

Worked solution:

\begin{aligned}P &= (x,\,f(x)) \ \to \ S(x) \ \to \ S'(x) \\ &= 0\end{aligned}

מהצורה לפונקציה, ומהפונקציה לנגזרת

התחום בא לפני הגזירה: הוא קובע אילו פתרונות של המשוואה נשארים.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev